高三总复习导数-专题总结归纳

历年高考题型总结及详解一一倒数

内容简介：1.有关倒数考试方向及常考点.

2.常考点方法总结及名师点拨.

3.2014—2016各地历年高考题及解析.

4.名校有关模拟题一一母题.

【命题意图】导数是探讨函数的重要工具，利用导数探讨函数的单调性可以描绘出函数图象大致

的改变趋势，是进一步解决问题的依据.分类探讨思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一人重要

补充，解决这类问题须要行定的分析实力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代

数式化简与变形，考查运算求解实力，运用数形结合、分类探讨的思想方法分析与解决问题实力.

【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是依据给出的某些条件求出这些参

数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，

基本解题思想是函数与方程的思想、分类探讨的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方

程思想、分类探讨思想的主要题型之一.这类试题在考查题型匕通常以解答题的形式出现，难度

中等.

【得分要点】

1.探讨函数单调区间，实质探讨函数极值问题.分类探讨思想常用于含有参数的函数的极值问题，

大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固

定，这两类都是依据极值点是否在区间内加以探讨，探讨时以是否使得导函数变号为标准，做到

不重不漏.

2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必需先确定函数的定义域，尤其留意定义区间

不连续的状况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先探讨定义区间上导函数无零点或零点落

在定义区间端点上的状况，此时导函数符号不变，单调性唯一：对于导函数的零点在定义区间内

的情形，最好列表分析导函数符号改变规律，得出相应单调区间.

3.探讨函数的单调性其实质就是探讨不等式的解集的状况.大多数状况下，这类问题可以归结为一

个含有参数的•元二次不等式的解集的探讨，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依

据根的大小进行分类探讨，在不能通过因式分解求出根的状况时依据不等式时应方程的判别式进

行分类探讨.探讨函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.

4.含参数的函数的极值（最值）问题常在以下状况下须要分类探讨：

⑴导数为零时自变量的大小不确定须要探讨;

（2）导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定须要探讨；

（3）端点处的函数值和极值大小不确定须要探讨：

（4）参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的改变不确定须要探讨.

5.求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数/（X）的定义域（定义域优先）：

（2）求导函数数（外；

⑶在函数/（.r）的定义域内求不等式/＞0或f\x）＜0的解集.

（4）由:（外＞0（r（x）＜0）的解集确定函数/（X）的单调增（减）区间.若遇不等式中带有参数时,

可分类探讨求得单调区间.

6.由函数/*）在（。力）上的单调性，求参数范围问题，可转化为了'（xRO域/（x）WO）恒成立问

题，要留意“="是否可以取到.

7.求函数最值时，不行想当然地认为极值点就是最值点，要通过仔细比较才能下结论；另外留意

函数最值是个"整体”概念，而极值是个“局部”概念.

8.函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必

要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最

值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导

数的解答题要充分留意数学思想方法的应用.

9.导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义绽开，设计求曲线的

切线方程，依据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的

运算、函数等学问，试题的难度不大：其次个点是围绕利用导数探讨函数的单调性、极值（最值）

绽开，设计求函数的单调区间、极值、最值，己知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查

导数探讨函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围

绕导数探讨不等式、方程绽开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、探讨方程根等问题，主要

考兖通过转化运用导数探讨函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的实力，该点和

其次个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数探讨函数性质的方法和函数性质的应用;

第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的实力，该点和其次个点一般是

解答题中的两个设问，考查的核心是导数探讨函数性质的方法和函数性质的应用.

10.函数的单调性问题与导数的关系

（1）函数的单调性与导致的关系：设函数y=/（x）在某个区间内可导，若/'（幻〉0,

则/（幻为增函数；若r（万＜0,则/*）为减函数.

（2）用导数函数求单调区间方法

求单调区间问撅，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大干0的不等式，得到区间为

增区间，解导数小于。得到的区间为减区间，留意单调区间肯定要写出区间形式，不用描述法集

合或不等式表示，且增（减）区间有多个，肯定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要

说明增（减）区间是谁，若题中含参数留意分类探讨：

（3）已知在某个区间上的单调性求参数问题

先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））。恒成立问

题，通过函数方法或参变分别求出参数范围，留意要验证参数取等号时，函数是否满意题中条件,

若满意把取等号的状况加上，否则不加.

