高一数学期末复习资料

复习指南

1.注重基础和通性通法

在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，

注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当

然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申

来提高自己的分析问题、解决问题的能力。

2.注重思维的严谨性

平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对

了不一定美。即数学学习的五种境界：听一一慌一一会一一对一一美。

我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市

的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。

另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老

师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！

希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”：

1.审题...2.思想方法...3.步骤清晰、层次分明观

3.注重应用意识的培养

注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信

心，达到培养创新精神和实践能力的目的。

4.培养学习与反思的整合

建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由

学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、

选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是

不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结

论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基

础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习

惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新

知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！

所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓

展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思

成为我们的自然的习惯！

5.注重平时的听课效率

听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而

有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做

几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干

嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。

想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如

何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师

的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上

是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法,

就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。

在这里我再一次强调听课要做到“五得”

❶听得懂❷想得通❸记得住❹说得出❺用得上

6.注重思想方法的学习

学习数学重再学习数学思想方法，它是数学知识在更高层次上的抽

象和概括，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，也是历年

来高考数学命题的特点之一。不少学者认为：

“传授知识”是数学的一种境界，加上“能力培养”是稍高的境界，再

加上“方法渗透”是较高的境界，而再加上“提高修养(指数学文化

和非智力引力的介入)”则是最高境界。作为学生一定要深刻理解数学

的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学

的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学的学

科特点，才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会，在工作岗位

上我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养，从而使得自己

的气质得以升华，它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义，

再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。

高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

(1)集合的中元素的三个特性：

(2)元素的确定性如：世界上最高的山

(3)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合｛H,A,P,Y)

元素的无序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个集合

(1)3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大

西洋，印度洋,北冰洋｝

♦用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

♦集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1)列举法：｛a,b,c...)

2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合的方法。｛x(R|x-3>2｝,｛x|x-3>2｝

3)语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

4)Venn图:

(1)4.集合的分类：

(2)有限集含有有限个元素的集合

(3)无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，；(2)A与B是同一

集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A&B

或B^A

2.“相等”关系：A二B（525,且5W5,则5=5）

实例：设A={x|x2-l-0}B={7,1}“元素相同则两集合相

等“

即：①任何一个集合是它本身的子集。A（A

②真子集:如果A（B,且A（B那就说集合A是集合B的真子集，记

作AB（或BA）

③如果AcB,BcC，那么AcC

④如果AqB同时BO那么A=B

♦3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

♦规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2a个子集，2nT个真子集

三、集合的运算

运算交集并集补集

类型

定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合，A是S

义的一个子集，由S中所

于B的元素所组成属于集合B的元素所

有不属于A的元素组成

的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做

的集合，叫做S中子集

交集.记作AB［读A,B的并集.记作：A的补集（或余集）

作'A交B'）,即AB(读作5并BD,记作，即

AB={x|xA,且即AB={x|xA,CsA二{x|xwS,历任A}

xB).或xB}).

韦

恩

图、-

示图1图2

性AnA二AAUA二A(CuA)A(CuB)

AA①二①AU①二A

二Cu(AUB)

A「［B=B「］AAUB二BUA

(CuA)u(CuB)

AflBcAAUBOA

CAB

质AplBqBAUBNB=U(A)

AU(C..A)=U

A(CuA)二①.

Afi(CUA)=①.

例题:

1.下列四组对象，能构成集合的是()

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+l,xR},N={x|x^O},则M与N的关系是.

4.设集合人二,B=，若AB,则的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得

正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.............

7.已知集合A二{x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|

x2-mx+m2T9=0},若BPICH①，AGC=①，求m的值

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A.B是非空的数集，如果按照某个确定的对应

关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确

定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的

一个函数.记作：y=f(x),xeA.其中，x叫做自变量，x的取

值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，

函数值的集合{f(x)|xeA}叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义

域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，

它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值

的字母无关)；②定义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域：先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函.y=f(x..(x£A)中的x为横

坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函.y=f(x),(.

£A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),

反过来，以满足产f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,

y),均在C..

