专题5.2 三角函数的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题5.2三角函数的概念（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1任意角的三角函数的定义及应用】 2【题型2由单位圆求三角函数值】 4【题型3三角函数值在各象限的符号】 6【题型4诱导公式一的应用】 7【题型5同角三角函数的基本关系】 9【题型6正、余弦齐次式的计算】 10【题型7三角函数式的化简、求值】 12【题型8三角恒等式的证明】 14【题型9同角三角函数基本关系的综合应用】 16知识点1三角函数的定义1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；

②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域三角函数定义域sinαcosαtanα(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示.3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一)：【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知角α的终边经过点P−3,2，则sinα=（

）A．21313 B．−21313 【答案】A【解题思路】根据任意角正弦函数的定义即可求解.【解答过程】由题意有r=OP所以sinα=故选：A.【变式1-1】（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角α的终边过点P2sinπ6,−2A．12 B．−12 C．−【答案】C【解题思路】由已知可得P1,−【解答过程】由已知可得P1,−3，因为角α的终边过点所以sinα=故选：C.【变式1-2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点P(m,−1)在角α的终边上，若cosα=−310A．m=3 B．α为第二象限的角C．sinα=1010【答案】D【解题思路】根据终边上的点及已知函数值得m=−3，即P(−3,−1)，再结合三角函数的定义判断各项的正误.【解答过程】由题设cosα=mm所以P(−3,−1)，则α为第三象限的角，B错；sinα=tanα=故选：D.【变式1-3】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线y=−x对称．若sinα=35，则cosβ=（