（4）留意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区分，函

数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增（减）区间的子集.

11.函数的极值与导数

（1）函数极值的概念

设函数），=/*）在玉,旁边有定义，若对超旁边的全部点，都有了（幻＜/（・%），则称/（玉））是

函数/（x）的一个极大值，记作y板大值=/'*o）：

设函数y=f（外在与旁边有定义，若对与旁边的全部点，都有/（外＞/（%）,则称/（%）是

函数/（幻的一个微小值，记作极小依=/（%）.

留意：极值是探讨函数在某一点旁边的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值大定大

于微小值;极值点不能在函数端点处取.

（2）函数极值与导数的关系

当函数y=/（幻在/处连续时，若在玉,旁边的左侧＞o,右侧r（幻＜o，那么/（/）

是极大值：若在与旁边的左侧//（幻＜0,右侧//（文）＞0,那么/（%）是微小值.

留意：

①在导数为。的点不行定是极值点，如函数），=/,导数为〉/=3/，在x=o处导数为0,

但不是极

值点；

②极值点导数不定为0,如函数y=|x|在x=0的左侧是减函数，右侧是增函数，在x=0处

取微小值，但在x=0处的左导数lim-（。+2-（-。）=1,有导数

AD-Ax

lim（°+Ar）~（0）=l,在x=0处的导数不存在.

—'Ax

（3）函数的极值问题

①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0,求出导函数为0点，方程的根和导数不存在

的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，

若左减右增，则在这一点取微小值，要说明在哪一点去极大（小）值：

【解析】(I)的定义域为g+功；/3=。-三-1+：=贮芋⑶.考点：

应用导

当。=0,xe(OJ)时，/r(x)>0,/(x)单调递增；x€(L-Ko)Bt/(x)<0,/(x)单调递减.数探讨

_厂厂函数的

当。>。时，八力=学(、+加-《)•单调性

(1)0<。<2,J|>1，名师点

睛】本

当xe(OJ)或工€(祗,依)时，Ax)>0,/(x)单调递增：题主要

“考查导

当xE(lfR)时,/r(x)<0,/(x)单调递唠数的计

“°算、应

(2)。=2时，J|=l,在xw(O)田)内，r(x)>0,/(X)单调递增j用导

“数探

⑶。>2时，0<、曰<1,讨函

数的

当xw(OdF)或xwQ,X。)时，/r(x)>0,/(x)单调递增；

"°性、分

类探

当xe(、2j)时，r(x)<0,/(x)单调递减.

讨思

综上所述,想.解

答本

当。40时，函数/(X)在W)内单调递增，在Q,+期内单调递遍$

题，精

当0<°<2时，/C0在(0J)内单调递增，在久出)内单调递减,在忐面求

”)内单调递增;

导数

当。=2时，/(x)在(0,田)内单调递增;是基

础，恰

当。>2,在(0,()内单调递增，在(4J)内单调递减，在Q中电内单调递增.

当分

类探讨是关键，易错点是分类探讨不仝面、不彻底、不恰当，或因困难式子变形实力差,而错漏

百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维实力、基本计算实力、分类探讨思想等.

2.(2016高考天津理数)设函数J(i)=(x-l)3-at-0,x€R,其中“SwR

(I)求/(x)的单调区间；(II)略；(HI)略.

【答案】(I)当时，单调递增区间为(一8,+8)；当。〉0时，单调递减区间为

y/3a43aMa、

(1--—A+——)，单调递增区间为（-8/（1+亍，田）

33

【解析】（I）解：由〃功二。-1）3-办一6,可得r（x）=35—1）2—4.

下面分两种状况探讨：

（!）当。40时，有/＜工）=%＞-1）2-4之0恒成立，所以的单调递熠区间为（-8中》）.

