非线性偏微分方程-偏微分方程数值方法

非线性偏微分方程偏微分方程数值方法

非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性

微分方程

（一）主要研究内容

非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用

中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环

系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空

间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分

方程、II-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。

1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性（和多解

性）及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解（包括周期解和概周期

解）的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的

分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;#线性方程的数值解。

2.1卜半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值（S）型和伪单调型

映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型

H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。

3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用：主要研究与电力生产

有关的控制系统的理论和应用。首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程

所描述的最优控制系统的研究。引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，

利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的

许多最优控制问题（如：电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学

模型等）O

（二）研究方向的特色

1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特

别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，

人们对心半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科

学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。

2.该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有

着十分重要的理论指导意义和实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提

供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中本课题属于国内外前沿

性研究工作。

（三）可取得的突破

1.深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影响，诸如静态解、周期解的存在

性、解的存在性、渐近性等问题;寻求它们在含间断项的非线性偏微分方程方面的

突破。

2.寻求和发现新的处理非单调、非凸不可微能量泛函的方法（如建立Ishikawa

迭代序列收敛准则），建立发展型方程G-收敛准则，寻求可行的光滑方法将算子方

程光滑化，创建新的先验估计方法。

3.应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设

计、分析和计算提供一些重要的理论依据和方法。

1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。

17601761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。

随机微分方程数值解

在随机微分方程数值解这个领域，近几年来国内涉足它的人开始逐渐增多C它

也是一门建立在随机分析与微分方程数值解之间的新兴学科。作为一个初学者，我

想从它的框架简单谈一下自己的认识，以供讨论。从研究的问题本身来说它主要分

为：

1随机常微分方程数值方法

2随机偏微分方程数值方法

3随机延时微分方程数值方法

4倒向随机微分方程数值方法

仅这四个方面就已经涵盖目前非常重要的一些技术领域的应用。另外从数值方

法上分，它可以分为：

1强逼近问题

2弱逼近问题

还有更强的顺向逼近。国内最早涉足这个领域的是山大的彭实戈老师，已经在

倒向随机微分方程理论及随机最优控制方面取得了惊人的突破。国外方面，在美国

做随机常微分方程的很少（只有Hchurz,lamba几个），做随机偏微分方

如Allen,Cao等等），在欧洲做随机常微分方程的很多（如Talay,程的较多（

Higham,Milstein等）。另外澳洲也有专门研究随机常微分方程的（如

Burrage）<>

随机微分方程（SDE）是a微分方程在哪些一个或更多期限是a随机过程因而造

成是本身一个随机过程的解答。一般，SDEs合并空白噪声哪些能被重视作为衍生

物苏格兰的植物学家RobertBrown的行动（或熏肉香肠过程）；然而，值得一提的

是，任意波动的其他类型是可能的，例如跳跃过程（参见［1］）.

