高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第13讲 直线与平面垂直的性质定理（解析版）

第13讲&6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）

学习目标

课程标准学习目标

本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位

置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义：

通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判

定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判

①掌握直线与平面垂直的性质定理。

定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题

②会用性质定理证明相关问题。

教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平

面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判

定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转

化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂

首问题转化为线线垂直问题

思维导图

知识清单

知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义)

(1)定义转化性质：如果一条直线/与平面。垂直，那么直线/垂直于平面。内所

有直线.

(2)符合语言：/JL。，buanI工b.

(3)图形语言：

(4)定理应用：线面垂直二＞线线垂直.

【即学即练1】(2024•全国•高二专题练习)如图，四棱锥S-A3C。的底面是矩形，

SA_L底面ABC。，E,尸分别是SO,SC的中点.求证:

s

E

--------------W

(l)BCJ平面SAB；

(2)EF±SD.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)四棱锥S-A3CO的底面是矩形，

ABJ.BC,•.SA±平面ABCD,BCu平面ABCD,

：.SA±BC,又SAf)A片A,SA、A4u平面SA8,

BCJ_平面SA8；

(2)由(1)知BC_Z平面SAA，

同理可得，CO_L平面SAQ,

;E，尸分别是SO，SC的中点，

/.EF//CD,EF±平面SAD,

又S/)u平面丛。，:.EFLSD.

知识点02：直线与平面垂直的性质定理

(1)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.a力

(2)符合语言：a_La,力_1_&=>〃||力

(3)图形语言：

<4)定理应用：垂直与平行的转换——L

①线面垂直=>线线平行

②作平行线

【即学即练2](2023上•上海•高二专题练习)如图，平面ac平面夕=/,PALa,23_1_尸，垂足分别为

A,B,直线4U平面a,〃_LA5.求证：a\\l.

【答案】证明见解析

【详解】如图:

,/PA-La,/ua,二PALI.

同理

:PAcPB=P,PA,PBu平面%4,二/_L平面EAR

文:R4_La.qua,PAVa.

Val.AH,PAr>AIi=A,PA,AAu'F面

二平面丛4.

知识点03：点面距、线面距、面面距

（1）点到平面的距离

过一点作垂直于己知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平

面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

①图形语言：

如图，线段AO的长度就是点A到平面。的距离.

②点血距AO的范围：AONO.

③常用方法：等体积法

【即学即练3】（2024上•河北•高三雄县第一高级中学校联考期末）已

知正方体ABC。-A/CA的棱长为2,G为线段8a上的动点，则点8到

平面GA。距离的最小值为（）

A.1B.>/2C.V3

D.2

【答案】B

11I4

【详解】由题意得％.八刖=鼻'5八版•8q=wxjx2x2x2=a，

14

则由等体积转化法为匕T8=§XS八"•人一-§

当G与四重合时，SAM最大，最大为*2x2&=2上,

此时〃最小，为

故选:B.

(2)直线到平面的距离

条直线与个平面平行时，这条直线上任意点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距

离.

①图形语言:

线段AO的长度就是直线/到平面。的距离.

②当直线/与平面。相交或/u。时，直线/到平面。的距离为D.

(3)平面到平面的距离

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的

距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

①图形语言：

线段AO的长度就是平面£到平面。的距离

(2)当平夕与平。相交时，平面力到平面。的距离是0.

题型精讲

题型01直线与平面垂直的定义转化为性质

【典例1】(2024下•高一课时练习)如图，在三棱锥产一ABC中，PC_L底面ABC,AB1BC,。，E分别

是AB,P8的中点.

E

A

D

B

⑴求证：OE〃平面PAC；

（2）求证：ABLPB

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【详解】（1）..•点。、石分别是棱人仄的中点,

/.DE//PA,

乂;。£二平面尸AC,P4u平面尸4C；

DE//¥ffiPAC.

（2）,/PC_L底面A8C,ABu底面ABC,

PC_LA8,

,/ABIBC,PCcBC=C,PCBCu平面P8C,

二AA上平面P3C,

文:PBu平面B48，

ABIPR.

