山西省大同市2025-2026学年高三上学期第二次学情调研测试数学试题（含答案）

2026届高三年级第二次学情调研测试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写

在答题卡上.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

5.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合Mx1x3，Nx2x2，则集合MN

A.1,1B.0,3C.1,0D.1,3

2i

2.已知复数z，i为虚数单位，则z

1i

1103

A.2B.C.D.

222

3.首项为24的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是

A.d6B.6d8C.6d8D.d8

4.已知向量a1,1，b1,1，若abab，则实数，满足的关系式为

A.1B.1C.1D.0

5.已知圆台的母线与底面所成的角为30，上、下底面半径分别是1和2，则该圆台的表面积是

A.17B.543C.523D.11

1tan

41

6.若，则cos2的值为

3

1tan

4

3311

A.B.C.D.

5522

7.已知曲线yxlnx在点1,1处的切线与曲线yax2x2a0相切，则a

1111

A.B.C.D.

221212

（北京）股份有限公司

8.已知向量ab2，且ab0，若向量c满足cab1，则c的最大值为

A.3B.2C.1D.21

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.已知，是空间中两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是

A.若m∥，∥，则m∥B.若m，n且m∥n，则

C.若m，n且m∥n，则∥D.若m，n且∥，则m∥n

10.若a0，b0，ab1，则下列不等式恒成立的是

1311

A.abB.ab2C.a2b2D.4

44ab

11.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx1ex1，则下列说法正确的是

A.当x0时，fxx1e1xB.函数fx有2个零点

，，都有的解集为

C.x1x2Rfx1fx22eD.fx01,01,

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则

12.annSna33a42a5

S

4_______________.

S2

13.已知定义在R上的函数fx的图象关于y轴对称，且函数fx在,0上单调递增，则不等式

f2xfx1的解集为_______________.

4

14.已知函数fxAsinx0,，fxf，fxfx0，fx在

263

区间,上单调，则正整数的最大值为_______________.

64

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物

15.1310tmin

体的温度可由公式kt求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数

010ek.

现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃.

（ln172.833，ln273.296，ln373.611，ln473.850）

（1）求k的值（精确到0.01）；

（北京）股份有限公司

（2）若要将物体的温度降为42℃，32℃，求分别需要冷却的时间（精确到0.1min）

16.（15分）如图，在矩形甬道ABCD中（假定甬道AD，BC可以无限延伸），AB3，BE2EA，M，

N分别为边AD，BC上的动点，且MEN，设BNE.

3

（1）若MEN的面积记为S，写出函数解析式S；

（2）求S的最小值.

17（.15分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB2，BC2，ABC45，

PAPD，平面PAD平面ABCD.

（1）求证：PCPD；

3

（2）若三棱锥BACP体积为，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

3

18.（17分）设函数fxlnxe1x.

（1）判断并说明函数fx的零点个数；

1

（2）记gxax21aR，

x

exex

①设hxgxfx，试讨论函数hx的单调性；

xex

②若gxfx在1,恒成立，求实数a的取值范围.

1352n1

（分）已知数列满足

19.17ann.

a1a2a3an

（）求的通项公式；

1an

（）若为在区间m内的项的个数

2bmanm,2mN.

①求，，；

b1b2b3

（北京）股份有限公司

②求数列的前项的和

bmmSm.

2026届高三年级第二次学情调研教学质量监测

数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.答案：A

解析：2x2，即2x21，解得x1，所以Nx2x2xx1，

又Mx1x3，所以MNx1x1.故选A.

2.答案：C

2i1310

解析：因为zi，所以z.故选C.

1i222

3.答案：B

a0244d0

解析：设该等差数列为，由题意得5，即，所以故选

an6d8.B.

a40243d0

4.答案：D

解析：因为abab，所以abab0，又ab1,1，

ab1,1，所以abab20.故选D.