内容

1背景

1.1术语

1.2随机微积分

L3数值解

2用途在物理

2.1笔记关于"Langevin等式〃

3用途在可能性和财政数学

4解答的存在和独特

5参考

6参见

背景

在SDEs的最早期的工作被完成描述苏格兰的植物学家RobertBrown的行动爱

因斯坦’s著名纸和同时由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作与苏格兰

的植物学家RobertBrown的行动有关相信Bachelier(1900)在他的论文’猜想理论

'。这工作被跟随了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加坚实的数学立足处

投入了SDEso

术语

在物理学，SDEs通常被写当Langevin等式。这些有时缠扰不清称“Langevin

等式〃即使有许多可能的形式。这些包括包含一个确定部分和一另外任意的一个常

微分方程空白噪声期限。第二个形式是福克战斗机Planck等式.福克战斗机

Planck等式是描述时间演变的一个偏微分方程概率分布作用.第三个形式是在数学

和财务最频繁使用(如下所示)的随机微分方程。这于Langevin形式是相似的，但

它在有差别的形式通常被写。这个形式频繁地使用由数学家和在定量财务。SDEs

进来二品种，对应于随机微积分的二个版本。

随机微积分

苏格兰的植物学家RobertBrown的行动或熏肉香肠过程数学上被发现是格外

复杂的。熏肉香肠过程non-differentiable;因此，它要求微积分它自己的规则。

使用随机微积分的二个版本，Ito随机微积分并且Stratonovich随机微积分.当你

应该使用一或其他时，它是有些模棱两可的。方便地，你在解答可能再欣然转换

ItoSDE成等效StratonovichSDE和后面成援助；然而，使用的你一定小心当的微

积分SDE最初写下时。

数值解

随机微分方程的特别是数值解和随机偏微分方程相对地讲是一个年轻领域，几

乎为常微分方程的解答使用的所有算法为SDEs非常不足将运作，有非常恶劣的数

字汇合。

用途在物理

在物理，SDEs在Langevin形式典型地被写并且被称为“Langevin等式〃。例

如，一般被结合的套优先处理的SDEs在形式经常被写：

那里是套未知数，fi并且gi是任意作用和nm是，经常被称为的时间的任意

作用〃噪声命名〃。这个形式通常是能用的，因为有变换的标准技术高次等式成数通

过介绍新的未知数结合了优先处理的等式。如果gi是常数，系统被认为受叠加性

噪声支配，否则它被认为受乘噪声支配。这个期限是有些引入歧途的，因为它来意

味一般案件，即使看起来暗示有限的案件，：.叠加性噪声是简单的二个案件。正确

解答可能使用平凡经常被发现微积分.特别是，平凡连锁法则微积分能使用。然

而，在乘噪声情况下，Langevin等式不是明确定义的个体独自，并且必须指定它

是否应该解释Langevin等式作为ItoSDE或StratonovichSDE。

在物理，解答主要方法将发现概率分布作用作为时间功能使用等值福克战斗机

Planck等式(FPE)。福克战斗机Planck等式是确定的偏微分方程.它告诉怎样概率

分布作用及时相似地演变于怎样Schrdinger等式给量子波函数的时间演变或扩散

等式给化工集中的时间演变。二者择一地数值解可以获得蒙特卡洛模仿。其他技术

包括道路综合化那在比喻画在统计物理之间和量子力学（例如，福克战斗机Planck

等式可以被变换成Schrdinger等式通过重新调节几可变物）或通过写下常微分方程

为统计片刻概率分布作用。

笔记关于"Langevin等式〃

〃〃在“Langevin等式〃是有些不合文法命名原则。每个单独物理模型有它自己的

Langevin等式。或许，“Langevin等式〃或〃伴生的Langevin等式“更将好遵守共同

的英国用法。

用途在可能性和财政数学

记法用于概率论例如（和在概率论的许多应用，财政数学）是轻微地不同的,这

个记法做异乎寻常的自然时间的任意作用nm在物理公式化更加明确”也是用于出

版物的记法数字方法为解决随机微分方程。用严密的数学用语，nm不能仅被选择

作为一个通常作用，而是作为a广义函数.数学公式化比物理公式化对待这复朵化

以较少二义性。

一个典型的等式是形式

那里B表示a熏肉香肠过程（标准苏格兰的植物学家RobertBrown的行动）。

应该解释这个等式作为一个不拘形式的方式表达对应积分方程

上面等式描绘行为连续的时间随机过程xt作为平凡的总和Lebesgue积分式并

且It。积分式.A启发式（但是非常随机微分方程的芍用的）解释那在小规模间隔时

间长度§随机过程xt改变它的价值由是的数量通常分布与期望u（xt,t）6并且

变化。（xt,t）6并且是过程的过去行为的独立。这如此是，因为熏肉香肠过程的

增加是独立和通常分布。作用u指漂泊系数，当时。叫扩散率。随机过程xt叫

a扩散过程和通常是aMarkov过程.

SDE的正式解释被给根据什么构成解答对SDE。有解答对SDE,一种强的解答和

一种微弱的解答的二个主要定义。两个要求过程的存在xt那解决SDE的积分方程

版本。二句谎言之间的区别在部下的概率空间(CFPr)。一种微弱的解答包括a概

率空间并且满足积分方程的过程，而一种强的解答是满足等式的过程和被定义在一

个特定概率空间。

一个重要例子是等式为几何学苏格兰的植物学家RobertBrown的行动

哪些是等式为a的价格的动力学股票在黑Scholes定价财政数学的模型选择。

也有更加一般的随机微分方程，系数U并且。取决于不仅过程的现值xt,而

且在过程的早先价值和可能在其他过程的当前或早先价值也是。在那个案件解答过

程，x不是Markov过程，并且它称过程而不是扩散过程。当系数仅依靠礼物

和通过价值x定义的等式称随机延迟微分方程。

解答的存在和独特

和以确定普通和偏微分方程，知道是重要的特定SDE是否有一种解答，并且是

否它是独特的。下列是一个典型的存在和独特定理为It。采取价值的SDEsn-尺寸

欧几里德的空间Rn并且由驾驶m-尺寸苏格兰的植物学家RobertBrown的行动B;

证明在ksendal(2003年，?5.2)也许被发现。

让T0,和让

是可测函数为哪些那里存在常数C并且D这样

为所有t?[0,T]和所有x并且y?Rn的地方

让Z是独立的一个随机变量。-引起的代数Bs,s?0,和与有限二次矩：

然后随机微分方程或初值问题

xt=Z;

