广东省佛山市南海区2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

广东省佛山市南海区2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（）A.， B.，C.， D.，2．直线与圆交点的个数为A.2个 B.1个C.0个 D.不确定3．设，则的大小关系（）A. B.C. D.4．在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B.C. D.5．设集合，，则A. B.C. D.6．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）A B.C. D.7．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是（）A.(0，1) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，＋∞)8．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（）A. B.C. D.9．函数的部分图象如图所示，则的值为（）A. B.C. D.10．函数是奇函数，则的值为（）A.1 B.C.0 D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，且函数恰有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.13．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.14．已知且，则=______________15．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.16．圆的半径是6cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点（1）求证：EF∥平面ABD1；（2）AA1=，求异面直线EF与BC所成角的正弦值18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）在所给坐标系中画出函数在区间的图象（只作图不写过程）．19．已知，(1)求的值;(2)求的值.20．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，且图象关于原点对称；②向量，，，；③函数.在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中空格位置，并解答.已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）若，且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间.21．函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，解不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】设这10个数据分别为：，进而根据题意求出和，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.【详解】设这10个数据分别为：，根据题意，，所以，.故选：B.2、A【解析】化为点斜式：，显然直线过定点，且定点在圆内∴直线与圆相交，故选A3、C【解析】判断与大小关系，即可得到答案.【详解】因为，，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质，关键是与中间量进行比较，然后得三个数的大小关系，属于基础题.4、B【解析】由题意，代入扇形的面积公式计算即可.【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，所以由扇形的面积公式得.故选：B5、D【解析】详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.6、C【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.【详解】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为则所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且所以在上为增函数.所以在上为增函数.由，即所以对任意实数x恒成立即，由当且仅当，即时得到等号.所以故选：C7、C【解析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案.【详解】由在上单调递减，在上单调递减所以函数在上单调递减又根据函数f(x)在上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.故选：C8、A【解析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可【详解】因为，所以由，得，此时，所以排除CD，当时，越来越小，单调递减，所以排除B，故选：A9、C【解析】由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.【详解】由图象可得函数的最小正周期为，则.又，则，则，，则，，，则，，则，.故选：C.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.10、D【解析】根据奇函数的定义可得，代入表达式利用对数的运算即可求解.【详解】函数是奇函数，则，即，从而可得，解得.当时，，即定义域为，所以时，是奇函数故选：D【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.【详解】由得，即函数零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：12、【解析】根据题意所求面积，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，所以，弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：所以.故答案为：.13、【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.【详解】函数在区间上有两个不同的零点，则，故由可知：，当时，，显然不符合题意，故，又函数在区间上有两个不同的零点，等价于在区间上有两个不同的根，设，则函数在区间上有两个不同的根，等价于在区间上有两个不同的根，由得，要使区间上有两个不同的根，需满足a2-5a+1>06a故答案为：14、3【解析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解.【详解】且，令，则，即，解得，故答案为：3.15、(1).或3(2).4【解析】根据题意可得：【详解】区间上单调递减，，或3，当或3时，都有，，.故答案为：或3;4.16、3π【解析】根据扇形的面积公式即可计算.【详解】,.故答案为：3π.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程详见解析（2）【解析】(1)先证明EF∥D1B，即证EF∥平面ABD1.(2)先证明∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），再解三角形求其正弦值.【详解】（1）证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，∴EF是△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF平面ABD1，∴EF∥平面ABD1（2）∵AA1=，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，∴sin∠D1BC=，【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18、（1）最小正周期T＝π；单调递减区间为（k∈Z）；（2）图象见解析．【解析】（1）利用二倍角公式化简函数，再根公式求函数的周期和单调递减区间；（2）利用“五点法”画出函数的图象.【详解】解：f（x）＝＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）（1）∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，时，即2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z∴函数f（x）单调递减区间为[kπ＋，kπ＋π]（k∈Z）（2）图象如下：19、(1)(2)【解析】(1)化简得到原式，代入数据得到答案.(2)变换得到，代入数据得到答案.【详解】(1).（2）.【点睛】本题考查了利用齐次式计算函数值，变换是解题的关键.20、（1）（2），【解析】（1）若选条件①，根据函数的周期性求出，再根据三角函数的平移变换规则及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；若选条件②，根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数解析式，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；若选条件③，利用两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；（2）根据正弦函数的性质求出函数的单调递减区间，再根据函数的定义域令和，即可求出函数在指定区间上的单调递减区间；【小问1详解】解：若选条件①：由题意可知，，，，，又函数图象关于原点对称，所以，，，，，，，，，，若选条件②：因，，，，所以又，，，，，；若选条件③：，又，，，，，；【小问2详解】解：由，，解得，，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为，21、（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）【解析】(1)令代入即可.(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.【