专题01 集合14大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题01集合14大重点题型（期中专项训练）【人教A版】题型归纳题型归纳题型1题型1对集合概念的理解1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（

）A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题C．关于x的方程x2−1=0的所有实根 D．无限接近于【答案】C【解题思路】根据集合中的元素满足的特征即可求解.【解答过程】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误，对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误，对于C，x2−1=0的根为x=±1，故集合为对于D,无限接近于π,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误，故选：C.2．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．所有无理数C．2024年高考数学难题 D．小于π的正整数【答案】C【解题思路】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【解答过程】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合；对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合;对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合；对于D，小于π的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合.故选：C.3．（24-25高一上·上海·期中）下列所给对象不能组成集合的是．（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某班16岁以下的学生；（3）某中学的大个子；（4）某学校身高超过1.80米的学生．【答案】（1）（3）【解题思路】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可.【解答过程】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合；某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合；“大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合；某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合；故答案为：（1）（3）.4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．(1)所有大于0且小于25的偶数；(2)不等式x−1>0的解集；(3)两条平行直线的交点；(4)古今中外的所有伟大的人．【答案】(1)能组成集合，为有限集(2)能组成集合，为无限集(3)能组成集合，为∅(4)不能组成集合，理由见解析【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型.【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.（4）所给对象不确定，不能组成集合.5．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．(1)我国现在的直辖市；(2)比较小的自然数的全体；(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；(4)比2小的质数．【答案】(1)能组成集合，为有限集(2)不能组成集合，因为标准不明确(3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素(4)能组成集合，为空集【解题思路】（1）根据集合的定义判断；（2）根据集合的定义判断；（3）根据集合的定义判断；（4）根据集合的定义判断．【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集；（2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合；（3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和−2两个，能组成集合，是有限集；（4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集．题型2题型2判断元素与集合的关系6．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（

）A．2∈N B．C．0∉N D．【答案】A【解题思路】根据元素与集合的关系判断.【解答过程】A，2是自然数，故A正确；B，π是无理数，不是有理数，故B错误；C，0是自然数，故C错误；D，32故选：A.7．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①−2∉N*；②0∉Z；③2∈Q；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.【解答过程】对于命题①，−2=2∈对于命题②，0∈Z对于命题③，因为2是无理数，2∉对于命题④，因为−3对于命题⑤，因为1.21是无限循环小数，是有理数，即故选：C.8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“∈”和“∉”表示，1N.【答案】∈【解题思路】根据元素与集合之间的关系解题.【解答过程】N为自然数集，则1∈N故答案为：∈.9．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合A=a,(1)若a=0，求集合A；(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．