有Pr-几乎肯定独特L连续的解答(t,s)|?xt(3)这样x是适应对滤清FtZ引

起Z并且Bs,s?t和

参考

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文.NUMDAM:用英语在1971书'股市'Eds的任意字符。P.H.Cootnero

高性能科学计算研究

一、研究内容

一般地，构成实际应用物理过程的各个不同阶段的物理模型，可分别由不同类

型的时间相关或无关的偏微分方程在给定的物理区域上描述。如何针对不同偏微分

方程的问题设计合适的网格和离散格式，如何设计可犷展的并行算法及共开行实现

技术，在离散网格上给出方程的近似解，是我们研究的两个主要方面。

本项目的研究以科学计算的共性问题为核心，包括具有最优复杂性的计算方法

研究和能发挥计算机浮点计算峰值性能的实现技术研究，同时应用本项目科学计算

的共性问题的研究成果，解决一批我国具有重大需求的科学计算问题。

1.创新计算方法的基础理论研究

计算数学是研究可在计算机上运行的数值算法的构造及其数学理论的学科C过

去五十多年科学计算发展的历史表明：基础计算方法的重要突破如有限元方法、多

重网格方法、快速傅里叶变换等都极大地改变了科学计算的面貌。我们将研究有限

元新型算法包括多重网格4区域分解算法、均匀化多尺度算法、自适应高精度算法

和各类方法的耦合，动力系统的保结构算法，守恒律高分辨率差分格式，各类快速

算法包括非规则网格的快速傅里叶变换等，同时研究新的应用领域大规模高速集成

电路中电磁信息计算中的计算方法。研究重点在并行

自适应算法与理论，保结构计算方法的理论与应用，大规模高速集成电路中电

磁信息计算。

1.1并行自适应算法与理论

这里自适应方法主要是指网格自适应方法，是一类渗透到了偏微分方程数值

解、非线性逼近论、偏微分方程约束的最优工程设计、网格产生等科目研究的方

法。现在网格自适应方法主要分为三种主要的类型，分别叫做h-方法、P-方法和

r-方法。其中h-方法是对网格进行自适应的局部加密和稀疏化，p-方法是在网格

的不同位置使用不同的基函数，l方法是进行网格点的重新分布，又叫做移动网格

方法。将h-方法和p-方法结合可以得到h-p方法，也可以将L方法和p-方法结合

得到r-p方法。网格自适应方法最根本的目标在于使用最少的计算资源来解决问

题，从而可以在现有的硬件资源条件下扩大计算的规模和提高计算的精度。

针对当前国际研究发展的趋势和本项目应用问题的需求，我们主要的研究内容

集中在下面的二个方面:

网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究

摘要:该文的主要目的是研究无网格方法,并将其应用于偏微分方程的数值解过

程中.与传统的网格方法不同,无网格方法的核心是用〃点云〃离散求解区域,并基于

当地点云离散结构，引入二次极小曲面逼近空间导数.该文先以代表定常不可压位势

绕流的Laplace方程为例,研究了Laplace方程的无网格离散形式,并运用GMRES高

效算法对其快速求解，数值模拟了典型的圆柱绕流;并通过不同点云尺度的数值模拟,

显示出点云尺度对计算精度的影响.在此基础上，将该方法推广应用到解算Euler方

程组.针对守恒型Euler方程组的无网格离散形式，借鉴非结构网格方法附加耗散模

型,采用五步Runge-Kutta显式时间推进格式求解.并且基于点云离散结构，引入了

当地时间步长、残值光顺等加速收敛技术,数值模拟了对称和非对称翼型绕流,获得

较好的计算结果.该文还对基于点云结构的无网格计算软件的面向对象设计模式进

行了研究,着重于提高软件的复用性和

Matlab偏微分方程工具箱简介

1.概述

本文只给出该工具箱的函数列表，读者应先具各偏微分方程的基本知识，

然后根据本文列出的函数查阅Matlab的help,便可掌握该工具箱的使用。

2.偏微分方程算法函数列表

adaptmesh生成自适应网络及偏微分方程的解assemb生成边界质量和刚度矩

阵

assema生成积分区域上质量和刚度矩阵assempde组成偏微分方程的刚度矩阵

及右边hyperbolic求解双曲线型偏微分方程parabolic求解抛物线型偏微分方程

pdeeig求解特征型偏微分方程

pdenonlin求解非线性型微分方程

poisolv利用矩阵格式快速求解泊松方程3.图形界面函数

pdecirc画圆

pdeellip画椭圆

pdemdlcv转化为版本1.0式的*.m文件pdepoly画多边形

pderect画矩形

pdetool偏微分方程工具箱的图形用户界面

4.几何处理函数

csgchk检查几何矩阵的有效性csgdcl删除接近边界的小区

decsg将固定的几何区域分解为最小区域initnesh产生最初的三角形网络

jigglemesh微调区域内的三角形网络poimesh在矩形区域上产生规则的网络

refinemesh细化三角形网络

wbound写一个边界描述文件

wgcom写一个几何描述文件

pdecont画轮廓图

pdemesh画偏微分方程的三角形网络pdeplot回偏微分方程的三角形网络

pdesurf画表面图命令

5.通用函数

pdetriq三角形单元的品性度量poiasma边界点对快速求解泊松方程的〃贡献〃

矩阵

poicaic规范化的矩阵格式的点索引poiindex规范化的矩阵格式的点索引

sptarn求解一般的稀疏矩阵的特征值问题

tri2grid由三角形格式转化为矩形格式

《偏微分方程中多尺度问题的数值解法》偏微分方程数值方法理论及共应用、

7邛艮元方法、多重网格法与区域分解法

〃偏微分方程数值求解中的自适应网格方法研究〃人工边界方法:无界区域上的

偏微分方程数值解

〃有限元高精度理论及算法〃、〃具有奇异解的偏微分方程的数值解法〃、〃无界

域上偏微分方程的数值解法〃、〃多尺度有限元方法及其快速算法〃、〃快速数值计算

算法及软件〃

偏微分方程数值解法2

所谓的偏微分方程(PDE)是指含两个以上自变量的微分方程。偏微分方程的求

解一般说来太过复杂，所以现在还没有一个对所有偏微分进行求解的理论，所谓的

求解偏微分方程也只是对某些人们比较熟悉的类型进行求解。

对于一个形如A(x,y)Uxx+B(x,y)Uxy+C(x,y)Uyy=f(x,y,U,Ux,Uy)inQ的偏微

分方程

其中Q是给定的平面有界区域。

如果IT2-4AC0椭圆型

B"2-4AC=0抛物线型

B"2-4AC0双曲线型

如果ABC是常数，方程被称为拟线性方程。

以上三类方程，人们有较成熟的解法。

这三类方程也有物理意义，比如椭圆型方程常见于电磁场的分布，抛物线型方

程常见于扩散，双曲线型常见于波动，后两者还常会带有对时间的求导项。

这些方程，往往在一定的条件下才能有定解：Dirichlet条件，又称第一类边

界条件，设定初值Neunann条件，又称第二类边界条件，设定边值条件很多情况

下，两者都有，称为混合边界条件。我的课题中涉及到一个物质随着流动相在色

谱柱里运动的方程，能够描述

物质浓度波在柱内的运动和变形，因此会包括一阶时间项和二阶空间项，有个

专有名词一对流扩散方程，是种抛物线型和双曲线型的混合型方程。

偏微分方程数值解法

差分方法

有限元方法

拟谱方法

自适应格点方法

小波分析方法解偏微分方程

解决的方向：

微分算子的计算或表达

时间的差分离散

边界的处理

收敛性分析

误差的估计

稳定性分析

微分算子的自适应计算

时间和空间的自适应计算

差分法从定解问题的微分或积分形式出发，用数值微商或数值积分公式导出相

应的线性代数方程组.

构造逼近微分方程定解问题的差分格式:直接差分化法，积分插值法以及有限体

积法或广义差分法.

差分解的存在唯一性，收敛性以及稳定性的研究这些理论问题为对差分解作出

先验估计.基于极值定理以及能量不等式作估计.

有限元法从定解问题的变分形式出发,用Ritz-Galerkin方法导出相应的线性

代数方程组.

中文译名？偏微分方程的多尺度小波方法本书系《小波分析及其应用》第6

卷，是一本论文集。

小波分析是目前国际上公认的最新时-频分析工具，由于其具有自适应性和数

学显微镜性质，而成为众多学科共同关注的焦点。从数学角度讲，小波分析对函数

逼近、调和分析、统计学、微分和积分方程的数值解等均产生直接的影响。本书作

为小波分析与一般偏微分方程（PDE-partialDifferential

Equation）技

术的桥梁，将多尺度分解的概念引入到了PDE的数值求解，可有效的分析较复

杂问题。

书中内容分为6部分：（1）回顾了基于多层预调节及多网格技术的有限元法，多

尺度空间分解框架，域内椭圆形问题的多尺度解法。（2）快速小波算法（压缩与自适

应方面）：1）维二阶椭圆形PDE的自适应解的小波配置方法，求解非线性PDE的自适

应小波分析，基于小波包最佳基的动态自适应概念在对流扩散PDE中的应用，求解

椭圆算子方程中的非线性近似与自适应技术。（3）积分方程的小波求解，包括强椭

圆边界积分方程的多尺度Galerkin法。（4）小波多尺度求解

PDE的软件工具与数值实例。（5）多尺度分析在湍流中的应用。（6）偏微分算子

的小波分析。

本书收集的M篇论文代表了当前小波在偏微分方程应用中的最新进展，可供

小波理论及应用、PDE等应用数学领域的科研人员学习参考。

（力学系马坚伟）

小波分析方法小波分析方法解偏微分方程

思路:Galerkin方法为基础；

半群方法为基础.