（2）当。＞0时，令r（0=O,解得x=l+半，或x=l-与

当又变化时，rco,/a）的变化情况如下表:

］、8。

XS1一争J+1+恒(1+—^―/HO)

3。-与华）3

/'（X）+0一0+

单调递增极大值单调递遍极小值单调递增

所以/S）的单调递减区间为（1—年J+与），单调递增区间为（-8.1-亨），Q+亨38）.

【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）;

（2）求导函数r（x）：

（3）在函数/（X）的定义域内求不等式/'*）＞（）或/'*）＜（）的解集.

⑷由r（x）＞0（f（x）＜0）的解集确定函数/（力的单调增（减）区间.若遇不等

式中带有参数时，可分类探讨求得单调区间.

2.由函数人外在（〃力）上的单调性，求参数范围问题，可转化为r（x）2o（或

广（外石0）恒成立问题，要留意“=”是否可以取到.

2016高考真题及名校模拟题一一母题

【母题1】（I）探讨函数f（x）=x二—2的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）es+x+2＞o；

x+2

（H）证明：当。引。,1）时，函数g（x）=———（x〉O）有最小值.设g（x）的最小值为

X

〃⑷,求函数刀3）的值域.

12

【答案】（I）详见解析；（II）e

【解析】(I)的定义域为(FL2)U(—2,*O).

(X-1XX+2>X-(X-2>X^-0,

/3=3+2)2

且仅当X=O时，r(x)=O,所以/(X)在(T\-2),(-2,单调递增,

因此当xw(0,+oo)时，/(x)>/(O)=-L

所以(％—2)/>-(x+2),(x-2”x+x+2>0

,、，、(X一2时+&4+2)x+2...、.

(H)鼠x)=^~三广——^=「一(/(力+。)：

XX

由⑴知,/(4+。单调递增,对任意。w@1”(0)+。=。-1<0,/(2)+。=。2

因此，存在唯一冯E(0,2],使得了(%)十。=0：即g'(&)=0,

当0＜x＜与时，/(%)+。＜0：才(力＜0：以工)单调递减3

当九＞与时，/(x)+a＞(},gG：)＞Qg(x)单调递增.

因此g(x)在％=不处取得最小值，最小值为

。“一队不+1)_EwKw+1)

g(%))=

%+2

于是含，由《正罂＞°[单调递增

[c°e"c”『

所以,由得5=何＜版')=不"二T7

因为二单调递场对任意4e马：存在唯一的5(0,2],。=/(不)e[0.1).

x+224

使得h(a)=%所以版。)的值域是4X1

24

综上，当。H0J)时，g(x)有方3),双。)的值域是(；：；！

考点：函数的单调性、极值与最值.

【名师点睛】求函数单调区划的步骤工.

(1)确定函数大X)的定义域：

(2)求导数/(x)：

(3)由/(x)>O(f(x)VO)解出相应的x的范围.

当/(x)>0时，4r)在相应的区间上是增函数；当/(x)VO时，./U)在相应的区间上是减函数，还

可以列表，写出函数的单调区间.

留意：求函数最值时，不行想当然地认为极值点就是最值点，要通过仔细比较才能下结论；

另外留意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.

【母题2】设函数/(X)=W+-,曲线)，=/(©在点(2J(2))处的切线方程为

y=(e-l)x+4,

(1)求。，力的值：(2)求/(冷的单调区间.

【答案】(I)4=2,b=e；(2)/*)的单调递增区间为(F,+8)

【解析】(1)因为/(劝=犯1+",所以(*)=(1一1)+“+〃.

比前、小J/(2)=2«+2J+2b=2e+2,

依题设，[r，，⑵=e-i,叫_/-2，+〃=i

解得。=2,〃=e.(2)由(I)知/(x)=xe"'+ex.

2x

由/，(x)=e-(\-x+ei)即/-x>o知，/，*)与i_工+个㈠同号.

令g(x)=1-工+eJ,则g'(X)=-1+靖”.

所以，当X£(—00,1)时，g'(x)<()，g(x)在区间(—8,1)上单调递减；

当xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)在区间(1,+8)上单调递增.

故g(D=1是g(x)在区间(-00,4-00)上的最小值，

从而g(x)>0,X£(-8,+8).

综上可知，r(X)>0,工£(-8,+8),故/*)的单调递增区间为(-00,+8).