【答案】(1)A=(2)不是，证明见解析【解题思路】（1）根据题意代入a=0即可得结果；（2）假设成立，分a=4或3−a3+a【解答过程】（1）若a=0，则3−03+0=1∈Z，所以集合（2）4不是集合A中的元素，理由如下：若4∈A，则有a=4或3−a3+a当a=4时，3−43+4当3−a3+a=4时，解得综上所述，4不是集合A中的元素．10．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x−y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x(1)判断12(2)证明：若x，y∈M，则x+y∈M；(3)证明：若x∈M，则x2【答案】(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【解题思路】（1）根据集合M的条件，先根据①②得−1∈M，2∈M，进而有③可得；（2）先由①②得−y∈M，进而可得x−−y（3）先证x−1∈M，可得1x∈M，1x−1∈M，进而得【解答过程】（1）12由①知0∈M，1∈M，由②可得0−1=−1∈M，1−−1由③可得12（2）证明：由①知0∈M，由题意y∈M，所以由②可知0−y=−y∈M，又x∈M，所以x−−y（3）证明：x∈M，由②可知x−1∈M，由③可知1x∈M，所以1x−1x−1∈M由（2）结论可知xx−1+x∈M，即x题型3题型3元素与集合关系中的参数问题11．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合A=2, 3, 2a，若10∈AA．10 B．2 C．−5 D．5【答案】D【解题思路】根据集合与元素的包含关系求解即可.【解答过程】因为集合A=2, 3,所以2a=10，解得a=5，故选：D.12．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合A=1,a+9,a2+a，若6∈A，则A．−2或3 B．−3或2 C．2 D．−3【答案】C【解题思路】分a+9=6和a2【解答过程】因为A=1,a+9,a2当a+9=6时，则a=−3，此时a2当a2+a=6时，解得a=2或若a=2，则A=1,11,6综上所述，a=2.故选：C.13．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合A=1,2,3，B=1,m,m+2，若2−m∈A，则实数m=【答案】0【解题思路】由已知集合A的元素，分类讨论求参数m值，再根据集合的性质确定m的值.【解答过程】若2−m=1，则m=1，此时集合B违背互异性，不符合要求；若2−m=2，则m=0，此时B=1,0,2若2−m=3，则m=−1，此时集合B违背互异性，不符合要求；综上所述，m=0.故答案为：0.14．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，(1)若−3∈A，求实数a的值；(2)若x2∈B，求实数x【答案】(1)a的值为0或−1(2)x的值为−1【解题思路】（1）若−3∈A，则a−3=−3或2a−1=−3，再结合集合中元素的互异性，能求出a的值．（2）当x取0，1，−1时，都有x2∈B，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数【解答过程】（1）集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，∴a−3=−3或2a−1=−3，解得a=0或a=−1，当a=0时，A={−3，−1，1}，成立；当a=−1时，A={−4，−3，2}，成立．∴a的值为0或−1．（2）集合B中也有三个元素：0，1，x，x2当x取0，1，−1时，都有x2∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，x≠1，∴x=−1．∴实数x的值为−1．15．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合A=x(1)若1∈A，求a的值；(2)若A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【答案】(1)a=−3(2)a=0或a=1时，(3)a|a=0或a≥1【解题思路】（1）将x=1代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1=0【解答过程】（1）由于1∈A，所以x=1是ax2+2x+1=0的实数根，故（2）当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=−1当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，Δ=4−4a=0，即故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时A只有一个元素．（3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当a=0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2+2x+2=0为一元二次方程，Δ=4−4a<0，即a>1时，Δ=0，即a=1时，方程有两个相等的根，AA中最多有一个元素，a|a=0或a≥1.题型4题型4集合中元素的个数问题16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=1,2,3，B=3,5，则C=xA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解题思路】利用集合中元素的互异性，对a,b的取值进行分类讨论即可.【解答过程】由题意，x=2a−b，当a=1,b=3时，x=2a−b=−1，当a=1,b=5时，x=2a−b=−3，当a=2,b=3时，x=2a−b=1，当a=2,b=5时，x=2a−b=−1，当a=3,b=3时，x=2a−b=3，当a=3,b=5时，x=2a−b=1，由集合中元素满足互异性，所以C={−3,−1,1,3}.故选：B.17．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合A=x|mx2−4x+2=0中只有一个元素，则实数A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值.【解答过程】当m=0时,方程变为−4x+2=0，解得x=12，满足集合当m≠0时，方程mx因为集合x|mx所以△=(−4)2−4m×2=16−8m综上，实数m的值为0或2.