基于偏微分方程或积分方程的信号处理，流体动力学的问题就能用此方程描述.

这些问题解的特征为光滑的(smooth),非振荡的(norroscillatory),shock.

方法为:算子和解投影到小波基上.基函数的消失矩特性使得解和算子能够稀疏

表达,因此就能给出快速，自适应算法.这些算法基于在光滑区域用较少的小波系数,

在奇异区域得用较多的小波系数.

解这类方程重要的一步为时间的离散.因为进化方程的扩散项,标准的显格式容

许小的时间步长.另外，隐格式容许大的时间步长，但在每一步得解线性方程组，这就

给应用带来了困难.

B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)

用的方法:WaveletHalerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配点方法，非

标准小波表示.

JohnWeiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是时间差分，

空间离散.计算比较复杂，但精度好.

小波Galerkin方法

Galerkin配点方法:通过投影将连续算子离散化为矩阵形式,此方法的困难在于

二重积分的数值计算；

为解决这困难，研究者提出了函数基用小波基,此方法被称为小波Galerkin方

法.

在作数值逼近计算时，因为用了小波基，因此很多算子可用稀疏矩阵表示,那么

小波Galerkin方法就为作快速数值计算提供了算法.总的来说，小波Galerkin方法

在作逼近分析时比Adomian分解方法更可靠,在作数值逼近计算时比Galerkin方法

速度更快.

算法复杂性为

另外，得分析稳定性；

不同小波基础的误差估计；

时间空间的自适应.

Legendre多小波的非标准表示的优点：

算子矩阵稀疏；

子区间元素相同；

维数低；

可线性化非线性项.

Legendre多小波不连续,微分算子的处理方法：

通过尺度方程导出系数方程组,解此方程组可得到算子矩阵;用传统的弱导数通

过积分计算算子矩阵.

此小波处理边界有优势.

边界的处理？

构造多分辨分析,使得小波基满足边界条件.

用插值小波，配点方法.

变系数的处理.？

时间空间的自适应？

应用小波分析求解微分方程研究

作者:来源:信息与计算科学系责任编辑:xinxi

课题主持人:孙涛

项目组成员：孙涛、李震、武斌、赵燕

项目研究时间:2010.5-2012.5

项H研究内容:主要讲究应用小波分析进行微分方程的求解特别是偏微分力程

的数值求解。预期目标是研究应用小波理论进行微分方程求解的已有成果，分析比

较各种方法在理论与应用上的优缺点，同时对其在适用范围、计算精度、计算复杂

性、收敛性以及稳定性等方面进行对比，从而有针对性的对各种方法进行改进或完

善;对将小波方法应用于偏微分方程数值求解的数学思想进行研究，形成基本的小

波方法;对小波方法求解偏微分方程的小波基的特点进行分析，明确用于偏微分方

程数值解法的小波基的数学特性，设计用小波方法求解偏微分方程的一般数学方

法。

研究成果形式:论文和研究报告。

偏微分方程是需要常微分方程和随机微分（随机过程）两门课做基础的

需同时具备边界条件和初始条件。只给边界条件，一般无法解。如题目无初始

条件，可自定（设）一些初始条件。

只有范围的结果，但不能求出精确的解.给了边界就能.

稳定性分析是针对某一特定的差分算法来说的.而并不是对偏微分方程来说

的。一般是用Fouier分析的办法来做。

你可以看一下

余德浩,汤华中编的科学出版社出版的〃微分方程数值解法〃里面216页有一些

相关的东西。

比较常用的差分算法有Lax_Wendroff格式以及MacCormack格式。

另外，你如果想要解析解的话，估计可能要用特征线法。或者分离变量法看一

下。

微分方程数值解？

NumericalSolutionsofDifferentialEquations

课程编号:S080800XJ001课程属性:学科基础课学时/学分:40/2

预修课程：高等数学（包括数学分析与线性代数）、数学物理方程、计算方法、

程序设计。

教学FI的和要求:

本课程为数学、物理、力学、化学及工程科学等专业硕士研究生的选修课c主

要讲授常微分方程和偏微分方程差分方法的算法、稳定性和收敛性理论，内容包括

常微分方程初值与边值问题的数值解法，抛物型、双曲型及椭圆型偏微分方程的差

分方法等。

通过本课程学习，希望学生掌握数值求解微分方程的一些基本方法，为进一步

学习计算数学的专业课或在各自的专业工作中应用科学计算这一重要研究手段打下

基础。

内容提要：

第一章常微分方程初、边值问题数值解法

Euler方法;Runge-Kulta方法;线性多步方法;稳定性、收敛性和误差估计;常

微分方程边值问题的数值方法。

第二章抛物型方程的差分方法

差分格式建立的基型;显式、隐式差分格式；差分格式的稳定性和收敛性；赢维

抛物型方程的差分方法:交替方向隐式差分方法。

第三章双曲型方程的差分方法

一维双曲型方程的特征线方法;一阶线性双曲型方程（组）的差分方法;双曲型守

恒律方程及守恒型差分格式;二阶波动方程的差分方法。

第四章椭圆型方程的差分方法

Poisson方程第一边值问题的差分方法;Poisson方程的有限体积方法;差分方

法的收敛性和误差估计:椭圆型差分方程的迭代解法；多重网格方法。

教材

余德浩、汤华中，《微分方程数值解法》，科学出版社，北京，2002o

张文生，《科学计算中的偏微分方程有限差分法》，科学出版社，北京，

2006o

主要参考书：

[1]J.W.Thomas.NumericalPartialDifferentialEquations:Finite

DifferenceMethods.Springer-VerlagNewYorkInc.1995.