考点：导数的应用.

【名师点睛】用导数推断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，

通过探讨导数的符号，来推断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必需确定使导数

等于0的点外，还要留意定义区间内的间断点.

【母题3】设函数/(x)=ax2-a.|nx,其中a€R.

(1)探讨f(x)的单调性：

(II)确定。的全部可能取值，使得/'(©Al-ei在区间(1,+8)内恒成立(e=2.718…为自然

x

对数的底数).

而当%>1时，s\x)>0,

所以s(x)在区间(1,出)内里调递增一

又由武1)=0,有其%)>0,

从而当4>1时，/(x)>0.

当oWO,x>l时，/(x)=a(V-l)Tnx<0.

故当/(x)>g(x)在区间(1,2)内恒成立时，必有。>0.

当0<°<!时,营L

2

由⑴六〃r/i\一*、、n

【解析】(I)/Xx)=2^x-j-=2^P?~1(x>0).

jr_x

所以此E

当：当aWOH寸，/(X)在(0,也)内单调递减.

当x>l当a>0日寸，由/<x)=O,有n=0,

因此，,

又因为此时，当刀£(0,^^)日寸，/'(%)«,/(X)单调递减;

综上，।

考点：当(；^,+GO)B寸，/'(^)>0,/(X)单调递增.导数的计

算、利用导数求

函数(II)令g(x)=__FT，s(.x)=ex~1-x.的单调

xe

性，最F1,IXZ-lt值、解决

则sV\>0=eN-1.

恒成立何题.

【名师点睛】本题考查导数为计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学

生的分析问题解决问题的实力和计算实力.求函数的单调性，基本方法是求了'(X),解方程

/1(x)=0,再通过/'(X)的正负确定f(x)的单调性：要证明函数不等式f(x)>g(x),一般证明

/(x)-g(x)的最小值大于0,为此要探讨函数〃(x)=/*)-g(x)的单调性.本题中留意由于函

数〃(X)有微小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新奇，学生不易

想到.有肯定的难度.

［母题4］已知函数f(x)=x3+ax2+b(a力eR).

(1)试探讨/(x)的单调性：

(2)若b=c—a(实数c是a与无关的常数)，当函数/(幻有三个不同的零点时，a的取值

33

范围恰好是(-8,-3)U(l,)U(工+8)，求c的值.

22

【答案】(1)当a=O时，“X)在(-a),xo)上单调递增：

当〃>0时，/(力在卜8,一年)，(。,十句上单调递增，在(-彳,0)上单调递减；

当。<0时，/(人)在(F、0),一-g•，十8上单调递增，在0,--/上单调递减.

(2)c=l.

【解析】⑴，(幻=3£+功，令/'(力=0,解得％=0,巧一3.

当。=0时，因为/(x)=3d>0(%=0),所以国数/(%)在(9,*。)上单调递增；

当a>0时,-等)U(0。时，fr(x)>o,xe(-F.。)时，，(%)<。，

所以函数〃切在m(0,侄)上单调递增，在(-等,0)上单调递病

当°<0时，xe(f0)U卜等*)时，/㈤>0,母)时，/(力<0,

所以函数/(力在(9,0),(一军,48)上单调递增，在上单调递减.

事1+"则函数有三个

⑵由⑴知，函数的两个极值为〃0)=个/

a>0a<0

零点等价于〃0"『扑呜1+9

<0,从而，4□八或4□

--cr<b<QQ<b<--d

2727

又b=c—a,所以当。>0时，—，-o+c>0或当。<0时，一a3—a+c<0.

2727

设g(a)=±'-o+c,因为函数〃x)有三个零点时，。的取值范围恰好是

3-3)山|)11修例),则在(9,-3)上g(o)<0,且在|上g(a)>0均恒成立,

从而g(T)=c-l40,且g停)=。-1之0,因此c=l.

此时，/(%)=?+<^+1-<3=(尤+1)储+(〃—1)/+1一可，

因函数有三个零点，则V+(。-1)X+1-。=0有两个异于-1的不等实根,

所以A=(o_l)2_4(l_a)=o2+%_3>0,且(T)2_(O_1)+]_0/0,

解得aw(-w,-3)U鸿

综上。=1.

