专升本数学专业2025年概率论冲刺试卷（含答案）

专升本数学专业2025年概率论冲刺试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设事件A与B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）。（A）P(AB)=P(A)P(B)（B）P(AB)=0（C）P(A|B)=P(A)（D）P(B|A)=P(B)2.设随机变量X的分布律为P(X=k)=C(10,k)·(1/2)^k·(1/2)^(10-k),k=0,1,2,...,10，则常数C等于（）。（A）1（B）1/10（C）1/2（D）103.设随机变量X的密度函数为f(x)={aex,x>0;0,x≤0}，则a等于（）。（A）1（B）-1（C）1/2（D）-1/24.设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=ak,k=1,2,3，且E(X)=2.5，则a等于（）。（A）1/6（B）1/3（C）1/2（D）15.设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，则P(0.3<X<0.7)等于（）。（A）0.3（B）0.4（C）0.5（D）0.66.设随机变量X~N(μ,σ^2)，则随机变量Y=aX+b（a≠0）的分布为（）。（A）N(μ,σ^2)（B）N(aμ+b,a^2σ^2)（C）N(μ/a,σ^2/a^2)（D）N(aμ+b,σ^2)7.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(2,9)，则E(XY)等于（）。（A）6（B）10（C）26（D）348.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差DX=4，Y的方差DY=9，则X和Y的相关系数ρXY等于（）。（A）1/3（B）2/3（C）1（D）-1/39.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则P(X<Y)等于（）。（A）1/4（B）1/3（C）1/2（D）3/410.设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立同分布，且E(Xi)=μ，DXi=σ^2，i=1,2,...,n，则根据切比雪夫不等式，对任意ε>0，有（）。（A）P(|X̄-μ|<ε)≥1-σ^2/ε^2（B）P(|X̄-μ|<ε)≥1-nσ^2/ε^2（C）P(|X̄-μ|<ε)≥1-n/ε^2（D）P(|X̄-μ|<ε)≥1-σ^2/nε^2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案填在题中横线上。11.设A,B,C为三个事件，且P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/4,P(AB)=1/12,P(AC)=1/12,P(BC)=1/24,P(ABC)=1/24，则P(A∪B∪C)等于________。12.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x≤0;(1-p)e^{-px},x>0}(p>0)，则P(X>1)等于________。13.设随机变量X的密度函数为f(x)={1/(π(1+x^2)),x>0;0,x≤0}，则P(X>1)等于________。14.设随机变量X~N(0,1)，Y=X^2，则X和Y的相关系数ρXY等于________。15.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=3，方差分别为DX=1,DY=4，且Cov(X,Y)=1，则E(3X-2Y+5)等于________。三、解答题：本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）袋中有5个红球和3个白球，现从中不放回地依次取出3个球。（1）求取出的3个球均为红球的概率；（2）求取出的3个球中至少有1个白球的概率。17.（本小题满分12分）设随机变量X的分布律为P(X=k)=C(3,k)·(1/2)^k·(1/2)^(3-k),k=0,1,2,3。（1）求常数C；（2）求随机变量X的分布函数F(x)；（3）求P(1<X≤2)。18.（本小题满分13分）设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<1;0,其他}。（1）求随机变量X的分布函数F(x)；（2）求P(X<0.5)；（3）求X的期望E(X)和方差DX。19.（本小题满分13分）设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(0,9)。（1）求随机变量Z=X+Y的分布；（2）求P(Z<5)；（3）求E(XY)。20.（本小题满分14分）设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)。（1）求随机变量V=X+Y的分布函数Fv(v)；（2）求随机变量V=X+Y的期望E(V)和方差DV；（3）求P(X<Y)的另一种计算方法，并验证结果。试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.B5.B6.B7.C8.A9.C10.B二、填空题11.5/812.pe^{-p}13.1-1/(2π)14.015.7三、解答题16.解答：（1）P(取出的3个球均为红球)=C(5,3)/C(8,3)=10/56=5/28（2）P(取出的3个球中至少有1个白球)=1-P(取出的3个球均为红球)=1-5/28=23/2817.解答：（1）C(3,k)·(1/2)^k·(1/2)^(3-k)是二项分布B(3,1/2)的概率质量函数，其系数为1，所以C=1。（2）F(x)=P(X≤x)。当x<0时，F(x)=0。当0≤x<1时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=1·(1/2)^0·(1/2)^3+1·(1/2)^1·(1/2)^2=1/8+1/8=1/4。