5.答案：C

23

解析：设圆台的母线长为l，则1cos30Rr211，所以1

3

表面积SR2r2Rrl523.故选C.

6.答案：B

1tan

411

解析：可化为33tan1tan，即tan，

3442

1tan

4

cos2sin21tan23

又cos2，所以cos2.故选B.

sin2cos21tan25

7.答案：D

（北京）股份有限公司

1

解析：由yxlnx得y1，当x1时，y2，

x

所以曲线yxlnx在点1,1处的切线方程为y12x1，即y2x1，

yax2x21

由得ax2x30，所以112a0，解得a.故选D.

y2x112

8.答案：A

解析：因为ab0，所以ab，又ab2，所以ab2

2

222

所以cabc2cabab2ab1，

22

所以c2cab30，所以c32cab，

2

所以c32cabcos（是向量c与ab的夹角）.

22

所以c34ccos4c，所以c4c30，

所以1c3，所以c的最大值为3.故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.答案：BC

解析：在A中，由m∥，∥可得m∥或m，故A错误；

在B中，由m及m∥n可知n，又由于n，所以，故B正确；

在C中，由m及m∥n可知n，又因n，所以∥，故C正确；

在D中，由m，n，∥可得m∥n或m，n异面，故D错误.故选BC.

10.答案：ABD

11

解析：因为a0，b0，ab1，且ab12ab，所以ab，即ab，故A正确；

24

2

abab2ab2ab2，故ab2，故B正确；

211

a2b2ab2ab1，故C错误；

22

1111ba

ab2224，故D正确；故选ABD.

ababab

11.答案：ACD

解析：对于A，设x0，则x0，故fxx1ex1，因为函数fx是定义在R上的奇函数，

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所以fxfxx1ex1，故A正确；

对于B，函数fx是定义在R上的奇函数，所以f00；当x0时，令fxx1ex10，解

得x1；由奇函数性质可知当x0时，函数有零点x1；故函数fx有3个零点，故B错误；

对于C，如图所示，当x0时，fxx2ex1，令fx0得x2，令fx0得2x0，

1

所以fx在,2单调递减，在2,0单调递增，当x2时，得fx的极小值为，当x0时，

e

1

01e01e，又x1时，fx0，所以当x0时，fxe，根据奇函数的性质，当x0

e

1

时，efx，综上所述，fx的值域为e,e，所以x，xR，都有fxfx2e，

e1212

故C正确；

对于D，由图像可得fx0的解集为1,01,，故D正确；故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

5

12.答案：

4

解析：由题可知，即234

2a33a42a52a1q3a1q2a1q

1

所以2q23q20，解得q或2（舍）

2

4

a11q

22

S1q1q41q1q55

所以41q2.故答案为.

222

S2a11q1q1q44

1q

1

13.答案：,1,

3

解析：依题意，函数fx是偶函数，且fx在0,上单调递减，所以f2xfx1，即

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2211

f2xfx1，即2xx1解得x或x1，故不等式的解集为,1,.