【典例2】（2024•广东•高三学业考试）在三棱柱ABC-人用£中，BC1AC,BC1CC；,点。是的

中点.

（1）求证:4G〃平面8号;

（2）若侧面A41cC为菱形，求证：

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析

【详解】（1）证明：连接BG，交cq于点七，连接OE,

因为四边形4CC内为矩形，所以E为BG，C4的中点，

因为点。是八A的中点，

所以AG〃QE，

因为OEu平面与，4Ga平面。。片，

所以AG〃平面coq；

（2）证明：连接AC,

因为四边形AACC为菱形，所以ACLAC；,

因为BC'JLAC,BC±CC（,Acncq=C.

所以8cl平面AAGC,

因为AGu平面A4CC，

所以8C_LAG，

因为ACBC=C,

所以AG_L平面ABC,

因为人田u平面\BC,

所以AG1A1

【典例3】（2024上•广东•高三统考学业考试）如图，四棱锥S-ABC。的底面为正方形，£为S。的中点.

（1）证明：58〃平面4。项

⑵若SAJ_平面ABCO,证明：SC±BD.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析.

【详解】（1）设8。与AC交于点尸，连接所,

因为底面AAC。是正方形，所以F为〃。的中点,

乂因为E为SO的中点，所以EF//SB,

因为S8U平面ACE,所u平面ACE,

所以S3〃平面ACE.

(2)因为底面48C。是正方形，所以AC4B。，

又因为SA_L平面ABC。，W)u平面48c。，所以“JL8D,

又ACcSA=A,AC,SAu平面SAC,

所以平面SAC,

因为SCu平面SAC,所以SC_L6O.

【变式l】(2024•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-AAG中，AB=BC,4月=80.证明：AC1B.B

【答案】证明见解析

【详解】取AC的中点。，连接“。，BQ,

•;AB=BC,AB,=B,Cf:.AC1BD,ACl^D,

又BD、B,D=D,BD,BQu平面BBQ,

「.AC/平面64。，

又因为881U平面BBQ,

/.AC

【变式2](2024・全国•高二专题练习)如图，四棱锥，-/WCZ)中，四边形A。。为梯形，AB//CD,ADJ.AI3,

AB=PA=2DC=4,PB=2AD=4五,PD=25M,N分别是尸。，PB的中点.

⑴求证：直线MN〃平面A8CD；

(2)求证：PAXMN.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)连接30,

因为M，N分别是PQ,的中点，所以MN//BD,

又MNU平面ABC。，4Ou平面A8C。，

所以直线MN//平面ABCD；

(2)因为AD=26、PD=2瓜PA=4,

所以PT+A£)2=P£>2，所以Q4J_AD,

因为48=4,PB=4@

所以尸AjAB?=/^，所以%_LA/3,

又A"AD=A,AB,AD<=5p®ABCD,

所以PA_L平面ABC。，

又8/)u平面ABC。，所以F4J_3。，

又MNVBD,所以24_LMN.

p

【变式3】（2024•全国•高三专题练习）如图：在直三棱柱A8C・A4G中，AC=3,BC=AA.=4,A8=5,

点。为A8的中点.

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）在乂5C中，

因为AC=3,44=5,BC=4,

所以月。2+叱=4；2，

所以/8C为直角三角形，即AC18C,

又因为在直三楂柱ABC・ASG中，CG_L平面A8C,且ACu平面48C,

所以CCL4C,

又CCcBC=C,CG，8Cu平面8CG，

所以ACJL平面BCG，

又因为BQu平面BCG，

所以AC_L8G.

题型02直线与平面垂直的性质定理的运用

【典例1】（2024•全国•高二专题练习）如图，正方体A8c。中，E尸与异面直线AC、A。都垂

直相交.

求证：EFHBD、.

【答案】证明见详解.

【详解】连接AB1,,BD,BQ,

因为在正方体A4GA—A8CD中.OR_!■平面ABC。，ACu平面A8CQ,

所以。AJL4C,

又AC上BD,DDJRD=D,ORu平面BO04，BDu平面BDD画,

所以ACJL平面BDRB1,因此AC_LBR；

同理可证：BR工BC,

又ACcB°=C,ACu平面AC&,qCu平面ACq,

所以6。_L平面ACg；

因为石尸与异面直线AC、A。都垂直相交，

即斯_Z4C,EF1,

又在正方体A5G。-ABC。中,AA与/)C平行且相等.