故选：C.18．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合A=xax2+4x+1=0,a∈R，若A中只有一个元素，则【答案】0,4【解题思路】根据题意分情况讨论即可求得结果，当a=0时，满足题意；a≠0时，只需让判别式等于零即可.【解答过程】当a=0时，4x+1=0解得x=−1当a≠0时，此时Δ=42所以a的值构成的集合为0,4，故答案为：0,4.19．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合A=x∣a(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)a=0或a=1(2)a|a≤1【解题思路】(1)针对a=0和a≠0两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出a的值即可(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素的情况即可得出a的取值范围【解答过程】（1）由题意，当a=0时，2x+1=0，得x=−12，集合A只有一个元素，满足条件；当ax2+2x+1=0为一元二次方程，Δ=4−4a=0，得a=1，集合∴A中只有一个元素时a=0或a=1.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，a≠0并且Δ=4−4a>0，得a<1且a≠0，再结合A∴a的取值范围为a|a≤1.20．（24-25高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；(3)若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A【答案】(1)两个；(2)不是，理由见解析；(3)12【解题思路】（1）利用给定的定义，依次计算即得.（2）由x∈A，求得A中其它元素，再判断不相等即可.（3）由（2）中信息，可得x∈A,m∈A，再结合已知列出方程求解即得.【解答过程】（1）由2∈A，得11−2=−1∈A，则1所以A中至少还有两个元素为−1，12（2）不是双元素集合．理由如下：由x∈A，得11−x∈A，则而x≠1且x≠0，x2−x+1=(x−12于是x≠11−x，由x2−2x+1≠−x，得因此集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合．（3）由（2）知A中有三个元素为x、11−x、x−1x（x≠1且x≠0），且依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为m，则11−m∈A，m−1m于是A中的元素为x,11−x,x−1x由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设(11−x)2=1或(此时2∈A，−1∈A，12∈A，依题意，整理得6m3−19m2+m+6=0，即m−32m+1所以集合A中的元素为12题型5题型5有限集合子集、真子集的确定21．（24-25高一上·河南·期中）设集合A=1,2,3,4,5,9，B=x∣x∈A,xA．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解题思路】根据集合B的含义得到集合B的元素，然后求非空子集个数即可【解答过程】要使x∈A，x∈Z，则x=1,4,9所以B的非空子集有{1}，{4}，{9}，{1,4}，{1,9}，{4,9}，{1,4,9}共7个．故选：C.22．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合A=1, 2, 3A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解题思路】先根据题意求出集合C，然后利用公式可求出其子集的个数.【解答过程】因为A=1, 2,所以当a=1,b=3时，x=2×1+3=5，当a=1,b=5时，x=2×1+5=7，当a=2,b=3时，x=2×2+3=7，当a=2,b=5时，x=2×2+5=9，当a=3,b=3时，x=2×3+3=9，当a=3,b=5时，x=2×3+5=11，所以C=5,7,9,11所以集合C的子集个数为24故选：B.23．（24-25高一上·广东江门·期中）集合A={0,20,27}的非空子集的个数为.【答案】7【解题思路】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果.【解答过程】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为23故答案为：7.24．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合A=a,b,c【答案】答案见解析【解题思路】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得.【解答过程】A=a,b,c∅、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c；A=a,b,c∅、a、b、c、a,b、a,c、b,c.25．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.【答案】(1)−4(2)b【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得集合P检验即可．【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2有Δ=9−4b<0，所以b>当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P−12−3×−1+b=0，即因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，b=2，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>题型6题型6判断集合间的关系26．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥0}，则A与B的关系是（