33

14.答案：11

解析：因为fxf，所以k，kz，所以k，又

66226

422

fxfx0，所以,0是函数的对称中心，所以m，mz，所以

333

22

m，所以mk，即2mk1，所以是奇数，又函数在

3326

T

区间,上单调，所以即，所以12，当m7，k4时，满足，所

64462122

以最大值为11.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（分）解析：（）由题意可知，，当时，，

15.131162015t152

于是52156215ek，………………3分

解得k0.24.…………………6分

（2）由（1）知1547e0.24t，

所以当42时，421547e0.24t，所以t2.3；……………………9分

当32时，321547e0.24t，所以t4.2（4.3也可给分）.………12分

所以要将物体的温度降为42℃和32℃，

需要冷却的时间分别为2.3min和4.2min（或4.3min）.…………………13分

16.（15分）解析：（1）由题图可知BNE，0,，所以BEN，又MEN，

323

……………………2分

AE1

所以AEM，在RtAEM中，EM，…………4分

6cosAEM

cos

6

2

在RtBEN中，EN，………………6分

sin

11213

所以SEMENsin，

232sin2

cos

6

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3

0,.………………………8分

3

2sincos

6

323

（2）S，………………10分

2sincos2sin21

66

5

因为0,，所以2,，………………11分

3666

所以2sin21的取值范围是0,1，………………13分

6

所以当时，S取得最小值23.…………………15分

6

17.（15分）解析：（1）取AD的中点为O，连接PO，OC，AC.因为PAPD，所以POAD，

又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，

所以PO平面ABCD，……………………2分

在ABC中，AB2，BC2，ABC45，

由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos452，

所以AB2AC2BC2，

所以ABAC，又ABCD为平行四边形

所以AB∥CD，所以CACD………………4分

在RtACD中，O为AD的中点，所以OCOD…………5分

由于PO平面ABCD，所以POOC，POOD

因此直角三角形POC≌POD则PCPD………………7分

1

（2）SABAC1

ABC2

13

VVSPO，解得PO3……………………9分

BACPPABC3ABC3

由（1）可知CACD，又因为O为AD的中点，

所以OCAD，所以以O为坐标原点，

以OC，OD，OP所在直线分别

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为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

得P0,0,3，A0,1,0，B1,2,0，C1,0,0，D0,1,0……10分

设平面的法向量为，，

PABnx1,y1,z1AB1,1,0AP0,1,3

ABnx1y10

则，令，可得，………12分

z11n3,3,1

APny13z10

设平面的法向量为，，

PCDmx2,y2,z2CD1,1,0CP1,0,3

CDmx2y20

则，令，可得…………14分

z21m3,3,1

CPmx23z20

mn3315

所以cosm,n

mn777

5

所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值是.……………15分

7

18.（17分）解析：（1）因为fxlnxe1xx0，

1

所以fxe1x0，所以fx在0，上单调递增.

x

e

又f10110，而fe1e1e10，………………2分

ee

所以存在唯一实数，使得，

x01,efx00

所以fx在0,有且只有一个零点.……………………3分

exex11

（2）①hxgxfxax21e1xlnxe1xax2alnx，

xexxx

12ax21

则hx2axx0，……………………4分

xx

当a0时，hx0，故hx在0,单调递减，

1

当a0时，令hx0，得0x

2a

（北京）股份有限公司

1

所以当x0,时，hx单调递减，

2a

11

令hx0，得x，所以当x,时，hx单调递增.………………7分

2a2a

综上所述，当a0时，hx在区间0,上单调递减；

1

当a0时，hx在区间0,上单调递减，

2a

1

在区间,上单调递增.………………8分

2a

1

②依题意得gxfx，即ax21lnxe1x在区间1,恒成立

x

1e

即ax21lnx在1,恒成立.………………9分

xex

1eexex

设xx1，kxexex，因kxexe0，

xexxex

所以kx在1,单调递增，所以kxk10，所以x0.

若a0，由于x1，故ax21lnx0，

即gxfx在区间1,不恒成立；………………12分

若a0，由①知hxax21lnx，

1111

当1即0a时，hx在1,单调递减，在,单调递增.

2a22a2a

111

故hh10，而0，即存在x1，使得gxfx，

2a2a2a

所以gxfx在区间1,不恒成立；………………14分

111e

当1即a时，记Hxax21lnxx1

2a2xex

11ee1

则Hx2ax，其中2axx，又kxexex0，所以，

xx2exexx

2

11e111x32x1x22x1x1

因此Hx2axx0，

xx2exxx2xx2x2x2

（北京）股份有限公司

1

所以Hx在1,.单调递增，所以HxH10，即a时gxfx.

2

1

综上所述，当a,时，gxfx在1,恒成立.…………17分

2

1352n11

（分）解析：（）在中，令，得，即………分

19.171nn11a111

a1a2a3ana1