专题5.5 三角恒等变换（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（原卷版）

2/30专题5.5三角恒等变换（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】 3【题型2利用和（差）角公式化简、求值】 3【题型3两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 4【题型4辅助角公式的应用】 5【题型5利用二倍角公式化简】 6【题型6利用二倍角公式求值】 7【题型7三角恒等式的证明】 7【题型8利用三角恒等变换判断三角形的形状】 8【题型9三角恒等变换的实际应用】 9知识点1两角和与差的三角函数公式1．两角差的余弦公式对于任意角α，β有.

此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.6．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③；④；⑤；⑥.(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如asinα+bcosα(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【例1】（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知α∈0,π2，cosα=5A．31010 B．255 C．−10【变式1-1】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）sin165°⋅cos75°+A．0 B．12 C．22 【变式1-2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若tanα+π4=16，则tanα=A．57 B．−57 C．−【变式1-3】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知α,β∈0,π2，且cosα+β=A．−55 B．2525 C．【题型2利用和（差）角公式化简、求值】【例2】（24-25高一下·四川巴中·期末）化简计算12tan40°−2cos50°A．3 B．−32 C．33【变式2-1】（2025·江苏·一模）已知sinα+β=35，tanα=2A．−15 B．15 C．2【变式2-2】（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知cosα=1213，α∈(0,(1)求2sin(2)求tanβ【变式2-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知sinα=−(1)求cosα+(2)求sin2α+【题型3两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】【例3】（24-25高一下·北京顺义·期中）cos37∘cos7A．−12 B．12 C．−【变式3-1】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）sin400°cos20°−A．−32 B．32 C．−【变式3-2】（24-25高一上·吉林·期末）利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)sin72(2)cos20(3)1+tan【变式3-3】（2025高一下·全国·专题练习）利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)sin72°(2)cos20°(3)1+【题型4辅助角公式的应用】【例4】（24-25高一下·辽宁·期中）函数y=3sin2x−cosA．kπ−πC．2kπ+π【变式4-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数f(x)=sinx−3cosx,f(A．35−18 B．15−18 【变式4-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)当x∈0,5π12【变式4-3】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数f(x)=sin(1)若x∈0,π2(2)设α,β为锐角，且cosα=25知识点2二倍角公式1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函数公式β=α简记符号正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.【题型5利用二倍角公式化简】【例5】（24-25高一下·江苏·阶段练习）化简sinα2cosA．sinα B．12sinα C．【变式5-1】（24-25高一下·河南商丘·期中）化简34tan20°A．34 B．14 C．32【变式5-2】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简sin4α1+cosA．tanα2 B．tanα C．tan【变式5-3】（24-25高一下·四川·期中）化简1−2cos2A．12 B．−12 C．−【题型6利用二倍角公式求值】【例6】（24-25高一上·天津西青·期末）求值：tanπ121−tanA．12 B．32 C．33【变式6-1】（24-25高三上·安徽合肥·期末）求值：2sin80°cosA．33 B．22 C．1 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期中）已知tanα=(1)tan2α(2)1sin【变式6-3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：(1)1cos(2)cos40°(3)已知α∈π,3π2【题型7三角恒等式的证明】【例7】（24-25高一下·甘肃甘南·期中）求证：(1)1sin(2)3tan【变式7-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知2tan2β=【变式7-2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：(1)11−(2)sin【变式7-3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知sinαsinβ≠0(1)1tan(2)cosα+β【题型8\t"/gzsx/zj145229/_blank"\o"利用三角恒等变换判断三角形的形状"利用三角恒等变换判断三角形的形状】【例8】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在△ABC中，若sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【变式8-1】（24-25高一下·山东·阶段练习）在△ABC中，已知sinB=2sinAcosCA．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形【变式8-2】（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【变式8-3】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知△ABC，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且sinA+sinB=cosA+A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【题型9\t"/gzsx/zj145229/_blank"\o"三角恒等变换的实际应用"三角恒等变换的实际应用】【例9】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径OP=1、圆心角∠POQ=α，且cosα=35，（0<α<π2），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=θ，当矩形ABCD的面积SA．55 B．255 C．10【变式9-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为h0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为h1，若