【数学】广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考试题(解析版)

广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故选：D.2.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，的图象向右平移个单位长度，得到函数图像的，则D选项正确.故选：D.3.若随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为随机变量服从正态分布，即，所以.故选：B.4.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因函数为上的递增函数，则，即，则；因函数为上的递增函数，则，即，则，则.故选：.5.记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，即，所以公差，故选：A.6.已知函数在处取得极大值，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题设，则，可得或，当时，，当或时，，则在和上递增，当时，，则在上递减，此时在处取得极小值，不符；当时，，当或时，，则在和上递增，当时，，则在上递减，此时在处取得极大值，符合；综上，.故选：C.7.已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，，可得，则有，且，于是，因，当且仅当，即时等号成立，此时，即甲是乙的充分条件；若取，则，而，即甲不是乙的必要条件，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.8.已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，曲线在点处的切线斜率，切线方程为：，设，则，，即，，，，当，即时，切线方程为：，与有唯一交点，不合题意；当时，由，知为一元二次方程的两个不等实根，，又，；不妨令，代入得：，设，则，，；则当时，等号成立，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知样本数据，，则（）A.若样本数据的极差为，则样本数据的极差为B.若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为C.若样本数据的众数为，则样本数据的众数为D.若样本数据的方差为，则样本数据的方差为【答案】AC【解析】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则，由于在上单调递增，故样本数据中，最大值为，最小值为，故，则样本数据的极差为，故A正确；对于B，由平均数的性质可得样本数据的平均值为，故B错误；对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确.对于D，根据方差的性质，样本数据的方差为，故D错误；故选：AC.10.设函数，则（）A.为奇函数B.C.在区间单调递增D.在区间上的最大值为【答案】BCD【解析】函数的定义域是.选项A：因为函数的定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，所以选项A错误；选项B：函数.当时，，所以，所以，所以选项B正确；选项C：由选项B知，当时，，所以.所以函数在上单调递增，所以选项C正确；选项D：当时，，所以.当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减；所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.所以选项D正确.故选：BCD.11.已知某扑克牌置换游戏，规则为：从一副扑克牌中选出张，张，其中张和张装在不透明的袋中，剩余的张作为置换牌．现从袋中随机取出一张扑克牌，若取出，则把它放回袋中；若取出，则该扑克牌不再放回，并从置换牌中选择一张放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的全部置换为，则游戏结束．记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部取完．”为，且，则下列说法正确的是（）A.在操作次后，袋中还有张的概率为B.在操作次后，袋中恰有张的概率为C.D.【答案】BCD【解析】若操作前袋中还有两张，则经过一次操作后，袋中还有张的概率为，还有张的概率为.若操作前袋中还有一张，则经过一次操作后，袋中还有张的概率为，还有张的概率为.因此，在操作次后，袋中还有张的概率为，故错误.在操作次后，袋中还有张的概率为，故正确.记事件“在操作次后，袋中只有一张”为，且.根据题意，经过操作次后，袋中的恰好取完的概率为，则.而经过次操作后，袋中还有张的概率为，故经过次操作后，袋中还有张的概率.因此，经过次操作后，袋中的恰好取完的概率，故正确.对数列有递推公式.设该递推公式可化简为，解得.所以，故数列是公比为的等比数列，其中.因此，，即，则，而，故正确.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，常数项是__________．【答案】15【解析】的展开式的通项公式为，由得，，∴展开式中的常数项是.故答案为：15.13.已知，且，则__________．【答案】【解析】因为，则，且，则，可得，所以.故答案为：.14.设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】根据题意，函数将函数在上的图象向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象，再向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象，继续向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象，，如图可得函数的图象，令，即，因为在区间上恰有个零点，即函数的图象与在区间上恰有个交点，即函数的图象与在区间上都有两个交点，所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可，当时，函数的图象与在区间上有1个交点再求函数斜率为的切线，导数为，令，得，则切点为，代入，可得，所以时，函数的图象与在区间上有两个交点，这样函数的图象与在区间上恰有个交点.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的最大值为1.（1）求实数；（2）求使成立的的取值集合.【答案】解：（1）由题得，所以函数的最大值为，所以，即.（2）由（1）得，当时，，所以，所以.16.已知数列的前项和为，，且（）．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】解：（1）因为数列满足，当时，可得，两式相减，可得，所以，即，又因为，可得，即，所以，所以数列为以2为首项，3为公比的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以，可得，则.17.中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立．（1）求个零件中恰有个不合格品的概率；（2）现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由．【答案】解：（1）记事件：“个零件恰有个不合格品”，则，即个零件恰有个不合格品的概率为.（2）设为余下个零件中的不合格品的个数，则；①若不对该箱余下的零件作检验，这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为，则，；②若对该箱余下的零件作检验，则这一箱零件所需的检验费用为元；，应对这箱余下的所有零件作检验.18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，，若，求证：．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得：，令，①当时，即，有，即在上单调递增；②当时，即，方程两根分别为．当时，因，即，则，即在上单调递增；当时，易得，且，此时，当时，，即在区间上单调递增；当时，，即在区间上单调递减．综上所述：当时，在区间上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减.（2）解：方法一：直接研究函数单调性由（1）可知，当时，在区间上单调递增，则，符合题意；当时，由可得则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，使得，不符合题意.综上所述，可得；方法二：端点效应令求导得，，①当时，，令，则，设，因，则，即在区间上单调递增，则即，则在区间上单调递增，故，从而，则成立；②当时，，设，则当时，，当时，，即（即）在区间上单调递减，在区间上单调递增，因，当时，则在区间上单调递减，故，从而，这与已知条件矛盾，故.（3）证明：由题意可得，得，因此，由，可得，令，则，可得，则要证，只需证，即证：当时，.由（1）可知，时，在上是增函数，故当时，，则当时，不等式恒成立，故得证.19.杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为.现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且．（1）求的值.（2）记的第行所有数的和为．（i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的