【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点

【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y=f(：《)的定义域；②求导数y'=f'(x),

令f'(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根:③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定

义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的依次排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区

间分成若干个小区间：④确定『（X）在各个区间内的符号，依据符号判定函数在每个相应区间内

的单调性.

已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合

求解.

已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.

【母题5】设函数=V-⑪+/九

（I）探讨函数/（sinx）在内的单调性并推断有无极值，有极值时求出极值；

（II）记/o（x）=f-qx+仇，求函数|/（sinx）-A（sinx）|在［一上的最大值D；

（III）在（H）中，取/=4=0,求z=Z?-幺满意DW1时的最大值.

4

2

【答案】（I）微小值为〃一幺：（II）+—（III）1.

4

冗冗

【解析】（I）f（sinx）=sin2x-asinx+b=sinx（sinx-a）+b,——<x<—.

22

［/（sinx）］,=（2sinx-。）cosx,-y<x<^.

71Jl

因为——<x<—,所以cosx>0,-2<2sinx<2.

22

①当时，函数/（sinx）单调递增，无极值.

②当时，函数/（sin工）单调递减，无极值.

③当一2<。<2,在(一,令内存在唯一的知使得24味”.

7T7T

一大<%4%时，函数了(siux)单调递减；XQ<X<—^,函数〃4口力单调递增.

22

因此，-2<a<2,beR时，函数/(4口力在与处有极小值/6。%>)="二)=》一口.

24

(II)一3<%<3时，|〃端11工)一/311")|=](4—〃》。工+2>—为国〃一生|+|3一%|,

当(%—oXd-母之0时，取x=g，等号成立，

当(％-0Xd-力<0时，取4=一1，等号成立，

由此可知，函数|“sin力一启sin刈在[-9第上的最大值为。=|。一引+|bf|.

2

(III)D<1,即|。|十|勿£1,,从而z=b-±WL

2

取。=Qb=l,贝U|a|+|b|Wl,并且z=6—J=l.

由此可知，z=6-1满足条件DK1的最大值为L

4

【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.肯定值不等式的应用.

【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整

合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转

化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解

决函数、导数的解答题要充分留意数学思想方法的应用.

【母题6】已知函数/(x)=nx-.E",xeR,其中nwN*,nN2.

⑴探讨/(x)的单调性：

(H)设曲线y=/(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于随

意的正实数X，都有/(.E)Wg(x);

(III)若关于x的方程/(x)=a(a为实数)有两个正实根“马，求证：|%-51<，一+2

【解析】Q）由〃力=可得,其中〃wN*旦心2,

下面分两种情况讨论：

（D当〃为奇数时：

令/（刈=0,解得x=l或x=T,

当刀变化B寸，/'（冷,/（力的变化情况如下表：

XST)(-1.1)(L+oo)

一+一

人力□□□

所以，〃力在（YO「1）,（L+切上单调递减，在QLD内单调递胤

（2）当〃为偶数时，

当/（力＞0,即x＜lB寸，函教/（力单调递增：

当/（力＜0,即％＞1时，函教/（力单调递减.

所以，/（力在（70「1）上单调递增，八冷在（LW）上单调递减.

1

（H）证明：设点P的坐标为U.0），则与=力有，/U）=〃一川，曲线y=/（X）在点P处的切名昉程为

＞=/（“（X-9）,即双或=/（々）（X-/）,令尸（力=/（力一爪力，即

尸（力=/（X）一/'g）（x-。），则r（x）=/（x）-ZU）

由于/“）二-+〃在（0,+到上单调递现故尸（外在（0,饮）上单调递减，又因为尸（飞）=0,所以

当X«O，F）时，尸（々）＞0,当工«%+00）时，尸也）＜0,所以尸（力在（0,今）内单调递胤在（如9

内单调递减，所以对任意的正实数x都有F（x）W尸（。）=0,即对任意的正实数x,都有/（x）＜g（x）.

【考点定位】1.导数的运算；2.导数的儿何意义；3.利用导数探讨函数性质、证明不等式.