(2)画法

A、描点法:

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A.B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应

法则£使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一

确定的元素y与之对应：那么就称对应f：AB为从集合A到集

合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”

对于映射f：A-B来说，则应满足：

⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合3中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的

并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(uGM),u=g(x)(xGA),Wy=f[g(x)]=F(x)(xGA)

称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部怛质)

(1)增函数

设函数y二f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D

内的任意两个自变量xl,x2,当xl〈x2时，都有f(xl)<f(x2),那

么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区

间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl〈x2时,

都有f(xl)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间

D称为尸f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2)图象的特点

如果函数y二f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数

y二f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数

的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

①任取xl,x2GD,且xl〈x2；

②作差f(xi)-f(x2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差fa)-f(X2)的正负);

⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f［g(x)］的单调性与构成它的函数u=g(x),产f(u)的

单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区.，不能把单调性相

同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(一x)二

-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

©确定f(一X)与f(X)的关系；

作出相应结论：若f(—x)=f(x)或f(-x)—f(x)=0,则

f(x)是偶函数;若f(—x)=-f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)

是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首

先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非

偶函数.若对称，⑴再根据定义判定；⑵由f(-K)±f(x)=0或

f(x)/f(-x)=±l来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判

定.

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间

的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函

数的定义域.

1)(2)求函数的解析式的主要方法有：

2)凑配法(2)待定系数法(3)换元法(4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

②利用图象求函数的最大(小)值

③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数尸f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调

递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数尸f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调

递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域:

\Jx~~2,x—15（2）y=Ji—（=）2

⑴y=--------------------

|x+3|-3Vx+l

2.设函数的定义域为,则函数的定义域为.

3.若函数的定义域为,则函数的定义域是

4.函数，若，见

5.求下列函数的值域：

22

(l)y=x+2x-3(xe/?)(2)J,=X+2X-3XG[1,2]

(3)y=x-\J\-2x⑷y=\J-x2+4x+5

6.己知函数，求函数，的解析式

7.己知函数满足，则=o

8.设是R上的奇函数，且当时，，则当时二

/⑴在R上的解析式为_________________________

9.求下列函数的单调区诃：_________

（1）y=x2+2x+3（2）y=\]-x2+2x4-3（3）y=x2-6|x|-l

10.判断函数的单调性并证明你的结论.

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：.

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数器的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

>1,且£*.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2.分数指数累

正数的分数指数基的意义，规定：

m___

an=y[a^"（a>0,m,neN",n>\）,

"I1

a〃=——=.——（a>O,m,neN\n>1）

ana

0的正分数指数塞等于o,o的负分数指数事没有意义

3.实数指数累的运算怛质

r,+s

（1）a'.a=a(。>0,匕sER)；

（2）“『=

(6?>0,r,5G7?)；

（3）

（二）指数函数及其性质

1.指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自

变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2.指数函数的图

象和性质0<a<l

a>l

\

/\:

-\

.*

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定函数图象都过定

点（0,1）点（0,1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在［a,b］上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底

的对数，记作：（-底数，一真数，一对数式）

说明：注意底数的限制，R.：

x

②a=TV<=>logf/N=x；

注意对数的书写格式.

两个重要对数:

常用对数：以10为底的对数

♦自然对数：以无理数为底的对数的对数

♦指数式与对数式的互化

器值真数

=Nolog”N=b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，：那么：

①logq（M•N）=logt/M+log„N；

M

②logtt—=logaM-logfl^；

注意：换底公式

（,JBL；，且；）.

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）.

（二）对数函数

1.对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变

量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意

辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

对数函数对底数的限制：，且

2、对数函数的

性质:0<a<l

a>l

-

111

,，i«"'J'""11J1

Q10

S•

—_~~~~~_L

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过函数图象都过定点

定点（1,0）（1,0）

（三）暴函数

L幕函数定义：一般地：形如的函数称为基函数，其中为

常数.

2.事函数性质归纳.

（1）所有的累函数在（0,+8）都有定义并且图象都过点（1,1）；

（2）时，幕函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.

特别地，当时，察函数的图象下凸；当时，凝函数的图象上

凸；

（3）时，基函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，

当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,

当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

例题：

1.已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是.(.)