）A．A⊆B B．A⊇B C．A=B D．无法确认【答案】A【解题思路】由集合间的基本关系判断即可.【解答过程】集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥0}，所以A⊆B，故选：A.27．（24-25高一上·福建·期中）集合M=xx=7k−2,k∈N，P=xx=7n+5,n∈A．S⊆P⊆M B．S=P⊆M C．S⊆P=M D．P=M⊆S【答案】A【解题思路】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可.【解答过程】根据集合的概念可知集合M表示所有被7除余5的数以及−2所构成的集合，集合P表示所有被7除余5的数所构成的集合，所以P⊆M，集合S表示所有被14除余5的数所构成的集合，任取a∈S，则a=14m+5=7⋅2m+5，m∈N，所以a∈P又12∈P，12∉S，所以S≠P，综上S⊆P⊆M，故选：A.28．（24-25高一上·上海·阶段练习）给出下列关系式，其中正确的是（填序号）．①∅⊆a；②a⊆a；③a⊆a；④【答案】①③⑤【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可.【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确，由元素和集合的关系得a∈a一个集合是自身的子集，故③正确，由集合和集合的关系得a⊆故答案为：①③⑤.29．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=x−1<x<4，(3)M=xx=2n−1,n∈N【答案】(1)A与B之间无包含关系．(2)AB．(3)NM．【解题思路】（1）利用集合的元素类型判断集合A,B的包含关系.（2）利用不等式解集判断集合A,B的包含关系.（3）利用列举法判断集合M,N的包含关系.【解答过程】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系.（2）集合B=xx<5，用数轴表示集合A，由图知AB.（3）由列举法，M={1,3,5,7,⋯}，N={3,5,7,9,⋯}，所以NM．30．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=−1,4，B=(3)A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}.【答案】(1)A⊆B(2)A⊆B(3)B⊆A【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论．【解答过程】（1）A中唯一元素−1,1∈B又∵−1,−1所以A⊆B；（2）∵A=−1,4，A的元素都是B的元素，而B的元素−5不是A的元素，所以A⊆B；（3）∵A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}，又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形；所以B⊆A.题型7题型7根据集合间的关系求参数31．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合A={−2,2}，B={−2,−1,a+3}，且A⊆B，则实数a的值为（

）A．−5 B．−4 C．−1 D．1【答案】C【解题思路】根据集合与集合间的关系列方程求解实数a的值即可.【解答过程】已知集合A={−2,2}，B={−2,−1,a+3}，且A⊆B，所以a+3=2，所以a=−1.故选：C.32．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到a2=1ab=b【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b又根据集合互异性，可知a≠1，解得a=1舍去，所以解得a=−1b=0，所以a故选：A.33．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合A={x|0<x<a}，B={x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为.【答案】[2,+∞)【解题思路】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果.【解答过程】因为B⊆A，A={x|0<x<a}，B={x|0<x<2}，所以利用数轴分析法，可知a≥2..故答案为：[2,+∞).34．（24-25高一上·上海·期中）已知全集U=R，A=(−∞,−1]∪[8,+∞)，B={x|−2−2m≤x≤−1+m}【答案】m≤0【解题思路】分B=∅和B≠∅两种情况，得到不等式，求出答案.【解答过程】B={x|−2−2m≤x≤−1+m}，B⊆A，A=(−∞①B=∅时，−2m−2>m−1，解得m<−1②B≠∅时，−2m−2≤m−1≤−1或8≤−2m−2≤m−1，解得：−综上，m<−13或所以m的取值范围是m≤0.35．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合A=xx+4(1)若B中恰有一个元素，用列举法表示a的值构成的集合；(2)若B⊆A，求a的取值范围．【答案】(1)1,2,(2)−【解题思路】（1）分a−1=0与a−1≠0两种情况讨论，当a−1≠0时Δ=0（2）首先解方程求出集合A，再分B=∅、1∈B、4∈B三种情况讨论，分别求出参数a的范围（值），即可得解.【解答过程】（1）若a−1=0，即a=1，则B=0若a−1≠0，即a≠1，则由B中恰有一个元素，得Δ=解得a=2或a=2综上所述，a的值构成的集合为1,2,2（2）由x+4x=5，解得x=1或x=4若B=∅，符合B⊆A，则a−1≠0,a2−4a−12若1∈B，则3a−2=0，解得a=23，则B=1若4∈B，则21a−17=0，解得a=1721，则B=4,综上所述，a的取值范围为−∞题型8题型8空集的性质及应用36．（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0∈C．0=∅ D．【答案】C【解题思路】根据∅的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解答过程】因为∅是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：0∈0对于选项D：因为∅是任何集合的子集，所以0⊇∅故选：C.37．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（

