河北省张家口市涿鹿中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

河北省张家口市涿鹿中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）A.或 B.或C.或 D.或2．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线(，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要5．圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.46．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.7．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（）A.2 B.3C. D.8．已知数列中，，，是的前n项和，则（）A. B.C. D.9．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.10．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75C.155 D.31511．如图，已知正方体，点P是棱中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（）A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题12．函数在和处的导数的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则______.14．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______15．若，则___________16．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为（1）求的方程；（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k18．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率20．（12分）已知直线：，直线：（1）若，之间的距离为3，求c的值：（2）求直线截圆C：所得弦长21．（12分）已知函数（1）求f(x)在点处的切线方程；（2）求证：22．（10分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C2、C【解析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C.3、B【解析】因但4、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B5、D【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.【详解】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；故选：D.6、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.7、A【解析】设，则，解方程可得结果.【详解】设，则且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故选：A【点睛】关键点点睛：设是解题关键.8、D【解析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.【详解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，所以，得，即，又由是的前项和，则.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.9、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B10、C【解析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.11、A【解析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面夹角相等，在平面内绕P转动，可以得到二条直线与a、b的夹角都等于.【详解】如下图所示，在侧面正方形和再延伸一个正方形和，则平面和在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即与a、b相交，故①为真命题；取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于与b的夹角.由于平面，平面，，所以平面，所以与与b的夹角都为.又因为平面，所以与与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面内存在一条直线，使得与与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面内存在一条直线，使得与与的夹角都为；故②为真命题.故选：A12、A【解析】求出函数导数即可比较.【详解】，，所以，即.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】先求点坐标，再由已知得Q点坐标，由列方程得解.【详解】抛物线：()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，，，因为，所以，，所以3故答案为：3.14、【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.15、【解析】先求出函数的导函数，再求出，即可得出答案.【详解】解：由，得，则，所以，所以，所以.故答案为：.16、①.；②.【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.【详解】因为点在直线上，所以，所以数列是以，公差为的等差数列，所以；因为，所以，于是，故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.【小问1详解】双曲线即，故双曲线交点坐标为，由此可知椭圆焦点也为，又的短轴长为，故，所以，故椭圆的方程为；【小问2详解】联立，整理得：，其，设，则，所以=，点到直线PQ的距离为，所以=，又的面积为，则=，解得或k=1.18、（1）（2）【解析】（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，运用通项公式可得，，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和.【小问1详解】解：（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，由，，可得，；即有，，则，则；【小问2详解】解：，则数列的前n项和为.19、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共有个样本点，所以这名学生中，两组各有名的概率20、（1）或（2）【解析】（1）根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得的值.（2）利用弦长公式求得.【小问1详解】因为两条平行直线：与：间的距离为3，所以解得或.【小问2详解】圆C：，圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，所以弦长21、（1）；（2）证明见解析【解析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将转化为，设，，利用导数法证明.【详解】（1）函数的定义域