2.计算：①；②二；二；

③0.0643（7）°+［（-2）30+1655+0.01'=-----------------

3.函数y=log।（2X2-3X+1）的递减区间为

2

4,若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a二

5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1.函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的

零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的

图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

①（代数法）求方程/（x）=0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象

联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4.二次函数的零点：二次函数.

（l）A>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交

点，二次函数有两个零点.

（2）A=0,方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一

个二重零点或二阶零点.

（3）A<0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

高一新课标人教版必修4公式总结

基本三角函数

I

aa

~2

aGI

-GI.in

2

aeII

-eI.Ill

2

aellla

—GIKN

2

aeIVn

—GII.N

2

II（终边落在X轴上的角的集合：（终边落在y轴上的角的集合：（终边落在坐标

轴上的角的集合：

度=少氐度

36027V。基本三角函数符号记

1。二磊引氐度忆：“一全，二正弦，三切，四

180

余弦”

1弧度=早度

7T

180—7T弓瓜

❷倒数关系???？生????????????正六边形对角线上对应的三角函数之积为口

平方关系：

乘积关系：，顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

m诱导公式❶终边相同的角的三角函数值相等

Sin(cx+2k7T)=Since,kez

Cos(cc+2k7T)=Coscc,kez

tan(cr+2k兀)—tanex,kez

❷角a与角-a关于x轴对称泮[;0

Cos{—a)=Cesa

tan(—a)=—tancc

。角乃-a与角a关于丁轴对称-a)=sma

—a)=­Coscc

tan(R—a)=—tana

O角4+a与角a关于原点对称Si，K：+a)=-sma

Ccs[7T+a)=—Cosex

tai】Gr+a)=tancc

.J兀

Si"-----a=CosaSoz/?1----FCCCosa

412)(2

❺角彳-。与角a关于y=工对称(兀\❻一冗

Cos----Fa=—Since

1212

(71){7T

tanl»-aJ=cotatan----Fa=一cola

(2

上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

IV周期问题

丁=红

y=ASiJ«cax+(p),A>O,>O,

3

y=ACQ《DX+cp),A>O,>O,T=—

❶CO

y=+1,A>O,<z>>0,T=—

CO

y=|ACos(cox+cp)|,A>O,>O,丁=三

3

27r

y=|74S〃X/U¥+0)+b|,A>O,tv>O,b,T

3

y=\AOns{avc-+-(p)4-b|,A>O,69>O,bXOT=—

y=Atan(3+(p),A>0,69>0,T=-

CD

❷y=4cot(6Mx+0),A>0,o>>0,T=—

co

y=\Atan(6m+(p)\,A>0,69>0,T=—

CD

y=|Acot(au4-<77)|,A>(),69>0,T=—

co

三角函数的性质

性质

y-Sinxy=Cosx

定义域RR

值域

[-14][-1,1]

周期性2TT2TI

奇偶性奇函数偶函数

单调性

-1兀兀[2/乃-肛2ATT],「wz,增函数

2k?i-----,2ZTTH—Rwz,增函娄

_22_\2k7r,2k7r+万],%ez,减函数

…兀A、37r

2k7H—,2%TTH-----,kGz,减函=发

_22

对称中心

(攵巴0),Z£z(71

kn:+—,(),kGz

\2)

对称轴.71.

X=K7T+—,kGZx=kjjkGz

2

图

/IX」「

・汉</・、

像ih13720»i\»|«・产•a•

ZT\rZ?\

9*,'

»

t»

性质y=tanxy=cotx

定义域

fl乃10z}

<XXX7F+—GZ>

值域RR

周期性7TTV

奇偶性奇函数奇函数

z、

单调性,7T.几

K7T---,K7T4---,kez,增函数1k兀,k;r+向,kez,增函数

I22,

对称中心（44,0）,&wz（A/r+,0）,Arez

对称轴无无

图•

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*/十、纣0•/17Kf/

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1-

•

*

*

-

©999999$9999?99Q9

振幅变化:左右伸缩变化:

>y=ASincox左右平移变化>y=ASincox-}-（/））

上下平移变化>y=ASin（cox+（p）-\-k

VI平面向量共线定理：一般地，对于两个向量