）A．∅ B．x∈R|C．x|x<4，或x>8 D．【答案】B【解题思路】根据空集的定义进行判断可得答案.【解答过程】对于A，∅不是空集，故A错误；

对于B，x2+1=0无解，所以集合对于C，集合x|x<4，或x>8对于D，集合x|x故选：B.38．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式m(x+3)<x+m解集为空集，则实数m的值为.【答案】1【解题思路】不等式化为(m−1)x<−2m，然后对系数进行分类讨论可得．【解答过程】m(x+3)<x+m可化为(m−1)x<−2m，若m=1，不等式为0<−2，不成立，不等式解集为空集，若m>1，不等式的解为x<−2m若m<1，不等式的解为x>−2m综上，m=1，故答案为：1.39．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A=xa−1<x<2a+1，B=x0<x<1，若A【答案】a≤−2；【解题思路】根据给定条件，利用空集的意义列式作答；【解答过程】因A={x|a−1<x<2a+1}是空集，则2a+1≤a−1，解得a≤−2，所以实数a的取值范围是a≤−2.40．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合A=xx2(1)若A=B=∅，求实数a的取值范围；(2)若A和B有且只有一个是∅，求实数a的取值范围.【答案】(1)−2<a<−1；(2)a≤−2或a≥−1.【解题思路】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.【解答过程】（1）由A=B=∅，得Δ1=4+4a<0Δ所以实数a的取值范围是−2<a<−1.（2）由A和B有且只有一个是∅，得A=∅且B≠∅或A≠∅且B=∅，则有Δ1=4+4a<0Δ2=16−4(a+6)≥0或Δ所以实数a的取值范围是a≤−2或a≥−1.题型9题型9交集、并集、补集运算41．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合A=x−2<x<1，B=x−1≤x<2，则A．x−2<x<2 B．xC．x−1≤x≤1 D．【答案】B【解答过程】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【解题思路】因为A=x−2<x<1，所以A∩B=x|−1≤x<1故选：B.42．（24-25高一上·吉林·期中）已知全集U=0,1,2,3,4,5，A=2,4，则∁UA．1,3,5 B．0,1,3,5 C．2,4 D．0,2,4【答案】B【解题思路】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【解答过程】因为全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=所以∁UA=故选：B.43．（24-25高一上·天津津南·期中）已知集合A=1,2a，B=a,b，若A∩B=18【答案】1,【解题思路】根据交集的定义求得a,b，然后利用并集的定义求出答案．【解答过程】集合A=1,2a若A∩B=18，则2a=1∴A=1,18∴A∪B=1,故答案为：1,144．（24-25高一上·天津·期中）已知集合A=x2−a≤x≤2+a，(1)当a=4时，求A∩B和∁R(2)若A∩∁RB=A【答案】(1)A∩B={x|−2≤x≤1}，∁R(2)a<1.【解题思路】（1）应用集合的交补运算求集合；（2）根据题设有A⊆∁RB，讨论A=∅【解答过程】（1）由题设A=x−2≤x≤6，B={x|x≤1或则A∩B={x|−2≤x≤1}，∁R（2）由∁RB={x|1<x≤6}，且A∩∁当A=∅时，2−a>2+a，即a<0；当A≠∅时，2−a≤2+a2−a>12+a≤6，即所以a<1.45．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合U=0,+(1)若a=3，求A∪B，∁U(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)A∪B=x−2<x<6，∁(2)a≤【解题思路】（1）根据集合并集以及补集的定义求解即可；（2）分B=∅和B≠∅求解即可.【解答过程】（1）若a=3，则B=x所以A∪B=x−2<x<6，∁U（2）若B⊆A，①当B=∅时，a−1≥2a，解得a≤−1；②当B≠∅时，a−1<2aa−1≥−22a≤3，解得综上，a≤3所以a的取值范围为a≤3题型10题型10交、并、补集的混合运算46．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知集合A=xx<1，B=−2,−1,0,1,2,3，则∁A．−2,−1,0,1,2 B．0,1,2,3 C．1,2,3 D．2,3【答案】C【解题思路】利用补集和交集的定义可求得集合∁R【解答过程】因为集合A=xx<1，B=−2,−1,0,1,2,3因此，∁R故选：C.47．（24-25高一上·贵州遵义·期中）若全集U=1,2,3,4,5，设集合A=1,3，B=2,3,4．则A∩A．1 B．3 C．1,3 D．1,3,5【答案】A【解题思路】根据补集和交集的定义可求得集合A∩∁【解答过程】因为全集U=1,2,3,4,5，A=1,3，则∁UB=1,5故选：A.48．（24-25高一上·上海·期中）设全集U=0,1,2,3,4，集合A=1,2，B=1,3，则【答案】0,1,2,4【解题思路】利用集合的运算法则求解即可.【解答过程】由题可知，∁UB=0,2,4故答案为：0,1,2,4.49．（24-25高一上·湖南怀化·期中）设全集U=R，集合A=xx<−3或x>5(1)求A∩B和A∪B.(2)求∁UA∩B，∁【答案】(1)A∩B=x5<x<10，A∪B=x(2)∁UA∩B=x−2<x≤5，∁R【解题思路】（1）利用集合的交并集运算即可得解；（2）利用集合的混合运算即可得解.【解答过程】（1）因为A=xx<−3或x>5，所以A∩B=x5<x<10，A∪B=x（2）因为U=R，A=xx<−3所以∁UA=x所以∁UA∩B由（1）知A∩B=x5<x<10，A∪B=x所以∁RA∩B=xx≤5或50．（24-25高一上·天津·期中）已知全集U=R，集合A=x∣−1≤x≤4,B={x∣x<1或(1)求A∪B；(2)求(∁(3)求(∁【答案】(1){x∣x≤4或x>5}；(2){x∣x<1或x>4}；(3)x∣4<x≤5.【解题思路】（1）根据并集的概念求解；（2）先利用补集的概念求出∁U（3）先利用补集的概念求出∁U【解答过程】（1）∵集合A=x∣−1≤x≤4,B={x∣x<1或∴A∪B={x∣x≤4或x>5}.