所以四边形A4CQ为平行四边形，因此A"俏C,

所以EFLBC，

因为ACc8]C=C,ACu平面ACg,qCu平面ACq,

所以痔工平面AC4；

因此七尸〃BQ.

AB

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2.M,N分别为勺。

与G。上的点，目MN1B、D\,MN1CQ.

----------'七

求证：MN//A.C；

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图，连接gA,AD..

-------------'七

cc,1平面AXGA,BQ、u平面AAGR,

二CC.lBR.

・「四边形AMG。是正方形，

4cl±BXD[,

又CCCAG=G，CG，AGU平面A。。，

.­.8Q□平面AGC.

乂・•,ACu平面AGC,

BQILA1c.同理可得AC_LAB1,

乂丁AB,l旦。二4，/\用,用口匚平面44口，

AC_L平面4BQ.

•.BC=A。，B.CJ/AD,

一.四边形AOGM为平行四边形，

C\D//AB1.

•.•A/N_LG。，

:.MN±Ag.

又：MNABJA用,用。€=平面A8Q,

/.MN上平面A3R.

/.AC//MN.

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）如图（1）,在梯形A8CD中，4。〃8C且AQ_LCO,线段A。上有

一点E,满足CQ=O£=1,AE=BC=2,现将二A4E,二COE分别沿BE,C£1折起，使人。=6，BD=6,

得到如图（2）所示的几何体，求证：AB//CD

【详解】证明：在Rl一瓦）C中，CD=DE=\,

所以石C=V5，NDEC=/ECB=450,

在中，EC=叵,BC=2,NECB=45。,

由余弦定理得BE=^2+4-2x>/2x2x^=&,

所以82+8£：2=8。2,所以8E_LEC,

同理可得，在二ABE中，AB=O,且AB_L3E,

在△A8£）中，AB~+BD2=AD2»所以AB_L8O，

因为8Dc8E=8,BD，8Eu平面8。石，所以AB工平面8DE，

在Rb£DC中，ED1CD,

在，8DC中，BD2+CD2=BC\则8D_LC£）,

因为EOrAO=。，ED,BDu平面BDE,所以COL平面5OE,

所以A8〃CO.

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-A4CO中，底面ABCO是矩形，A6_L平面PAD,

AD=AP,七是。。的中点，M,N分别在A8,PC上，且MALLA&MNJ_PC.证明：AEWMN.

【详解】因为A8JL平面PAD,AEu平面P4。，所以A£_LA8,

又A8IICD,所以AE_LCD

因为£是户。的中点，所以A£_LPD

又CDcPD=D,CD,PQu平面PCD,

所以AEJL平面PCD.

因为MN_LA8,ABWCD,所以MN_LCD

又因为MN_LPC,PCcCD=C,PC,CQu平面PC。，

所以MALL平面PCD,

所以4EIIMN.

【变式2］（2023•全国•高三专题练习）在四棱锥P-ABCD中,E4_L平面AI3CD,四边形ABCD是矩形,AE_LP。

于点石，/_L平面PCQ.求证：/IIAE.

【答案】证明见解析

【详解】证明：因为A4_L平面ABC。，

C/X^FIfilABCD,

所以04_LCQ.

乂四边形ABC。是矩形，所以CE»J_A。.

因为PAnAD=A,2人评面PAD,人/）评面PAD,

所以COJL平面PAD.

又AE评面PAD,所以AE_LOC.

因为A£J_P。，PDcCD=D,PDc'pifiJPCD,COu平面PC。,

所以AE_L平面PCD.

因为/平面PCD,

所以川AE.

【变式3］（2023•高一课时练习）如图，已知正方体A/C.

⑴求证:AlC±BlDli

（2）M,N分别为小功与67。上的点，且MN'CiD,求证：MNWAtC.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【详解】（1）如下图，连接4G.

