2026届广东省汕头市达濠华侨中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届广东省汕头市达濠华侨中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.22．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.3．已知点是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（）A.与双曲线的实轴长相等B.的面积为C.双曲线的离心率为D.直线是双曲线的一条渐近线4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定5．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.6．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.7．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A B.C. D.8．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（）A. B.C. D.9．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.10．如图，在棱长为2的正方体中，点P在截面上（含边界），则线段的最小值等于（）A. B.C. D.11．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A. B.C. D.12．已知抛物线C：的焦点为F，过点P（-1，0）且斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则（）A. B.14C. D.15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为和的等差中项，则_____________.14．已知，若三个数成等差数列，则_________；若三个数成等比数列，则__________15．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________16．阿基米德（公元前287—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆经过点，则当取得最大值时，椭圆的面积为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立18．（12分）已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.（1）求抛物线C的方程；（2）过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直问题：已知直线过点M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若与圆相交于点A、B，求弦AB的长20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.21．（12分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.22．（10分）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.2、A【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.【详解】圆的圆心为，半径为.设左焦点为，连接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故选：A3、B【解析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，则，，所以A不正确；因为在以为直径的圆上，所以，所以，所以B正确；在△中，由勾股定理可得，即，所以离心率，所以C不正确；由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，即，所以D不正确；故选：B4、A【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A5、D【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，则，令坐标原点为O，中，，又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，所以双曲线的离心率为故选：D6、A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A7、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.8、D【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，故选：D.9、C【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.【详解】由题意，是的中垂线，故，由对称性得，则，故，∴.故选：C.10、B【解析】根据体积法求得到平面的距离即可得【详解】由题意的最小值就是到平面的距离正方体棱长为2，则，，设到平面的距离为，由得，解得故选：B11、A【解析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A12、C【解析】设A、B两点的坐标分别为，，根据抛物线的定义求出，然后将直线的方程代入抛物线方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.【详解】设A、B两点坐标分别为，，直线的方程为，抛物线的准线方程为：，由抛物线定义可知：.联立方程，消去y后整理为，可得，，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.14、①.4②.【解析】由等差中项与等比中项计算即可.【详解】若a，b，c三个数成等差数列.所以.若a，b，c三个数成等比数列.所以故答案为：4，.15、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程【详解】由方程组可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案为：4x＋3y－6＝016、【解析】利用基本不等式得出取得最大值时的条件结合可知，再利用点在椭圆方程上，故可求得、的值,进而求出椭圆的面积.详解】由基本不等式可得，当且仅当时取得最大值，由可知，∵椭圆经过点，∴，解得，，则椭圆的面积为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.18、（1）；（2）原点在以线段AB为直径的圆上，详见解析.【解析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得，即得.【小问1详解】由椭圆，可得，故，∴抛物线C的方程为.【小问2详解】由题可设直线l的方程为，由，得，设，则，又，故，∴，∴，即，故原点在以线段AB为直径的圆上.19、（1）（2）【解析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.【小问1详解】选条件①：∵直线过点(3，5)及(－1，2)，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；选条件②：∵直线的斜率为，直线与直线平行，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为；即；选条件③：∵直线的斜率为，直线与直线垂直，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；【小问2详解】圆心为(2，3)，半径为2，圆心到直线的距离为∴20、（1）的递增区间为，递减区间为（2）【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；(2)将不等式转化为，令，利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，又当时，，当时，故的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】，即，令，有，，若，在上恒成立.则在上为减函数，所以有若，由，可得，则在上增，所以在上存在使得，与题意不符合综上所述，.21、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】