（2）∵全集U=R，集合A=x∣−1≤x≤4∴∁UA={x∣x<−1或又B={x∣x<1或x>5}，∴(∁UA)∪B={x∣x<1（3）∵全集U=R，B={x∣x<1或x>5}，∴∁UB又因为∁UA={x∣x<−1或∴(∁UA)∩(题型11题型11集合的基本运算中的参数问题51．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合A=x1<x<2，B=xx<a，若A∩B=A，则A．a≥1 B．a≥2C．a≤1 D．a≤2【答案】B【解题思路】根据交集的计算结果可得集合间的关系，即可得解.【解答过程】由A∩B=A知A⊆B，又A=x|1<x<2，B=x|x<a，所以故选：B.52．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合A=x∣x>5，B=x∣5a−1<x<a+11，且A∪B=A，则a的取值范围为（A．−∞,−6 B．65,+∞ 【答案】B【解题思路】由并集的定义可知A∪B=A得到B⊆A，讨论集合B是否为空集，得到对应的参数a的范围，再求并集得到结果.【解答过程】因为A∪B=A，所以B⊆A.若B=∅，则5a−1≥a+11，即a≥3；若B≠∅，则a<35a−1≥5解得6综上所述，a的取值范围是65故选：B.53．（24-25高一上·北京·期中）设U=0,2,3,4，A=xx2−nx=0，若∁U【答案】4【解题思路】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解.【解答过程】由x2−nx=0得xx−n=0，解得U=0,2,3,4，∁UA=故n=4，故答案为：4.54．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为U=R，集合A=xx(1)当a=6时，求A∪B和A∩(2)在①B∩∁RA=∅；②A∩B=B；③A∪B=A【答案】(1)A∪B=x|x<−1或x>7；A∩∁R(2)−【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合A，然后将a代入确定集合B，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可；（2）首先根据集合间运算的结果可得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况分类讨论求解参数取值范围即可【解答过程】（1）由不等式x2−7x−8>0，解得：x<−1或x>8，因此可得：A=x|x<−1将a=6代入集合B中可得：B=x|7<x<9因此A∪B=x|x<−1或x>7又∁RB=x|x≤7或x≥9，得：A∩（2）选①由B∩∁RA=∅当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−选②由A∩B=B，可知B⊆A，当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−选③由A∪B=A，可知B⊆A，当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−55．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合A={x|1≤x≤5},B={x|ax−1≥0}．(1)若a=12，求(2)从①A∩B=A；②B∪∁RA问题：若_________，求实数a的取值范围．【答案】(1)A∩(2)选择见解析，a【解题思路】（1）依次求集合B和其补集∁R（2）若选①，由题设得A⊆B，就参数a分类讨论，借助于数轴表示即可求得a的范围；若选②，先求∁RA，就参数a分类讨论，借助于数轴表示即可求得a的范围；若选③，就参数a分类讨论，借助于数轴表示即可求得【解答过程】（1）当a=12时，则∁RB={x|x<2}，则（2）若选①，A∩B=A，可得A⊆B，则B≠∅.当a<0时，B={x|x≤1a}，由{x|1≤x≤5}⊆{x|x≤1a当a>0时，B={x|x≥1a}，由{x|1≤x≤5}⊆{x|x≥1a综上，实数a的取值范围为aa≥1若选②，因∁RA={x|x<1或x>5}，又B∪∁当a<0时，B={x|x≤1a}，需使1当a>0时，B={x|x≥1a}，需使1综上，实数a的取值范围为aa≥1若选③，因为A∩∁当a=0时，B=∅，∁R当a<0时，B={x|x≤1a}，需使1当a>0时，B={x|x≥1a}，需使1综上，实数a的取值范围为aa≥1题型12题型12Venn图表达集合的关系和运算56．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知全集U=R，集合A=−1,0,1,2,3，B=xA．−1,0 B．0,1C．−1,0,1 D．−1,0,1,2【答案】C【解题思路】由题意，图中阴影部分所表示的集合为A∩∁【解答过程】已知全集U=R，集合A=−1,0,1,2,3，则∁U图中阴影部分所表示的集合为A∩故选：C.57．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集U=−2,−1,0,1,2,3,4，集合A=x∈Zx2−x<6，B=−2,0,1,3，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①−1,2②∁A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可.【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为∁A∪BB，因为A=x∈Z−2<x<3所以A∩∁∁U所以正确的有3个.故选：C.58．（24-25高一上·上海·期中）已知集合A=x1<x<2,B=x0<x<【答案】{x|0<x≤1}【解题思路】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可.【解答过程】由题图知：阴影部分为B∩∁RA，而∁所以B∩∁故答案为：{x|0<x≤1}.59．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集U为实数集，集合A={x∣−2<x<3},(1)若m=−1，求图中阴影部分表示的集合C；(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.