2026届高三一轮试题数学第35练空间点、线、面之间的位置关系

第35讲空间点、线、面之间的位置关系链教材夯基固本激活思维1．(人A必二P128练习T2)下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面2．(人A必二P131练习T1(2))设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b()A．平行 B．相交C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线3．(人A必二P131练习T4改)已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是()A．平行或相交 B．相交或异面C．平行或异面 D．平行、相交或异面4．(人A必二P131练习T3改)下列说法正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点5．如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(,3)，AD＝2eq\r(,3)，AA′＝2，则BC和A′C′所成角的大小是____，AA′和BC′所成角的大小是___．聚焦知识1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．平行直线(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线(1)判定：与一个平面相交的直线和这个平面内____的直线是异面直线，如图所示．(2)异面直线所成的角：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角，其取值范围为____．5．常用结论(唯一性定理)(1)过直线外一点____直线与已知直线平行；(2)过直线外一点____平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点____平面与已知平面平行；(4)过平面外一点____直线与已知平面垂直．研题型能力养成举题固法平面的基本事实及应用例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1)求证：C1，O，M三点共线；(2)求证：E，C，D1，F四点共面；(3)求证：CE，D1F，DA三线共点．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．变式1如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K．(1)求证：直线MN⊂平面PQR；(2)求证：点K在直线MN上．空间两直线的位置关系例2(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的是()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线变式2在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线异面直线所成角的计算例3如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为____．异面直线所成角的求法1．平移使相交：通过平移一条(或2条)，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角；2．向量法：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)．变式3(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)(2)在三棱锥P－ABC中，AC＝eq\r(,3)，BC＝1，PA＝PB＝PC＝AB＝2，M为AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是____．随堂内化1．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条2．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．(2024·日照一模)已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是()A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直4．(2024·保定二模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．eq\f(7,17) B．eq\f(14,17)C．eq\f(16,17) D．eq\f(8,17)配套热练A组夯基精练一、单项选择题1．已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是()A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点C．b∥c D．b∩c＝P2．(2024·岳阳三模)下列命题正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交3．(2024·威海二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1与平面AEF的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)4．(2024·南昌二模)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝eq\r(,3)，BC＝BD＝CD＝2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AF，BE是异面直线，AF⊥BEB．AF，BE是相交直线，AF⊥BEC．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直二、多项选择题5．(2025·南通海安期初)在空间中，设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列能推出a∥b的是()A．a⊥c，b⊥cB．a∥α，a⊂β，α∩β＝bC．α⊥γ，β⊥γ，α∩γ＝a，β∩γ＝bD．α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∥c6．(2024·新乡三模)已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γB．若m⊂α，n⊄α，则m与n为异面直线C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则P∈nD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ7．如图，在正方体ABCDeq\a\vs4\al(－)A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有()A．l过点B1B．l不一定过点B1C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上三、填空题8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____．9．在三棱锥P－ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若MN＝eq\f(\r(2),2)，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为____．四、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．(1)求证：D，B，F，E四点共面；(2)求证：若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)求证：DE，BF，CC1三线交于一点．11．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将三角形ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A－BCDE，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)求异面直线BE与MQ所成的角．