因为C。J•平面AIBICIDI,3/Q/U平面AiBiCiDh

所以CG_L8/Q.因为四边形A/B/C/功是正方形，

所以4/C/_L8/Q/.又因为CCm4C/=。，

所以3/D/_L平面A/OC.又因为A/Cu平面A/OC,所以3/e_LA/C.

（2）如上图，连接B/A,AD,.因为B/C/=4O,①。IIAD

所以四边形4DG8/为平行四边形，所以C/QIIA8/,因为MNJLG。，所以MN_L4&.

又因为ABicBiDi=Bi,所以MNJ_平面A8/Q/.由（1）知4C_L8/。/.

同理可得4c_LA4.又因为A&nB/O/=A/,所以4/C_L平面4B/O/.所以A/CIIMM

故答案为:A/CXB/D/；MNWA/C

题型03点到平面的距离

【典例1】（2024•全国•高三专题练习）在正三棱柱ABC-ABC中，若A〃=2,M=H则点人到平面ABC

的距离为（）

A.且B.BcMD.73

424

【答案】B

【详解】在正三棱柱ABC-48£中，若AB=2,AA.=\,

所以S&wc=gx2x2x*=6，

由勾股定理可得A.B=\C=Vl2+22=6,

在等腰三角形A8c中，底边BC上的高长为2,

所以等腰三角形ABC的面积为gx2x2=2,

设点A到平面A8C的距离为力,

V—V

VA-\RCvA-ARC

i33

【典例2］（2024上•全国•高三阶段练习）在直三棱柱ABC-ASC中，所有棱长均为1,则点4到平面48c

的距离为（）

B.®D.叵

A・理5C・筌4

【答案】A

【详解】取/W的中点M,连接CM,

因为,A8C为等边三角形，则1AB,

乂因为_L平面AAC,且CMu平面A8C,则CM_L人4，

且A4cAA=A,A8,/t4,u平面488人，可得CM_L平面八,

由题意可知：AB】=CBI=6,CM=与,

设点A到平面ABC的距离为d,

因为％MC,即;；一2

xdxxlx^=lx^xlxIxl,

解得d=@,

7

所以点A到平面MC的距离为浮.

故选：A.

【典例3】（2024上•上海•高二上海市建平中学校考期末）如图所示，正四面体A8C。的棱长为1,则点A到

平面8CQ的距离为.

【答案】巫

3

【详解】设O是底面△8CO的中心，则AO_L平面BC。，又因为8Ou平面3C。，所以AO_L8O,

正四面体48CQ的棱长为1,则80=2、且xl=且，

323

AO=>jAB2-BO2=^~-y=乎，

故答案为：手.

【典例4】（2024•全国•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-4用6中，C4=CB=2,AB=2也,M=3,

M为44的中点.

(1)证明：AC；〃平面BCM；

⑵求点4到平面4cM的距离.

【答案】(1)证明见解析

(熠

【详解】

连接8G交BC于点N,连接MN.

则有N为8G的中点，M为八8的中点,

所以AC//MN,

且AG<z平面8cM,MNu平面4CM,

所以4G〃平面BCM.

(2)连接入用,因为C4=6=2,所以尔±AB,

又因为AA_L平面ABC,CMu平面ABC,

所以M_LCM,A3cA4,=4,用以。河_1平面4344,

又因为M"u平面相4A，所以CW_L,

XCA2+CB2=A«2,所以4ABe是等腰直角三角形,

CM=；AB=RMB\=JW+BB：=VH,

所以Sg,&=gcMMq=年，

S/UCM=]X]CA.CB=L

设点A到平面B】CM的距离为小

因为匕-/=%-ACM，所以§xS与exd=—x.SACMxAA,,

所以d=黑色出4=3：丝

、S8“11'

【变式1]（2024・上海•高二专题练习）在三棱锥V-A8C中，两两垂直，VA=VB=VC=},则

点V到平面A8C的距离等于（）

A.1B.：C.&D.巫

23

【答案】D

【详解】设点V到平面ABC的距离为队

E4WBWC两两垂直，且%=V»=VC=1,

AB=BC=AC=>/2*S.=]Xlxl=1,

••=-x5/2xV2xsin—=—.