）A．35 B．−35 C．4【答案】B【解题思路】由三角函数的定义分角α的终边在第一象限和第二象限讨论即可.【解答过程】若角α的终边在第一象限，设终边上一点Px,y，则P关于y=−x对称点P′−y,−x此时cosβ=若角α的终边在第二象限，设终边上一点Qx,y，则P关于y=−x对称点Q′−y,−x此时cosβ=故选：B.【题型2由单位圆求三角函数值】【例2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P−35,y，则sinα=A．−45 B．−35 C．【答案】D【解题思路】根据题意有−352+y【解答过程】由题意，−352+y所以sinα=故选：D.【变式2-1】（24-25高一上·北京通州·期末）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点P−55,m，则A．−55 B．55 C．−【答案】C【解题思路】由点P−55,m在单位圆上，且终边在第三象限，求出【解答过程】∵P−55又终边在第三象限，∴m<0，∴m=−255∴sin故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角α的终边与单位圆交于点P15,m(1)求实数m的值；(2)求sinα,【答案】(1)m=−2(2)sinα=−【解题思路】（1）由题意可得125+m（2）根据任意角的三角函数的定义求解即可.【解答过程】（1）由角α的终边与单位圆交于点P15,m又由m<0，解得m=−2（2）因为角α的终边与单位圆交于点P1所以sinα=−【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知直线y=x与以原点为原心的单位圆交于A,B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．【答案】(1)sinα=2(2)tan【解题思路】（1）求出A点坐标，再根据三角函数的定义求值即可；（2）求出B点坐标，再根据三角函数的定义求值即可；【解答过程】（1）由题意可知A点坐标为22所以sinα=22（2）由题意可得B点坐标为−2所以tanβ=【题型3三角函数值在各象限的符号】【例3】（24-25高一上·福建福州·期末）已知sinθcosθ>0，sinθtanθ<0A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解题思路】分别根据条件确定θ所在的象限，即可判断选项.【解答过程】由sinθcosθ>0由sinθtanθ<0所以θ是第三象限角.故选：C.【变式3-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点Psinα,cosα是第四象限的点，则角A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解题思路】先根据点P所在的象限，判断sinα，cosα的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角【解答过程】因为点Psin所以sinα>0且cos所以角α的终边位于第二象限.故选：B.【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）若sinαtanα>0，则αA．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角【答案】A【解题思路】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断.【解答过程】由sinαtanα>0所以α为第一象限的角和第四象限的角，故选：A.【变式3-3】（24-25高一上·安徽·期末）若sinθtanθ>0，则A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【答案】D【解题思路】根据三角函数在各个象限的符号判断即可.【解答过程】因为sinθtanθ在第一象限时sinθ>0,在第四象限时sinθ<0,所以θ是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.故选：D.【题型4诱导公式一的应用】【例4】（24-25高一上·湖北·期末）sin2190∘=（A．−32 B．−12 C．【答案】C【解题思路】由诱导公式求解．【解答过程】sin2190°=故选：C．【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）tan−330∘A．−33 B．33 C．−【答案】B【解题思路】利用诱导公式即可求解.【解答过程】tan故选：B【变式4-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）cos8π3A．−32 B．−12 C．【答案】B【解题思路】使用三角函数的诱导公式求解即可.【解答过程】cos故选：B.【变式4-3】（24-25高一上·广西南宁·期末）sin−1395°cos30°=A．64 B．34 C．−6【答案】A【解题思路】利用诱导公式化简求值即可.【解答过程】由诱导公式得sin−1395°=sin故选：A.知识点2同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.商数关系同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.(2)基本关系式的变形公式【题型5同角三角函数的基本关系】【例5】（25-26高一上·北京·开学考试）已知sinα⋅cosα=18，且45°<α<90°A．32 B．−32 C．3【答案】B【解题思路】利用同角的三角函数关系求出cosα−sinα【解答过程】因为sinα⋅所以cos=1−2sin而45°<α<90°，故cosα<故cosα−故选：B.【变式5-1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若cosα=13A．24 B．2 C．22 【答案】C【解题思路】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值.【解答过程】已知知α为锐角，则sinα=则tanα=故选：C.【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知α∈0,π，sinα+cosα=A．425 B．−425 C．21【答案】A【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sinαcosα=−1725，结合【解答过程】sinα+故sinα−又∵sinαcosα<0且∴sinα−cos故选：A.【变式5-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知cosα+sinα=74，α∈πA．940 B．−940 C．9【答案】A【解题思路】将已知条件两边平方，求得cosαsinα的值以及判断sinα和cosα的符号，将由cos【解答过程】由sinα+cosα=即sinαcosα=−932所以cosα−sin解得cosα−所以sinα故选：A.【题型6正、余弦齐次式的计算】【例6】（24-25高一上·江苏镇江·期末）设tanα=−12，则sin2A．−35 B．35 C．【答案】A【解题思路】将分子上的1用sin2α+cos2α【解答过程】因为tanα=−所以sin==2故选：A.【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期末）已知sinα+cosαsinα−A．417 B．25 C．±4【答案】B【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解.【解答过程】由sinα+cosαsinα−cosα=3所以sinαcosα=sinαcos故选：B.【变式6-2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若tanα=14，则cosA．58 B．85 C．54【答案】D【解题思路】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值.【解答过程】cos=1故选：D.【变式6-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角α满足tana=−43，则sinA．−12 B．−13 C．【答案】C【解题思路】根据同角三角函数的商数关系“弦化切”，即可求值.【解答过程】由题意，sinα+故选：C.【题型7三角函数式的化简、求值】【例7】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若π<α<3π2，则1−sinA．2tanα B．−2tanα 【答案】D【解题思路】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.【解答过程】1−=1−由于π<α<3π2，所以cos故选：D.【变式7-1】（2025·江西萍乡·一模）已知x∈−π4,0，sin4A．−233 B．233 【答案】D【解题思路】先根据已知条件求出sin2xcos2x的值，再结合x的取值范围判断sin【解答过程】因为sin4所以sin2xcos2x=则sinxcosx=−故选：D.【变式7-2】（24-25高一上·黑龙江·期末）已知α是第二象限角.(1)化简1+sin(2)若2sinα+cos【答案】(1)−2(2)26【解题思路】（1）先根据平方关系化简，再根据角α的象限确定开方符号，最后化简得结果；（2）先根据条件解得tanα，再将待求式化成关于sin【解答过程】（1）∵α为第二象限角，∴cos∴1+sinα=1+（2）由2sinα+cos∴tanα=−所以12sin=1【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）化简求值：(1)已知tanα+π=3(2)已知sinα+cosα=74【答案】(1)−(2)−【解题思路】（1）由已知可求tanα=3（2）将sinα+cosα=74平方得出2【解答过程】（1）∵所以cos（2）∵sin∴所以2sin又∵α∈−π2,π2而(sin所以sinα−【题型8三角恒等式的证明】【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）求证：(1)2cos(2)sin2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可；（2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证.【解答过程】（1）因为2=2=2cos所以2cos（2）因为左边==2所以原等式成立.【变式8-1】（24-25高一·江苏·课后作业）证明下列恒等式：（1）sin4（2）1−2sin【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明.（2）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明.【解答过程】（1）sin4（2）1−2=sin【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：2cos（2）求证：1+2sin【答案】（1）2；（2）证明见解析【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明.【解答过程】（1）原式===1+1=2.（2）左边=sin2=sinα+cos所以原等式成立.【变式8-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求证：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解题思路】（1）利用平方差公式及sin2（2）利用提取公因式及sin2（3）利用通分，因式分解等式的运算结合sin2【解答过程】（1）sin4故sin4（2）sin=sin故sin4（3）cos======2故cosα【题型9同角三角函数基本关系的综合应用】【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）如果角α的终边在直线y=2x上，则5sin2α+3A．−45 C．−165 D．16【答案】B【解题思路】方法一：先求出tanα=2mm=2，再由弦化切公式转化为5sin2α+3sinαcosα−2=【解答过程】方法一：因为角α的终边在直线y=2x上，所以设直线y=2x上一点m,2mm≠0可得tanα=所以5=3=3方法二：直线y=2x过第一象限和第三象限．若α的终边