B组滚动小练12．(2025·烟台期中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x，若函数y＝f(x)在区间[a－1，a]上单调递减，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[－1,2] D．[2，＋∞)13．(2025·常州期中)已知函数f(x)＝cosωx(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜4π，且曲线y＝f(x)关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))中心对称，则f(π)＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(,3),2) D．－eq\f(\r(,3),2)第35讲空间点、线、面之间的位置关系激活思维1.C【解析】对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故C正确．对于D，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故D错误．2.D【解析】如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．(第2题)3.D【解析】当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件．在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．(第3题)4.D【解析】对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误．对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误．对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误．对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．5.45°60°【解析】连接A′C′(图略)，因为BC∥B′C′，所以异面直线BC和A′C′所成的角即为直线B′C′和A′C′所成的角，为∠A′C′B′.在Rt△A′B′C′中，A′B′＝AB＝2eq\r(,3)，B′C′＝AD＝2eq\r(,3)，所以tan∠A′C′B′＝1，所以∠A′C′B′＝45°，即异面直线BC和A′C′所成的角为45°.连接BC′(图略).因为AA′∥BB′，所以异面直线AA′和BC′所成的角即为直线BB′和BC′所成的角，为∠B′BC′.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(,3)，BB′＝AA′＝2，所以tan∠B′BC′＝eq\r(,3)，所以∠B′BC′＝60°，即异面直线AA′和BC′所成的角为60°.聚焦知识4.(1)不经过交点(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))5.(1)有且只有一条(2)有且只有一个(3)有且只有一个(4)有且只有一条举题固法例1【解答】(1)因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1.又因为A1C⊂平面ACC1A1，所以O∈平面ACC1A1.因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD.又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1.又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．(2)连接BA1，EF，D1C，BC1，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥BA1.又因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以BA1∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，F，C，D1四点共面．(3)因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以直线CE，D1F，DA三线交于一点P，即三线共点．(例1)变式1【解答】(1)因为PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ，所以M∈平面PQR.因为RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ，所以N∈平面PQR，所以直线MN⊂平面PQR.(2)因为M∈直线CB，CB⊂平面BCD，所以M∈平面BCD.由(1)知M∈平面PQR，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理，可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，所以M，N，K三点共线，所以点K在直线MN上．例2CD【解析】因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．(例2)变式2D【解析】如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是eq\x\to(BC)的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝eq\r(,12＋22)＝eq\r(,5)，AE＝eq\r(,22＋（\r(,2)）2)＝eq\r(,6)，所以AE≠CF.(变式2)例3eq\f(7,10)【解析】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，连接BC1交B1C于点O，取A1C1的中点F，连接OF，显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，则∠B1OF是A1B与B1C所成的角或其补角．在△OB1F中，B1F＝eq\r(,3)，OB1＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2)eq\r(,42＋22)＝eq\r(,5)，OF＝eq\f(1,2)A1B＝eq\f(1,2)eq\r(,42＋22)＝eq\r(,5)，则cos∠B1OF＝eq\f(（\r(,5)）2＋（\r(,5)）2－（\r(,3)）2,2×\r(,5)×\r(,5))＝eq\f(7,10)，所以直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为eq\f(7,10).(例3)变式3(1)D【解析】如图，连接BC1，PC1.因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PC1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1，BB1，B1D1⊂平面PBB1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1.又PB⊂平面PBB1，所以PC1⊥PB.设正方体的棱长为2，则BC1＝2eq\r(,2)，PC1＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(,2)，从而sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).(变式3(1))(2)eq\f(5\r(,7),28)【解析】如图，取PC的中点D，连接MD，BD，因为M为AC的中点，所以DM∥PA，且DM＝eq\f(1,2)PA＝1，所以∠DMB为异面直线BM与PA所成的角或其补角．在△ABC中，AC＝eq\r(,3)，BC＝1，AB＝2，所以AB2＝BC2＋AC2，则AC⊥BC.又AM＝MC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(,3),2)，所以BM＝eq\r(,BC2＋MC2)＝eq\f(\r(,7),2).在△PBC中，BC＝1，PB＝PC＝2，由余弦定理可得cos∠DCB＝eq\f(22＋12－22,2×2×1)＝eq\f(1,4).