A区232

又E4_LV8,VA1VC,V/3r>VC=V,VB.VCu平面VSC,

所以E4_L平面V6C,

^A-VBC=%-AHC，即gs.皿E4=gs.皿力

.1।।।石,

••-x—x1=-x——xh•

3232

.・」=*,即点V到平面ABC的距离为立，

33

故选：D

【变式2］（2024•全国•高三专题练习）已知/AC8=90。，P为平面ABC外一点，0C=4,点P到/4C8两边

AC,8c的距离均为2石，那么点P到平面八8C的距离为.

【答案】2&

【详解】设P在平面人3C内的射影为O,则QP_L平面A3C,

由于AC,AC,OCu平面A8C,所以OP_LAC,OPJ_BC,OPLOC,

过。作OE_L4C,O尸_L8C,垂足分别为E/,

由IZC4=90。，所以四边形OEC"是矩形.

由于O£cOP=O,OPu平面POE,所以CE_L平面POE,

PEu平面。O£,所以CELPE；同理可证得b_LW\

所以CE=C7=,42—仅=2,"+22=2应,

OP=^42-(272)2=2V2,即尸到平面ABC的距离是2夜.

故答案为：2五

【变式3】(2024上•云南曲靖•高三校联考阶段练习)在棱长为1的正方体ABC。-A&G。中，点。到平

面ADB的距离为.

【答案】立

33

【详解】解：如图，设点c到平面AO8的距离为人,

..Ic..1I...I

vVA-«C7,=3X^A«CDXA>4=-X2X,XI><1=6，

乂^C-AfDH=9-8(7)=q，

在△A。/，中，AD=AB=BD=&,

所以△AO8是边长为正的等边三角形，

则以\乃=：x\/5x0xsin6()=W'

.t1c/1iin1\/3f1

・・・%.AQ8=TX^A4/^X^Z=-，即彳x丁x/?=f,

5o32O

解得：力d，所以点C到平面A四的距离为".

33

故答案为：乎.

【变式4］（2024•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥尸-A8CZ）中，底面A8C。为正方形,夕人1底面48CD,

PA=AB=2fE为线段PB的中点，尸为线段BC的中点.

⑴证明:AE_L平面PBC;

（2）求点P到平面AK/的距离.

【答案】（1）证明见解析

喈.

【详解】（1）证明:因为Q4_L底面48CQ8CU平面ABCQ,所以PA_LBC.

因为ABCD为正方形，所以A8/5C,

因为PA|A/3=A,Q4u平面平面P4/3,所以8C_Z平面PAB,

因为AEu平面夕人⑤所以_LBC,

因为Q4=AB,E为线段P8的中点，所以AELPB,

又因为平面PRC平面PAC所以AE_L平面PRU

（2）由”是BC的中点.所以4尸=J4B2+A尸2=后,

因为_L底面ABCD,ABu平面ABCD,

所以Z4_LA8,因为£为线段P3的中点，

所以==

由⑴知力石_L平面PBCfiFu平面PBC,

所以ACJL石厂,所以EF=\lAF2-AE2=6

所以sAFF='AEEF=迈，

因为PA=A3=2,所以5力£=35'皿,=:幺人4=1,

由⑴知8c工平面P/W,所以人A_L平面PAB,

设点P到平面AE/的距离为九

则有匕，w=；SAEt.-h=^-h=Vh_PAE=^SME，BF=；，

3o33

解得力=在，所以点P到平面A"的距离为逅.

33

题型04线面距，面面距

【典例1】（2023上•北京•高二北京市第三十五中学校考期中）正方体ABC。-A旦GA的棱长为。，则棱5耳

到面AAC。的距离为（）

A.7aB.aC.7aD.国

32

【答案】C

【详解】如图，连接AG，BQ,它们交于点。，正方形中ACJBA，

又AAJ.平面ABC"，4。匚平面4瓦6。|,所以A4118a,

的cAG=A，"i，AGu平面AAG。，所以耳21平面AA^C,

所以B0的长即为棱BB｛到面AA^C的距离，而30=旦,

2

所以所求距离为也a.

2

故选：C.