[2]胡健伟、汤怀民，《微分方程数值方法》，科学出版社，北京，1999。

偏微分方程数值解的两类主要方法:差分方法和有限元方法

二课程性质、目的与任务

《偏微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门专业课，学生通过学

习一些典型、通用的偏微数值方法，掌握用差分法，有限元法求解偏微分方法

的基本理论，理解这些方法构造的基本思想，学会编制差分法和有限元法的计

算程序，同时通过学习一些基本概念和基本理论（如稳定性、收敛性、误差估

计培养一定的理论分析能力。等）

三教学基本内容与基本要求

教学基本内容包括：

1.抛物型方程的有限差分方法

2.双曲型方程的有限差分方法

3.椭圆型方程的有限差分方法

4.变分原理

5.有限单元法

6.有限元方法理论基础

教学基本要求

1.掌握差分法和有限元法的基本理论

2.了解用差分法和有限元法计算偏微分方程的误差估计方法3.能独立编制差

分法和有限元法的计算程序

多尺度问题中的偏微分方程数值方法

《微分方程数值解》

第一章绪论

一、学习目的

通过本章的学习，了解偏微分方程中的三大类方程，以及偏微分的一些基本概

念。计划8学时。

二、课程内容

第一节数学物理方程中的三大类方程

（一）抛物型方程

典型方程:热传导方程，由空间物体的热传导问题导出。利用物理中传热学的

傅里叶实验定律。

（二）双曲型方程

典型方程:波动方程，由两端固定的细弦振动导出。利用胡克定律、牛顿第二

定律等。

（三）椭圆型方程

典型方程:调和方程（Laplace方程），由静电场的电位势或没有热源的热传导等

导出。

第二节数学物理方程中的基本概念

何为线性的或非线性的，给出一个方程怎么判断它是哪类方程，定解问题的三

种提法等。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是三类方程的导出和偏微分方程中的基本概念。

难点是导出过程的理论推导。

四、思考与练习

掌握、吸收所学知识。

第二章常微分方程初值问题数值解法

一、学习目的

通过本章的学习，对常微分方程初值问题的几个典型方法了解、掌握，并能编

写程序。计划8学时。

二、课程内容

2.1欧拉法

（一）欧拉法的格式:用差商代替微商。

（二）收敛性研究

通过分析截断误差确定格式的收敛速度。

（三）稳定性研究

格式对初值误差的连续依赖性°

2.2梯形法、隐式格式的迭代计算

用梯形公式近似计算积分得到常微分方程的梯形公式，而且是一个隐式格式。

估算梯形法的整体截断误差。

2.3单步法、Runge-Kutta法

用泰勒级数构造一般的单步法，几种不同的Runge-Kutta法，以及各自的优缺

点。其中经典的四阶Runge-Kutta法尤为重要。

2.4线性多步法

用Lagrange插值近似小分割上的曲线，得到线性多步法。Adams外插、内插公

式等。

2.5误差的事后估计法、步长的自动选择

何为误差的事后估计法，以及如何利用事后估计法得到的截断误差作为步长h

自动选择的标准。

2.6高阶常微分方程（组）的数值方法

怎样把高阶微分方程转化为一阶的方程组，然后怎么对方程组利用前面所介绍

的方法进行近似计算。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是利用各种方法求方程的近似解。

难点是方法的推导以及局部和整体截断误差的估计。

四、思考与练习

复习所学内容，计算课堂上没有推导的几种格式的截断误差，然后完成布置的

作业。

第三章抛物型方程的差分格式

一、学习目的

掌握有关差分格式以及稳定性的一些基本概念，会构造差分格式并可用两种方

法分析差分格式的稳定性。了解差分格式稳定性的定义及其含义。计划14学时。

二、课程内容

3.1差分格式建立的基础

对所考虑的方程的初边值问题进行网格剖分，建立差分格式。学习三种差商代

替微商的方法。学会用算子形式表示差分格式。

3.2显示差分格式

一维常系数热传导方程的古典显式格式，以及系数依赖于x的一维热传导方程

的显式格式。计算各自的截断误差。

3.3隐式差分格式

由向后差商得到古典隐式格式，推导常用的Crank-Nicolson隐式格式和加权

的六点隐式格式，知道前两种是六点加权隐式格式的特殊形式。系数依赖于x：t的

一维热传导方程的隐式格式。

3.4解三对角形方程组的追赶法

在求解隐式差分方程时形成一个线性代数方程组，它的系数矩阵是三对角形矩

阵，因此要学会用追赶法求这类方程组，分为追和赶两步。

3.5差分格式的稳定性和收敛性

学习-图方法、矩阵法、Fourier级数法（VonNeumann方法）分析差分格式的稳

定性。重点用矩阵法和VonNeumann方法分析前面学习的几种差分格式，并比较后

两种方法的优劣。对于收敛性利用Lax等价性定理转化为对稳定性的研究。

3.6非线性抛物型方程的差分解法举例

包括Richtmyer线性方法和Less三层差分格式。对于Less三层差分格式要对

第二层利用其他方法求出。

3.7二维抛物型方程的差分格式

初边值问题要进行三维方向的网格剖分，其中方法与一维的类似，也有显式和

隐式之分，以及稳定性分析等，其中显式简单，但效果没有隐式好。

3.8交替方向的隐式差分格式（ADI格式）

为了提高精度和满足无条件稳定的差分格式，把每一时间层的计算分成几步进

行，而使每步具有一维格式的特点，提出以下几种格式:Peaceman-Rachford格

式、Douglas-Rachford格式、Mitchell-Fairweather格式等。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是利用各种方法求方程的近似解，用矩阵法和VonNeumann方法进行

稳定性分析。难点是格式的理论导出和稳定性分析。

四、思考与练习

复习所学内容，编写一定的程序，用两种方法进行稳定性分析，然后完成布置

的作业。

第四章椭圆型方程的差分格式

一、学习目的

掌握椭圆型方程的五点、九点差分格式，掌握极值原理，收敛性分析和误差估

计。计划14个学时。

二、课程内容

4.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟

对Dirichlet边值问题从x和y轴方向进行网格剖分得到Laplace方程的五点

差分格式。然后转化为解一个线性矩阵。

4.2Neumann边值问题的差分模拟

由于边值问题通过告诉它的法向量在边值的值，这样关键就是如何把这个条件

转化为边值上的解。利用中心差商代替微商把导数边值转为一般的边值条件。

4.3混合边值问题

区域的一部分是Dirichlet条件而另一部分是Neumann条件，那么对于

Neumann条件利用类似上节的方法处理边值问题。

4.4非矩形区域

当区域不是规则的矩形时，我们对这种区域的邻接边界的内部结点需要特别的

处理，它到边界的距离可以是非整数倍的分割。也可以得到Laplace方程的五点差

分格式，它是前面五点格式的推广。

4.5极坐标形式的差分格式

有的时候所求区域是圆环、环形域或扇形域，采用极坐标形式更为方便，比时

应该把一般的Poisson方程转化为极坐标的形式。在极坐标情况下会出现奇异点，

故需要附加条件、对它需特别处理。

4.6矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析

利用极值原理分析五点差分格式的敛速估计。

4.7一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究

通过一些实例学习二阶线性椭圆型方程的差分格式。

4.8椭圆型差分方程的迭代解法

由于前面介绍的各种边值问题的差分格式最终都是解一个大型的线性方程组。

那么怎样求这个大型的线性方程组?本节介绍三种迭代法（Jacobi迭代、Gauss-

Seidel迭代、超松弛迭代）。通过比较Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的敛速发

现，Gauss-Seidel迭代是Jacobi迭代的两倍。虽然前两者都收敛，但是他们的速

度还是比较慢，如果选择适当的松弛因子，利用超松弛方法可以大大提高敛速，故

如何选择最佳松弛因子是关键。

4.9多重网格法简介

学习为何引入多重网格法，有哪些优点?包括二重网格法和多重网格法等。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是：差分格式的建立，极值原理及数值解的收敛性分析.

