2025年考研数学三概率论专项测试试卷（含答案）

2025年考研数学三概率论专项测试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。1.设随机事件A与B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（）。（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)=0（C）P(A+B)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)P(B)2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列叙述正确的是（）。（A）F(x)一定单调不减（B）F(x)一定连续（C）P(X=a)=F(a)（D）F(x)的值域一定是[0,1]3.设随机变量X的密度函数为f(x)，则下列结论正确的是（）。（A）f(x)一定非负（B）f(x)的积分一定为1（C）F(x)=∫_(-∞)^xf(t)dt是X的分布函数（D）f(x)可以取负值4.设随机变量X与Y独立同分布，且均服从参数为p(0<p<1)的二项分布B(n,p)，则P(X=Y)等于（）。（A）C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n（B）(1-p)^(n^2)（C）2^(n-1)p^n（D）p^n5.设随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y)=0，则下列结论正确的是（）。（A）X与Y一定独立（B）X与Y一定不相关（C）X与Y必定同分布（D）X与Y一定线性相关二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分。请将答案填在题中横线上。6.设事件A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=________。7.设随机变量X的分布律为P(X=k)=C_10^k(1/2)^k(1/2)^(10-k)，k=0,1,...,10，则E(X)=________。8.设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，则P(X>1/2)=________。9.设随机变量X与Y的期望E(X)=2，E(Y)=1，方差D(X)=1，D(Y)=4，且Cov(X,Y)=1，则X与Y的相关系数ρXY=________。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10.（本题满分12分）设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x≤0;(1-p)e^{-p(x-1)},x>0}，其中p>0。（1）求X的密度函数f(x)；（2）求P(X>1)。11.（本题满分12分）设随机变量X与Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。（1）求随机变量Z=X^2+Y^2的分布函数和密度函数；（2）求E(√Z)。12.（本题满分12分）设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示：Y|0|1|---|------|------|0|0.1|0.2|1|0.3|k|（1）求未知参数k的值；（2）求随机变量X的边缘分布律；（3）判断X与Y是否独立，并说明理由。13.（本题满分12分）设随机变量X与Y相互独立，且X均匀分布于[0,1]，Y的密度函数为f_Y(y)={e^{-y},y>0;0,其他}。（1）求随机变量U=X+Y的密度函数f_U(u)；（2）求E(XY)。14.（本题满分12分）设随机变量X与Y相互独立，且E(X)=1，E(X^2)=3，E(Y)=2，E(Y^2)=5。（1）求X+Y的方差D(X+Y)；（2）若Z=aX+bY+1，求E(Z)和D(Z)，其中a，b为常数。试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.A5.B二、填空题6.0.657.58.1/49.1/2三、解答题10.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x≤0;(1-p)e^{-p(x-1)},x>0}，其中p>0。（1）求X的密度函数f(x)；解析思路：对分布函数F(x)求导得到密度函数f(x)。f(x)=F'(x)={0,x≤0;pe^{-px},x>0}（2）求P(X>1)。解析思路：利用分布函数计算P(X>1)=1-P(X≤1)=1-F(1)。P(X>1)=1-F(1)=1-[(1-p)e^{-p(1-1)}]=1-(1-p)e^0=p11.设随机变量X与Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。（1）求随机变量Z=X^2+Y^2的分布函数和密度函数；解析思路：X^2和Y^2分别服从χ^2(1)分布，且独立，故Z=X^2+Y^2服从χ^2(2)分布，即指数分布。Z~χ^2(2)，其分布函数为F_Z(z)={1-e^{-z/2},z>0;0,z≤0}密度函数f_Z(z)={(1/2)e^{-z/2},z>0;0,z≤0}（2）求E(√Z)。解析思路：利用Z~χ^2(2)即Z~Exp(1/2)的性质。E(√Z)=E(e^Z/2)=∫_0^∞(1/2)e^tdt=1。(更详细地，Z~Exp(1/2)，令W=Z，则V=1/2，E(WV)=E(Z*(1/2))=E(Z)/2=(1/(1/2))^2/2=1)12.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示：Y|0|1|---|------|------|0|0.1|0.2|1|0.3|k|（1）求未知参数k的值；解析思路：联合分布律中所有概率之和为1。0.1+0.2+0.3+k=1k=0.4（2）求随机变量X的边缘分布律；解析思路：对Y的每个取值，求X取各个值的概率之和。P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.4=0.6X的边缘分布律：X~{0:0.4;1:0.6}（3）判断X与Y是否独立，并说明理由。解析思路：若X与Y独立，则P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)对所有x,y成立。P(X=0,Y=0)=0.1,P(X=0)P(Y=0)=0.4*0.5=0.2≠0.1故X与Y不独立。13.设随机变量X与Y相互独立，且X均匀分布于[0,1]，Y的密度函数为f_Y(y)={e^{-y},y>0;0,其他}。（1）求随机变量U=X+Y的密度函数f_U(u)；解析思路：使用卷积公式求和分布密度。f_U(u)=∫_(-∞)^∞f_X(x)f_Y(u-x)dxf_U(u)={∫_0^u1*e^(x-u)dx=e^(-u),u>0;0,u≤0}（2）求E(XY)。解析思路：利用独立性质E(XY)=E(X)E(Y)。E(X)=∫_0^1xdx=1/2E(Y)=∫_0^∞y*e^{-y}dy=1E(XY)=(1/2)*1=1/214.设随机变量X与Y相互独立，且E(X)=1，E(X^2)=3，E(Y)=2，E(Y^2)=5。（1）求X+Y的方差D(X+Y)；解析思路：利用方差性质D(X+Y)=D(X)+D(Y)。先求D(X)和D(Y)。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=3-1^2=2D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=5-2^2=1D(X+Y)=2+1=3（2）若Z=aX+bY+1，