【典例2】（2024•全国•高三专题练习）如图，三棱锥P—AAC中，一P48,/4C均为等边三角形，%=4,

。为AB中点，点。在AC上，满足AO=1,且面始8_1_面人8。.

⑴证明：。（7_1_面〃。。；

⑵若点E为P8中点，问：直线AC上是否存在点凡使得所〃面P0。，若存在，求出R7的长及后小到面

POD的距离；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）见解析

【详解】（1）由条件以8。为等边三角形，。为A3的中点，

则AA=Q4=4,AO=2AD=2fN/MO=60。，

由余弦定理得DO=xlAO2+AD2-2cosZDAOAOAD=G

从而在△AO。中，AO2=AD2+OD\

得AAO/）为直角三角形，且O£>_LAO,

又面小“_1_面48。，面孔Wc面45c=45,且PO_LAB,POu面244,

则由面面垂直的性质定理可得PO1面ABC

由ADu面ABC>=>PO_LAD

因此由AD_L8,ADLPO,ODPO=O,nAO_L面PO。，即/）C_L面尸OQ.

（2）存在AC上的点E使得瓦•〃面POO

点E为P8中点，取08的中点M,可得EM〃PO,再在面ABC内作ME〃O。交AC于点尸，该点尸即

为满足题意的点（如图）.

下面证明面POD//面EFM

由于EM〃PO,EMa而POD,POu面尸OO,则ME〃面尸OO,

MF//OD,W面尸or>,ZX?u面?O£>,则吹〃面尸O。，

M/u而/MEu而EME.M/nME=M,

则由面面平行的判定定理可得面POD〃面瓦M,FEu面FME，因此打〃面

又由于生■=处=2,从而可得。尸AF=-tCF=AC-AF=^-,

OMDF222

由（1）可知，AOJL面POD,则4。_1面£7力/,。川=；即为面P。。与面上EW间的距离，也即E尸到面POD

的距离.

综上：存在AC上的点〃，使得即〃面POO,CF=|,

石尸到面PO。的距离为

【典例3】（2023•全国•高一专题练习）在长方体ABCO-AMGR中，有一过AO且与平面平行的

平面夕，棱AA=5,/3=12,则平面a与平面4QC8的距离是.

【答案】—

【详解】因为平面。〃平面AQC8,A/7u平面。，所以AO到平面AQCB的距离即为平面。与平面AQCB

间的距离，易知AO〃平面从而点A到平面ARC8的距离即为所求的距离.

如图，过点A作于点H.

因为A"JL平面,4。1U平面4RC8

所以平面AMBA1平面AAC8,

又平面4MR41平面=

所以AH_L平面ARC8,则A”即为所求.

在中，AB=12,AA,=5,则48="A"+可=13,

AA-AB60

因为=所以4'=个=玄.

/\D13

故平面a与平面4RC8的距离为患.

故答案为：—

q2

……

BA

【典例4】(2023・河南•校联考二模)如图所示，正六棱柱的底面边长为1,高为

F\E.

(1)证明：平面4D：//平面A，C；

⑵求平面ADF,与平面A3C间的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)半

【洋解】(1)在正六棱柱ABCDE/一A/CBE而中，

因为底面为正六边形，所以AO//8C,

因为ADa平面ABC,BCu平面ABC,所以ADU平面ABC.

因为CO〃A6，CD=A{Flf所以四边形COKA为平行四边形，所以。£〃AC,

因为＜z平面ABC,ACu平面A8C,所以。6〃平面ABC,

又A。\DF{=D,所以平面AO£〃平面A8C.

(2)平面A。片与平面ABC间的电离等价于点A到平面ABC的距离，设为

连接AC,则四面体4ABC的体积v=lS△机•MgS.48M.

JJ

因为=lxlxlxlxsinyxx^=i,

22

A.B=y]AB+AA^=2,A.C=yjAC+AA；=x/6,

所以cos/A13C=^^―(")=」,从而sin/ABC=，

2x1x244

所以S,\ABC=—x\x2x^^-=^^-,

△Me244

所以d=芸＜=半，即平面从。£与平面ABC间的距离为正.