教学难点:边界条件的处理及非均匀部分差分格式的建立。

四、思考与练习

复习所学内容，编写一定的程序，然后完成布置的作业。

第五章双曲型方程的差分格式

一、学习目的

掌握一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法，一阶双曲型方程（组）的差分方

法，以及二阶线性双曲型方程的差分方法。计划12个学时。

二、课程内容

5.1一阶拟线性双曲型方程的特征线法

对于一阶（拟）线性双曲型方程，通过一条特征曲线，把一个偏微分问题转化为

常微分问题，然后再对此常微分方程进行近似求解，就可以求出原问题的近似解。

给出这样的方程要知道怎么求它的特征曲线、特征方程以及特征关系。

5.2一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法

对于一阶（拟）线性双曲型方程组，首先求出它的正规形式，以及它的两个特征

曲线、特征方程和特征关系。同上节一样也是把偏微分方程沿着特征方向转化为常

微分方程组的形式。再用欧拉法对常微分方程组近似求解。

5.3一阶双曲型方程的差分格式

如果通过向前差商代替对t方向的微商，用中心差商代替对行x方向的微商，

经过验证发现这是一个恒不稳定的格式，所以通过改进此格式得到Lax-

Fricdrichs格式。根据方程系数的不同对x方向的微商向前差商或向后差商就是

CourantTsaacson-Rees格式。如果对时间层进行中心差商代替就是跳蛙格式。还

有Lax-Wendroff格式和隐式的Crank-Nicolson格式。

5.4一阶双曲型方程组的差分格式

类似一阶双曲型方程的差分格式，也有Lax-Friedrichs格式和Courant-

Isaacson-Rces格式，以及Courant-Friedrichs-Lewy条件。

5.5二阶双曲型方程的差分格式

有显式格式和隐式格式之分，但是由于双曲型方程的初值问题比较复杂，因此

对告诉初始时刻速度的初始条件需要像处理Neumann问题进行差商代替微商。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是:一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法，一阶双曲型方程（组）的

差分方法，以及二阶线性双曲型方程的差分方法。

教学难点:一阶拟线性双曲型方程组的特征线法的导出。

四、思考与练习

复习所学内容，编写一定的程序，然后完成布置的作业。

第六章北线性双曲型守恒律方程的差分格式

一、学习目的

掌握何为双曲型守恒律、弱解的定义，和几种典型的差分格式:守恒型差分格

式，单调差分格式，TVD差分格式等。计划8个学时。

二、课程内容

6.1非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义

怎样判断一个方程组的对应Jacobi矩阵的特征值和特征向量决定此方程组是

（严格）双曲型守恒律的。以及什么是弱解，为什么需要提出弱解的概念，有什么优

点？

6.2一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法

把一阶的线性双曲型方程中的Lax-Friedrichs格式和Lax-Wendroff格式推广

到双曲型守恒律方程，可以证明它们都是守恒型差分格式。

6.3单调差分格式

此前的守恒型差分格式虽然收敛到弱解，但是不能保证极限是唯•物理解，所

以提出单调差分格式，这种格式若收敛，则收敛到唯一物理解给出满足什么条件

才是单调差分格式。另外这种格式只有一阶精度，对于高精度还在研究中。

6.4TVD差分格式

由于前面提到的单调差分格式精度不高，所以为了能够得到精度较高且能得到

唯一物理解的差分格式，由A.Harten于1983年提出了总变差减少差分格式

（TVD）o本节给出什么格式是TVD格式，以及保单调格式，并且证明前面讨论妁差

分格式在一定条件下都是TVD差分格式。

6.5对一维方程组的推广

把Lax-Wendroff格式和Lax-Friedrichs格式可以推广到一维方程组的情况。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是:课本中对双曲型守恒律方程提出的各种差分方法。

教学难点：各种差分格式的理论导出。

四、思考与练习

复习所学内容，然后完成布置的作业。

第六章有限元方法简介

一、学习目的

对有限元方法有所了解，知道它提出的理论依据，以及它的优缺点。计划4个

学时。

二、课程内容

7.1二阶常微分方程边值问题的有限元解法

对于常微分边值问题，介绍如何利用有限元方法把边界条件当成最小化泛函的

一部分，以及怎样在给定的集合上某一个函数类中找到一个使泛函I达到极小值的

函数°

7.2偏微分方程边值问题的有限元解法

与常微分边值问题类似，也是归结为泛函求极个的一种解法，不过偏微分问题

相对复杂一些。了解用有限元方法的一般步骤。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是:有限元方法提出的理论依据，以及它的优点和一般步骤。

教学难点:有限元方法的理论依据和一般步骤。

四、思考与练习

对有限元思想有大概的认识，最好能够使用matlab中的有限元程序包。

参考书目

[1]李荣华，冯果忱编