形如根式复合函数y=√(a-√(b-cx))的图像示意图及性质解析A7

函数y=eq\r(5-\r(19-16x))的性质及图像主要内容：本文主要介绍根式复合函数y=eq\r(5-\r(19-16x))的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的图像示意图。※.函数的定义域对于根式函数y=eq\r(5-\r(19-16x))，要求为非负数，所以有：19-16x≥0且5-√(19-16x)≥0，即：x≤eq\f(19,16)≈1.19且x≥-eq\f(3,8)≈-0.38,则函数的定义域为：[-eq\f(3,8)，eq\f(19,16)]。※.函数的单调性两种思路来解析函数的单调性。(1)函数单调性法:该函数y=eq\r(5-\r(19-16x))由以下函数复合函数，即：y=eq\r(u)，u=5-eq\r(v)，v=19-16x，其中v为一次函数，且为减函数，则u=5-eq\r(v)为增函数，进一步知y=eq\r(u)在定义域上也为增函数。(2)函数导数法：根式函数y=eq\r(5-\r(19-16x))，对x求导有：eq\f(dy,dx)=eq\f((5-\r(19-16x))',2\r(5-\r(19-16x)))=eq\f(\f(16,2eq\r(19-16x)),2eq\r(5-\r(19-16x)))=eq\f(4,eq\r(19-16x)*eq\r(5-\r(19-16x)))＞0,所以函数y为增函数。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=eq\f(4,eq\r(19-16x)*eq\r(5-\r(19-16x)))∴eq\f(d2y,dx2)=-4*eq\f([eq\r(19-16x)*eq\r(5-\r(19-16x))]]',(19-16x)(5-eq\r(19-16x)))=4*eq\f(-eq\f(16eq\r(5-\r(19-16x)),2eq\r(19-16x))+eq\f(eq\r(19-16x)*(eq\r(19-16x))',2eq\r(5-\r(19-16x))),(19-16x)(5-eq\r(19-16x)))=16*eq\f(-10+3eq\r(19-16x),eq\r([(19-16x)(5-eq\r(19-16x))]3)).令eq\f(d2y,dx2)=0，则-10+3eq\r(19-16x)=0，即x=eq\f(71,144)≈0.5，此时有：(1)当x∈[-eq\f(3,8)，eq\f(71,144)]时，eq\f(d2y,dx2)≥0，函数y为凹函数。(2)当x∈[eq\f(71,144)，eq\f(19,16)]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。※.函数的极限lim(x→eq\f(19,16))eq\r(5-\r(19-16x))=eq\r(5);lim(x→0)eq\r(5-\r(19-16x))=eq\r(5-\r(19));lim(x→-eq\f(3,8))eq\r(5-\r(19-16x))=0。※.函数的五点图x1.190.850.500.06-0.38eq\r(19-16x)02.323.324.255.01eq\r(5-\r(19-16x))2.241.641.300.870※.函数的示意图y=eq\r(5-\r(19-16x))图像示意图y(1.19,2.24)(0.85,1.64)(0.5,1.3) (0.06,0.87)o