J人A"35

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）如图，为菱形A8CD外一点，电＞_1_平面ABC。，NBW=60°,E

为棱5C的中点.若PD=AO=2,求BC到平面P4O的距离.

【答案】x/3

【详解】因为8C//AZZAOU平面PAO,8c不在平面PAO内，所以3C//平面PAO，

则BC到平面尸A。的距离即为点8到平面PAD的距离，

设点H到平面PAD的距离为d,

因为%"m=%.人物，PD=AD=2,

POJ.¥iEA8CO,N/MO=60,四边形48CO为菱形，

所以,x'x2x2d=1x~!*x2x2x@x2,解得4=石，

32322

即BC到平面PAD的距离为G.

【变式2］（2023上•上海杨浦•高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,P为菱形A8C。外一点,PO_L平面

ABC。,N8AD=60,E为棱8C的中点.

⑴求证:日〃平面PA。；

⑵若?力=八力=2,求4。到平而PA力的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵・万

【详解】⑴连接3D,如图:

因为/84。=60，四边形ABC。为菱形，

所以30=CO,

又E为棱BC的中点，

所以8C_LOE,

因为AO//8C,

所以AO_LOE,

因为_L平面ABCD,OEu平面ABCDr

所以

又产。八月。=。/。（=平面~4。）。匚平面24。，

所以£/）_L平面E4O.

（2）因为3C//ADAOU平面Q4Z）,8Cu平面Q4Z）,

所以BC〃平面/W

则8C到平面PAD的距离即为点8到平面PAD的距离，

设点3到平面尸A。的距离为"，

因为VB-PAD=VP-ABD，&>=AD=2,尸力_L平面\BCD.Z_B\D=60,四边形ABCD为菱形，

^rW.-X—x2x2J=—X—x2x2xx2,

32322

解得d=>/3,

即8C到平面尸4。的距离为百.

【变式3］（2023•全国•高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABC。-48/。。/中，E,产分别是棱A4/,

CG的中点，过E作平面。，使得。〃平面BDF.

⑴作出a截正方体所得的截面，写出作图过程并说明理由；

（2）求平面々与平面3DF的距离.

【答案】（1）答案见解析

（2）亚

3

【详解】（1）连接5力,比九£〃，由正方体性质可得4〃，BFWED/

又BFcBD=B,所以平面平面80尸；

因为。〃平面所「，且八。，所以平面阳。与平面a重合，即平面网〃就是a截正方体"CD-A向CD

所得的截面.

（2）由（1）可知平面々与平面/吸”的距离等于点名到平面4。”的距离；

设点用到平面4力厂的距离为"，由题意可得8。=2加,8/=。尸=逐，所以V肘才'的面积为e：8伐尸的

面积为2；

解得公不

由！-BDF=%-即尸可得~S△曲尸。§S最町X2.

所以平面。与平面BDF的距离为辿.

3

【变式4】（2023下•全国•高一专题练习）如图在直三棱柱"C-A罔G中，ZA4c=9（）。，BC=2,CC,=4,

E是B片上的一点，且七e=1,。、F、G分别是CG、B£、A£的中点，跖与鸟。相交于”.

⑴求证：鸟。_L平面Afi。；

(2)求平面EGF与平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵芈

2

【详解】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面A8C1平面B4CC,

又入BLBC,平面平面38CC=4C,ABu平面A8C,

.:/18/平面34。。，

乂用Ou平面

BC=CD=DC、=B\C=2,

在RtAZX?B和R(.DC,B、中,NBDC=NBQG=45°,

/.£BDB、=90°,即B.DA.BD,

又A8BD=B、ARBOu平面AB。

••.4。，平面AB"

(2)解：由题意知E4=4尸=1,

.•.在RlEB尸中,NFEBi=450,

又NDBB/45。,..EF//BD,

QBDu平面4?£),EF<Z平面ABD,

〃平面ABD,

G、产分别为AG、8c的中点.

:.GF*AB\,乂A4"AB,

GF//AB,

A8u平面45O,GF(Z平面4?。，

二.Gf7/平面/WO,

EFu平面EFG,GFu平面EFG,砰QG?=J

平面EFG//平面ABD.