【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第⑴小题求导

后分〃为奇偶数探讨函数的单调性，体现了数学分类探讨的重要思想：第（11）（111）中都利用了构造函

数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.

【母题7】已知函数/*）=-2*+〃）皿1+/-2公-2/+。，其中。＞0.

（1）设g（x）是/（x）的导函数，评论g（x）的单调性；

（2）证明:存在"（0,1）,使得了cozo在区间（1,+8）内恒成立,且fa）=o在（i,+8）内有

唯解.

11-71-4^I+Jl-4a

【答案】（1）当o＜〃＜一时，g（x）在区间（o,」^—），（」^—,田）上单调递增，在区

1-Jl-4«I4-"一4a1

间（二-—巴）上单调递减；当—时，g。）在区间（0,+8）上单调递增.（2）详

见解析.

【解析】（1）由已知，函数/（幻的定义域为（0,+8）,(2)由/'(力=2'—%

jr-1—1

4>)=/'(%)=2%_ZJ_21UX_2(1+一),令妆)=_2@+E

方以工一:尸+为。—》则以1）=1＞0,贝。）=’

7

所以，（力=2—*

~二2

x故存在％E（L。），使得《

当0＜。:时，米力在区间（0：匕容红）:（匕早2,口）上单调递熠,令/=^^，心

4221+%

1—也—好1+J1-4。由〃'（切=1一2之o知，t

在区间（）上单调递减:x

~~2，T

所以0=也＜处？=

当。之9时，米力在区间（Q+8）上单调递增.

1+11+%

4

即%e（0,1）.

当。=%时，有/（%）=

由（1）知，出数/'（X）星

故当XE（L&）时，有，

当xe（飞,+00）时，有/

所以，当xeQ+o））时，

综上所述，存在。七（0工

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在探讨函数中的应用、函数的零点等基础学问，考查推

理论证实力、运算求解实力、创新意识，考直函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化

等数学思想.

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在探讨函数中的应用、函数的零点等基础学问，考查推

理论证实力、运算求解实力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化

等数学思想.

【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为高校重要内容，在中学

要求学生驾驭其基础学问，在高考题中也必有体现.一般地，只要驾驭了课本学问，是完全可以解

决第（1）题的，所以对难度最大的最终一个题，任何人都不能完仝放弃，这里还有不少的分是志

在必得的.解决函数题须要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想.在本题中，结合

待证结论，可以想象出了（力的大致图象，要使得/*）20在区间（1,+8）内恒成立，且/。）=0

在（1,+00）内有唯一解，则这个解X。应为微小值点，且微小值为0,当X£（l,/）时，/（X）的图象

递减：当xe（Xo，+8）时，y（x）的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.

【母题8】已知数列｛6｝的各项均为正数，2=〃（1+3%“（〃wN+）,e为自然对数的底数.

n

（.I）求函数.〃））=1+工-"的单调区间，并比较（1+5”与"的大小：

n

（II）计算红，也,处由此推想计算也’的公式，并给出证明：

（HI）令%=3但凡）：，数列MJ，C｝的前〃项和分别记为J，7；,证明：T„<eSti.

【解析】(I)/(x)的定义域为(-0D,+0O),f\x)=1一点.

当即“<0时，/(X)单调递增；

当/<x)<0,即工>0时，单调递激.

故/W的单调递增区间为<-co,0),单调递遍区间为.

当x>0日寸,/(x)</(0)=0,艮IH+xv/.

1111

令工=上,得i+-vc#,艮[i(i+_y*<c.①

nnn

(II)^-=1.(1+-),=1+1=25也=区.生=2-2Q+3'=(2+iy=33

Qy1〃]^22

由此推测：底=(M4-iy.②

q勺…久

下面用额学归纳法证明②.

<1>当〃=1时，左边=右边=2,②成立.

(2)假设当鞭=兀时，②成立，即她…与=的”.

叭…4

当”=4+lH寸，"*=0+1X1+3)3。“，

由归纳假设可得她…2e=他…纭.如=呼+炉&+1Kl+占)“=&+2)3.