当1≤x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1/8+1/4+1·(1/2)^2·(1/2)^1=1/8+2/8+1/8=4/8=1/2。当x≥2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/8+1/4+1/4+1=1。所以F(x)={0,x<0;1/4,0≤x<1;1/2,1≤x<2;1,x≥2}。（3）P(1<X≤2)=F(2)-F(1)=1-1/2=1/2。18.解答：（1）当x<0时，F(x)=0。当0≤x<1时，F(x)=P(X≤x)=∫_0^x2tdt=t^2|_0^x=x^2。当x≥1时，F(x)=P(X≤x)=∫_0^12tdt=1。所以F(x)={0,x<0;x^2,0≤x<1;1,x≥1}。（2）P(X<0.5)=F(0.5)=(0.5)^2=1/4。（3）E(X)=∫_0^1x·2xdx=2∫_0^1x^2dx=2·(x^3/3)|_0^1=2/3。E(X^2)=∫_0^1x^2·2xdx=2∫_0^1x^3dx=2·(x^4/4)|_0^1=1/2。DX=E(X^2)-(E(X))^2=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=1/18。或者，对于f(x)=ax^2,E(X)=∫_0^1x·ax^2dx=a∫_0^1x^3dx=a·(x^4/4)|_0^1=a/4。由于E(X)=2/3，所以a/4=2/3，得a=8/3。此时f(x)=(8/3)x^2。DX=∫_0^1x^2·(8/3)x^2dx-(2/3)^2=(8/3)∫_0^1x^4dx-4/9=(8/3)·(x^5/5)|_0^1-4/9=8/15-4/9=24/45-20/45=4/45。19.解答：（1）Z=X+Y。因为X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(0,9)，所以Z~N(μ_Z,σ_Z^2)。μ_Z=E(Z)=E(X)+E(Y)=1+0=1。σ_Z^2=DX+DY=4+9=13。所以Z~N(1,13)。（2）P(Z<5)=P((Z-1)/√13<(5-1)/√13)=P((Z-1)/√13<4/√13)。令Φ(x)为标准正态分布函数，则P(Z<5)=Φ(4/√13)。（3）E(XY)=E(X)E(Y)（因为X和Y独立）=1·0=0。20.解答：（1）Fv(v)=P(V≤v)=P(X+Y≤v)。当v<0时，Fv(v)=0。当0≤v<1时，Fv(v)=P(X+Y≤v)=∫_0^v0dx+∫_0^(v-x)1dx=∫_0^v1dx=v。当1≤v<2时，Fv(v)=P(X+Y≤v)=∫_0^(v-1)1dx+∫_(v-1)^(v-0)1/(1+x^2)dx=(v-1)+[arctan(x)]_(v-1)^0=(v-1)+(0-arctan(v-1))=v-1-arctan(v-1)。当v≥2时，Fv(v)=1。所以Fv(v)={0,v<0;v,0≤v<1;v-1-arctan(v-1),1≤v<2;1,v≥2}。（2）E(V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1/2+1/2=1。对于0≤v<1，f_v(v)=dFv(v)/dv=1。对于1≤v<2，f_v(v)=dFv(v)/dv=1-(1/(1+(v-1)^2))=(v-1)^2/[(v-1)^2+1]。所以E(V)=∫_0^1v·1dv+∫_1^2v·(v-1)^2/[(v-1)^2+1]dv=1/2+∫_1^2[v(v-1)^2+(v-1)^2-(v-1)^2]/[(v-1)^2+1]dv=1/2+∫_1^2[v(v-1)^2/[(v-1)^2+1]+(v-1)^2/[(v-1)^2+1]-(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv=1/2+∫_1^2[v(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv+∫_1^2[(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv-∫_1^2[(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv=1/2+∫_1^2[v(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv。令t=v-1，则dt=dv，当v=1时t=0，当v=2时t=1。=1/2+∫_0^1(t+1)t^2dt=1/2+∫_0^1(t^3+t^2)dt=1/2+[(t^4/4)+(t^3/3)]_0^1=1/2+(1/4+1/3)=1/2+7/12=6/12+7/12=13/12。DV=E(V^2)-(E(V))^2。E(V^2)=∫_0^1v^2·1dv+∫_1^2v^2·(v-1)^2/[(v-1)^2+1]dv=1/3+∫_1^2[v^2(v-1)^2/[(v-1)^2+1]]dv。令t=v-1，则dt=dv，当v=1时t=0，当v=2时t=1。=1/3+∫_0^1(t+1)^2t^2dt=1/3+∫_0^1(t^4+2t^3+t^2)dt=1/3+[(t^5/5)+(2t^4/4)+(t^3/3)]_0^1=1/3+(1/5+1/2+1/3)=1/3+19/30=10/30+19/30=29/30。DV=29/30-(13/12)^2=29/30-169/144=138/360-169/360=-31/360。或者，E(V^2)=∫_0^1v^2dv+∫_1^2v^2(v-1)^2/[(v-1)^2+1]dv=1/3+∫_1^2[v^2(v^2-2v+1)/(v^2-2v+2)]dv=1/3+∫_1^2[(v^4-2v^3+v^2)/(v^2-2v+2)]dv。令u=v^2-2v+2=(v-1)^2+1，则du=(2v-2)dv=2(v-1)dv。当v=1时u=1，当v=2时u=2。原式=1/3+∫_1^2[(u+1)-2√u+1]/udu=1/3+∫_1^2[(u/u+1/u)-2√u/u+1/u]du=1/3+∫_1^2[1+1/u-2/u^(1/2)+1/u]du=1/3+∫_1^2[2+2/u-2/u^(1/2)]du=1/3+[2u+2ln|u|-4u^(1/2)]_1^2=1/3+[4+2ln2-4√2-(2+