平面ABD,平面EG/7〃平面AB。，

..•々DI平面EG产，

・•.HD为平行平面EFG与ABDZfn］的距离,

二月D=用O—4〃=2拒一等=手，

即平面EFG与/的之间的距离为逑.

2

题型05距离最值问题

【典例1】（2023・河南•校联考二模）已知四棱锥尸-A8C。的底面ABCO是矩形，ABVPD，AB=2岳,

PA=PD,ZAPD=12O°.若四楂锥尸-A3CD的外接球的体积为半，则该球上的点到平面PA8的距离

的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】如图，在矩形48co中，连接对角线AC,BD,记4Cc3O=尸，则点”为矩形A3CQ的外接圆

圆心，

设A4=PO=a,在人外。中，由余弦定理得：

AD2=P^+PD^IPAPDcos^APD=a2+a2-2aa（-^）=3a2,

即AD=6a，二皿>的外接圆半径为,〃、=",

2rsi.n"Zg.APD

记4A4£）的外接圆圆心为G,则GP=a,取的中点K,连接夕£,EF,

显然EF//AB,EF=；AB=gPE1AD,且P,E,G共线，

因为AB1AD,AD\PD=D,于是平面PAD即"'工平面P4。，PEu平面尸4£>,

有PE上EF,而E产「AD=E,EPA/）u平面A/3CO,因此庄_L平面A4CQ,

过G作GO_L平面H4O,使GO=EF,连接FO,

于是GO//EF,则四边形EFOG为矩形，布FOHPG,则/O1平面A8CD,

根据球的性质，得点O为四棱锥P-448外接球的球心，

因为球0的体积为苧，则,xR/二竽，解得尸0=5,

22

而人4=2万，在RtPGO，PG=a=yjpo-GO=2>/3>

因此外接圆直径PB=dAB、PA?=7（2jl3）24-（2x/3）2=8，

取P8的中点“，连接O〃，显然〃为cQAB外接圆圆心，则OHL平面P/IB,且=,5?-4?=3，

所以四棱锥P-48CO的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8.

故选：c

【典例2］（2024・全国•高三专题练习）已知三棱锥S-ABC,满足M，SB,SC两两垂直，且SA=58=SC=2,

。是三棱锥S-ABC外接球上一动点，求点。到平面ABC的距离的最大值.

三棱锥S—A8C满足SA,SB,SC两两垂直，且SA=S8=SC=2,则三棱锥S-ABC外接球就是棱长为2的

正方体的外接球,

加图.易得体对角线的中点O即为外接球的球心，又BD=j4+4+4=2百.则外接球半径为坐=有,

2

易得J13C为等边三角形，设源8。的外接圆圆心为。一则48=历=2&，AO、=葭2*2』巫

323

、=*,则点。到平面48。的距离的最大值即为球心O到平面ABC的距离加球的半径,

则。。=

即无+G=逑，则点Q到平面ABC的距离的最大值为速.

333

【变式1］（2023下•福建龙岩•高一校联考期中）已知正六棱锥P-A3CD防的侧棱长为2加，底面边长为

2,点。为正六棱锥P-48O）所外接球上一点，则三棱锥。一尸A8体积的最大值为（）

.2币-26D2x/7+2x/3rn2>/7

3333

【答案】B

【详解】由题意可得正六棱锥P-ABCDEF的高为J（2/-2?=2，

设正六棱锥P-ABCDEb的外接球的球心到底面A8CD£尸的距离为d,

设外接球半径为R，则2=22+/,J=\2-R\

解得R=2,

设外接球的球心为。，则。即为正六边形人ACD印的中心，连接尸0,

过。作交/W于M,过0作ONA.PM爻PM于N,

因为P01底面A8CDM,ABu底面A8COE/，所以PO_LA8,

又POPM=P,PO/Mu平面POM,所以AA上平面POM,

因为QVu平面POM,所以AB_LON,

PM-M,平面所以ONJ.平面Q46,即。V为球心。到平面抬6的距离,

因为'（2&）2-12=币,OM=5

所以在-POM中由等面积法可得?尸00M=[PM•ON,解得。N=2百

22