所以当〃=尢+1时，②也成立.

根据〈工〉〈2〉，可知②对一切正整数，，都成立.

(III)由q的定义，②，算术-几何平均不等式，与的定义及①得

IIII

二=ci+c2+ci+-+cit=(qiy.(qgA+…+(q勺…4A

她A।一色邑•也A

234n+1

«生+妇包+结些+…十也生匕出

1x22x33x4〃伽+1）

---]+^[—+—―—]+…+九---

«(?i+l)J,2x33x4n(n+l)n(n+l)

-1-、)4--4-八^(/------1-)、

W4-1n7Z4-1

<Y+4+，+—=Q+；)'q+Q+<)'4+・・・+(1+1)”0

1zn1zn

<eq+。。2H----Fean=2sti.

即9<理.

【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明.

【名师点睛】运用裂项法求和时，要留意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不行漏

写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

运用数学归纳法应留意以下三点：（1）〃=小时成立，要弄清晰命题的含义.（2）由假设〃=女成

立证〃=k+l时，要推导详实，并且肯定要运用〃=A成立的结论.（3）要留意〃=k到〃=攵+1时

增加的项数.

【母题9】设。>1,函数/（幻=（1+丁）/一。.

（1）求/（X）的单调区间;

（2）证明：/（X）在（YC,+o。）上仅有一个零点：

（3）若曲线），=/（幻在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线0P平行（。

是坐标原点），证明：m<-1.

【答案】（1）（—,+00）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）依题/'（力=（1+/）'/+（1+/）（，）'=（1+“）2/20,

・•・在（-8,+00）上是单调增函数;

（2）•:a>],

・・•〃0)=—<0且〃G=(1+*/-a>\+a2-a>0.

・•・/（%）在（OR）上有零点,

又由（D知f（x）在（-电位）上是单调增函数,

/（X）在（-叫皿）上仅有一个零点;

(3)由(1)知令尸(x)=o得％=-1,又-1)=2-0,即P/T?-。

c1c

又/'(秋)=(1+朋)2*,

令虱加）=/一加一1，则g'（M）=/-L,

由g‘(加)>0得加>0,由g'(加)<0得加<0,

・•・函数g（加）在（-0。）上单调递减，在（0,包）上单调递熠,

•二5（«）„^=5（0）=0,即g（/）AO在R上恒成立,

a--=(1+m)2>(l+m)2(l+w)=(l+m'f,JJa-->1+

eRc

【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等学问.

【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础学

间,届干中高档题,解答此题关键在于第（1）间萼精确求出/（x）的导数，第（2）问首先要说明

（0,。）内有零点再结合函数在（-8,+8）单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得

（1+〃*。-2对比要证明的结论后要能认清清>〃?+］的放缩作用并利用导数证明

e

em>m+1成立,则易证m<-1.

【母题10］设函数/（x）="；办（a-H）

（1）若/（力在x=0处取得极值，确定〃的值，并求此时曲线），=/（力在点处的

切线方程：

（2）若/（x）在［3,y）上为减函数，求〃的取值范围。

9

【答案】（1）。=0,切线力程为3工・ey=0：（2）［--,+oo）.

2015高考真题及名校模拟题一一母题

1.12015高考福建，文12】“对随意工£（0,乙），Zsinxcosxvx”是“Zvi”的（）

2

A.充分而不必要条件8.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【解析】当Zvi时，ksinxcosx=—sin2x,构造函数f(x)=—sin2x-x,则

2

f(x)=kcos2x-\<0.故/(x)在工w(0,1)单调递增，故/*)</(1)=一1<0,则

Asinxcosxvx；当攵=1时，不等式ksinxcosxvx等价于，sin2x<x,构造函数

2

g")=；sin2x-x,

则g(x)=cos2x-l<0,故g(x)在xw递增，故

7T7T

g(x)<——<0,则sinxcosxvx.综上所述，“对随意xe(0,—),々sinxcosxvx”

22

是“A<1”的必要不充分条件，选B.

【考点定位】导数的应用.

【名师指引】本题以充分条件和必要条件为教体考查三角函数和导数在单调性上的应