【答案】(1){x∣−3<x≤−2}(2){m|−1【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合∁U（2）转化为B⊆A，分类讨论，列出不等式，求解即可.【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为∁U当m=−1时，B={x∣−3<x<1}，又∁UA={x∣x≤−2或所以∁U（2）因为A∩B=B，所以B⊆A，当B=∅时，2m−1≥m+2，解得m≥3.当B≠∅时，若B⊆A，则有2m−1<m+22m−1≥−2解得−1综上所述，实数m的取值范围是{m|−1260．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集U=R，集合A=x|−2≤x≤4，B={x|x<−6或(1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合C=x|10−a<x<2a+1，若∁UB【答案】(1){x|−2≤x<2}(2){a|a≤8}【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合A∩∁（2）先将条件∁UB∩C=∅转化为C⊆B【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合A∩∁因为A=x−2≤x≤4，B=x所以∁UA∩则图中阴影部分表示A∩∁（2）因为C=x10−a<x<2a+1，B=x由∁UB∩C=∅所以当C=∅时，10−a≥2a+1，解得a≤3，符合题意；当C≠∅时，10−a<2a+12a+1≤−6或10−a<2a+1此时不等式组10−a<2a+12a+1≤−6不等式组10−a<2a+110−a≥2的解集为3<a≤8综上，a的取值范围为{a|a≤8}．题型13题型13\t"/gzsx/zj135318/_blank"\o"容斥原理的应用"容斥原理的应用61．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【解题思路】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【解答过程】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，则card(A∪B∪C)=35,card(A)=19,得card(A∪B∪C)=即35=19+16+15−6−5−card(A∩C)，得所以只参加一个社团的人数共有19−(4+6)+16−(6+5)+15−(4+5)=20.故选：C.62．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和B,4名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（

）A．51 B．50 C．49 D．48【答案】B【解题思路】根据题意，结合venn图，列式运算得解.【解答过程】由题意，cardA=25，cardB=20，cardA∩C=4，因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，所以这个班同学人数是cardA∪B∪C=card故选：B.63．（24-25高一上·新疆·期中）自2024年起，江西新高考采用“3+1+2”模式，其中，“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择1门；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学4个科目中选择2门.已知某校首选科目为物理的考生有800人，其中再选科目选了化学的有560人，再选科目没有选生物学的有480人，再选科目同时选了化学和生物学的有320人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（

）A．80 B．160 C．240 D．320【答案】C【解题思路】根据集合之间的容斥关系进行求解即可.【解答过程】∵再选科目同时选了化学和生物学的有320人，∴再选科目选了化学，没有选生物学的有560−320=240人；∴再选科目没有选生物学，也没有选化学的有480−240=240人，即再选科目同时选了思想政治和地理的人数为240人.故选：C.64．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有人.【答案】8【解题思路】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x人，作出韦恩图，根据题意可得出关于x的方程，解出x的值即可.【解答过程】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x人，由题意作出如下韦恩图，由题意可得26+5+4+9−x=44−x=36，解得x=8.因此，同时参加游泳和球类比赛的有8人.故答案为：8.65．（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有人．【答案】5【解题思路】设只想报名物理选修课的同学有x人，求得同时想报名语文和物理选修课的有13−x人，只想报名语文选修课的同学有x−2人，只想报名数学选修课的同学有4人，由题意画出Venn图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解.【解答过程】设只想报名物理选修课的同学有x人，因为有28人想报名物理类选修课，所以同时想报名语文和物理选修课的有28−15−x=13−x人，因为有21人想报名语文类选修课，则只想报名语文选修课的同学有21−10−13−x因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有29−10−15=4人，又没有三类选修课都想报名的同学，由题意画出Venn图，如图所示：

因为该班共45名同学，所以x−2+13−x+x+15+4+10=45，解得x=5，所以只想报名物理选修课的同学有5人.故答案为：5.题型14题型14集合中的新定义问题66．（24-25高一上·重庆·期中）定义集合运算A⊙B=mm=x−y,x∈A,y∈B．已知非空集合A和B，且A∪B⊆1,2,3,4,5，若A⊙B⊆B，则满足题意的不同的BA．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【解题思路】结合集合新定义，讨论B中元素