形如根式复合函数y=√(a-√(b-cx))的图像示意图及性质解析A6

函数y=eq\r(4-\r(37-6x))的性质及图像主要内容：本文主要介绍根式复合函数y=eq\r(4-\r(37-6x))的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的图像示意图。※.函数的定义域对于根式函数y=eq\r(4-\r(37-6x))，要求为非负数，所以有：37-6x≥0且4-√(37-6x)≥0，即：x≤eq\f(37,6)≈6.17且x≥eq\f(7,2)≈3.50,则函数的定义域为：[eq\f(7,2)，eq\f(37,6)]。※.函数的单调性两种思路来解析函数的单调性。(1)函数单调性法:该函数y=eq\r(4-\r(37-6x))由以下函数复合函数，即：y=eq\r(u)，u=4-eq\r(v)，v=37-6x，其中v为一次函数，且为减函数，则u=4-eq\r(v)为增函数，进一步知y=eq\r(u)在定义域上也为增函数。(2)函数导数法：根式函数y=eq\r(4-\r(37-6x))，对x求导有：eq\f(dy,dx)=eq\f((4-\r(37-6x))',2\r(4-\r(37-6x)))=eq\f(\f(6,2eq\r(37-6x)),2eq\r(4-\r(37-6x)))=eq\f(3,2eq\r(37-6x)*eq\r(4-\r(37-6x)))＞0,所以函数y为增函数。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=eq\f(3,2eq\r(37-6x)*eq\r(4-\r(37-6x)))∴eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(3,2)*eq\f([eq\r(37-6x)*eq\r(4-\r(37-6x))]]',(37-6x)(4-eq\r(37-6x)))=eq\f(3,2)*eq\f(-eq\f(6eq\r(4-\r(37-6x)),2eq\r(37-6x))+eq\f(eq\r(37-6x)*(eq\r(37-6x))',2eq\r(4-\r(37-6x))),(37-6x)(4-eq\r(37-6x)))=eq\f(9,4)*eq\f(-8+3eq\r(37-6x),eq\r([(37-6x)(4-eq\r(37-6x))]3)).令eq\f(d2y,dx2)=0，则-8+3eq\r(37-6x)=0，即x=eq\f(269,54)≈5.0，此时有：(1)当x∈[eq\f(7,2)，eq\f(269,54)]时，eq\f(d2y,dx2)≥0，函数y为凹函数。(2)当x∈[eq\f(269,54)，eq\f(37,6)]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。※.函数的极限lim(x→eq\f(37,6))eq\r(4-\r(37-6x))=eq\r(4);lim(x→0)eq\r(4-\r(37-6x))=eq\r(4-\r(37));lim(x→-eq\f(-7,2))eq\r(4-\r(37-6x))=0。※.函数的五点图x6.175.595.004.253.5eq\r(37-6x)01.862.653.394eq\r(4-\r(37-6x))21.461.160.780※.函数的示意图y=eq\r(4-\r(37-6x))图像示意图y(6.17,2)(5.59,1.46)(5.00,1.16) (4.25,0.78)o