在△BDC中，DC＝BC＝1，由余弦定理可得BD2＝DC2＋BC2－2DC·BC·cos∠DCB＝1＋1－2×1×1×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).在△BMD中，由余弦定理可得cos∠DMB＝eq\f(DM2＋BM2－BD2,2×DM×BM)＝eq\f(1＋\f(7,4)－\f(3,2),2×1×\f(\r(,7),2))＝eq\f(5\r(,7),28)，所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为eq\f(5\r(,7),28).(变式3(2))随堂内化1.D2.A3.B【解析】对于A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有相交或直线在平面内，且m⊂α，则l与m的位置关系有平行、相交或异面，故A错误；对于B，若l∥α，则l与m可能垂直，如图(1)所示，l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；对于C，若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；对于D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图(2)，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误．图(1)图(2)(第3题)4.C【解析】如图，连接BC1，A1C1，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则有BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则BC1＝A1B＝eq\r(17)，A1C1＝eq\r(2)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(BCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1B2－A1Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),2BC1·A1B)＝eq\f(17＋17－2,2×17)＝eq\f(16,17).(第4题)配套精炼1.D【解析】因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为a＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ.因为α∩γ＝c，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如图，故A，B，C错误．(第1题)2.B【解析】若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A不正确；若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，故B正确；已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行或异面，故C错误；已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b∥平面α或b与α相交，故D错误．3.C【解析】因为E，F分别为棱BC，B1C1的中点，所以BB1∥EF，因为EF⊂平面AEF，BB1⊄平面AEF，所以BB1∥平面AEF.又平面DBB1∩平面AEF＝l，BB1⊂平面DBB1，所以BB1∥l.又AA1∥BB1，所以AA1∥l，如图，在正方体中，l与直线AD1所成角的大小等于∠A1AD1＝eq\f(π,4).(第3题)4.A【解析】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE，与平面ACD内不经过E点的直线AF是异面直线．下面证明BE与AF垂直：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，连接BF，所以BF⊥CD.因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，如图，取AF的中点Q，连接BQ，EQ，因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF，又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF.因为BC＝BD＝CD＝2，所以BF＝eq\f(\r(,3),2)×2＝eq\r(,3)＝AB，又因为Q为AF的中点，所以BQ⊥AF.因为BQ∩EQ＝Q，BQ，EQ⊂平面BEQ，所以AF⊥平面BEQ，又因为BE⊂平面BEQ，所以AF⊥BE.(第4题)5.BD【解析】对于A，如图，在正方体中，取直线AB为a，直线BC为b，直线BB1为c，显然有a⊥c，b⊥c，但a∩b＝B，所以A错误；对于B，由线面平行的性质可知，B正确；对于C，如图，在正方体中，取平面ABB1A1为α，平面BCC1B1为平面β，平面ABCD为γ，显然满足α⊥γ，β⊥γ，又α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，且AB∩BC＝B，即a，b相交，所以C错误；对于D，因为α∩β＝a，则a⊂β，又β∩γ＝c，则c⊂β，c⊂γ，又a∥c，显然有a⊄γ，所以a∥γ，又a⊂α，α∩γ＝b，所以a∥b，故D正确．(第5题)6.ACD【解析】对于A，显然m⊂α，m⊂β，又m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，A正确；对于B，由m⊂α，n⊄α，得m与n可能相交、平行或异面，B错误；对于C，由α∩β＝l，β∩γ＝m，l∩m＝P，知点P在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而γ∩α＝n，因此P∈n，C正确；对于D，由m⊥α，m⊥β，得α∥β，而α∥γ，因此β∥γ，D正确．7.AD【解析】如图，连接PB1，QB1，在正方体ABCDeq\a\vs4\al()A1B1C1D1中，取BB1的中点N，连接CN，则DP∥CN∥QB1，DP＝CN＝QB1，所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DPB1Q，B1∈平面A1B1C1D1，所以B1∈l，故A正确，B错误．如图，DP的延长线与D1A1的延长线交于点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交于点E，因为DP⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q.因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈平面A1B1C1D1，所以F∈l.因为DQ⊂平面DPB1Q，所以E∈平面DPB1Q.因为D1C1⊂平面A1B1C1D1，所以E∈平面A1B1C1D1，所以E∈l，故C错误，D正确．(第7题)8.eq\f(\r(10),5)【解析】如图，补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，则AB1∥C1D，所以AB1与BC1所成角为∠BC1D或其补角．又BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋12－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).(第8题)9.eq\f(3,4)【解析】如图，取AB的中点Q，连接QM，QN，因为Q是AB的中点，N是BC的中点，所以QN∥AC，QN＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，同理QM∥PB，QM＝eq\f(1,2)PB＝1，所以异面直线AC，PB所成角为∠MQN或其补角．在△MQN中，QM＝1，QN＝eq\f(1,2)，MN＝eq\f(\r(2),2)，则cos∠MQN＝eq\f(QM2＋QN2－MN2,2QM·QN)＝eq\f(3,4)，即异面直线AC，PB所成角的余弦值为eq\f(3,4).(第9题)10.【解答】(1)如图，连接B1D1，由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，