形如根式复合函数y=√(a-√(b-cx))的图像示意图及性质解析A5

函数y=eq\r(16-\r(26-16x))的性质及图像主要内容：本文主要介绍根式复合函数y=eq\r(16-\r(26-16x))的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的图像示意图。※.函数的定义域对于根式函数y=eq\r(16-\r(26-16x))，要求为非负数，所以有：26-16x≥0且16-√(26-16x)≥0，即：x≤eq\f(13,8)≈1.63且x≥-eq\f(115,8)≈-14.38,则函数的定义域为：[-eq\f(115,8)，eq\f(13,8)]。※.函数的单调性两种思路来解析函数的单调性。(1)函数单调性法:该函数y=eq\r(16-\r(26-16x))由以下函数复合函数，即：y=eq\r(u)，u=16-eq\r(v)，v=26-16x，其中v为一次函数，且为减函数，则u=16-eq\r(v)为增函数，进一步知y=eq\r(u)在定义域上也为增函数。(2)函数导数法：根式函数y=eq\r(16-\r(26-16x))，对x求导有：eq\f(dy,dx)=eq\f((16-\r(26-16x))',2\r(16-\r(26-16x)))=eq\f(\f(16,2eq\r(26-16x)),2eq\r(16-\r(26-16x)))=eq\f(4,eq\r(26-16x)*eq\r(16-\r(26-16x)))＞0,所以函数y为增函数。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=eq\f(4,eq\r(26-16x)*eq\r(16-\r(26-16x)))∴eq\f(d2y,dx2)=-4*eq\f([eq\r(26-16x)*eq\r(16-\r(26-16x))]]',(26-16x)(16-eq\r(26-16x)))=4*eq\f(-eq\f(16eq\r(16-\r(26-16x)),2eq\r(26-16x))+eq\f(eq\r(26-16x)*(eq\r(26-16x))',2eq\r(16-\r(26-16x))),(26-16x)(16-eq\r(26-16x)))=16*eq\f(-32+3eq\r(26-16x),eq\r([(26-16x)(16-eq\r(26-16x))]3)).令eq\f(d2y,dx2)=0，则-32+3eq\r(26-16x)=0，即x=-eq\f(395,72)≈-5.5，此时有：(1)当x∈[-eq\f(115,8)，-eq\f(395,72)]时，eq\f(d2y,dx2)≥0，函数y为凹函数。(2)当x∈[-eq\f(395,72)，eq\f(13,8)]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。※.函数的极限lim(x→eq\f(13,8))eq\r(16-\r(26-16x))=eq\r(16);lim(x→0)eq\r(16-\r(26-16x))=eq\r(16-\r(26));lim(x→-eq\f(115,8))eq\r(16-\r(26-16x))=0。※.函数的五点图x1.63-1.94-5.50-9.94-14.38eq\r(26-16x)07.5510.6813.6016eq\r(16-\r(26-16x))42.912.311.550※.函数的示意图y=eq\r(16-\r(26-16x))图像示意图y(1.63,4)(-1.94,2.91)(-5.50,2.31) (-9.94,1.55)