《与平行线有关的辅助线问题》教案

《与平行线有关的辅助线问题》教案教学目标及教学重点、难点本节内容是在理解本章相关概念和定理的基础上，综合运用所学知识，解决有关几何问题，重点是掌握构造辅助线（平行线）的方法．提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝_____°．复习平行线的性质：复习平行线的性质，由课本习题引入本节课的内容．新课问题1如果去掉射线CD，那么∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系是否改变？例如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．答：∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．证明如下：过点C作CD∥AB，∵AB∥EF，∴CD∥EF．∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°．∵CD∥EF，∴∠DCE＋∠CEF＝180°．∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°．小结：本题为什么需要添加这样的辅助线？添加辅助线是为了帮助我们使用平行线的性质——因为只有当满足两条直线被第三条直线所截这个条件时，才有同旁内角互补的数量关系．添加辅助线的一种思路：若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．问题2是否还有其它方法能够证明这三个角的数量关系？方法二：借助三角形的内角和．证明：连接AE，∵AB∥EF，∴∠BAE＋∠AEF＝180°．∵∠CAE＋∠C＋∠AEC＝180°，∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．方法三：借助四边形的内角和．小结：这三种方法都添加了辅助线．都是通过添加辅助线构造基本图形，从而借助它们的性质来解决的．在添加辅助线之前，应先观察图形，分析已知和未知，结合自己的学习经验，有目标的添加辅助线．练习如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．证明：如图，过点C作CD∥AB，∵AB∥EF，∴CD∥EF．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．同理∠DCE＝∠CEF．∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∴∠ACE＝∠BAC＋∠CEF．方法二：方法三：小结：不同的添加辅助线的方法有不同的解法，不同解法的繁简程度也是有区别的．提出问题，引入辅助线．通过例题，明确添加辅助线的作用．通过一题多解，提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．巩固练习，掌握构造辅助线（平行线）的方法．总结1．添加辅助线的原因与作用：若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．2．添加辅助线的注意事项：（1）当题目中的几个条件相关联时，辅助线只能满足其中一个条件，其他结论都要通过证明获得；（2）在添加辅助线之前，应先观察图形、分析已知和未知，有一定的解题思路后，选择适当的方法添加辅助线；（3）添加的辅助线不同，解法也不同．梳理本节课所学内容．作业作业1如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．作业2这是课本25页14题，如果去掉这个图中的直线DE，你能用添加辅助线的方法，说明为什么三角形内角和是180°吗？巩固构造辅助线（平行线）的方法．综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是()2.如图所示,经过平移,三角形ABC的顶点A,B,C分别移到点D,E,F,得到三角形DEF,则下列说法中错误的是()A.∠ACB=∠DFEB.AD∥BEC.AB=DED.平移距离为线段BD的长3.下列各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A.32 B.16 C.8 D.44.如图所示,在四边形ABCD中,若AD∥BC,连接AC,则下列说法中正确的是()A.∠1=∠4 B.∠2=∠3C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.∠B=∠D5.(内蒙古中考)如图所示,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为()A.75° B.105° C.115° D.130°6.如图所示,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°7.如图所示,某人骑自行车从A处向正东方向前进,行至B处后,行驶方向改变,行驶到C处后,再次改变行驶方向,向正东方向(射线CD)继续行驶,则∠BCD的度数是()A.15° B.30° C.135° D.165°8.如图所示,l1∥l2,点O在直线l2上,将三角尺的直角顶点放在点O处,三角尺的两条直角边与l1相交于A,B两点.若∠1=46°,则∠2的度数为()A.34° B.44° C.46° D.54°9.下列条件:①∠C=∠BFD,②∠AEC=∠C,③∠BEC+∠C=180°,其中能判断AB∥CD的是()A.①②③ B.①③C.②③ D.①10.(山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成的锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成的锐角β=45°,则EF与FG所成的锐角的度数为()A.60° B.55° C.50° D.45°二、填空题11.如图所示,立定跳远比赛时,小明从点A处起跳,落在沙坑内的点B处.跳远成绩是2.3m,则起跳点A到落脚点B的距离2.3m(填“大于”“小于”或“等于”).

12.将命题“两个面积相等的三角形的周长相等”改写成“如果……那么……”的形式:.

13.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的,在保证安全的前提下,按照如图所示的方式分别测出∠1=∠2=83°,这种验证方法依据的基本事实是.

14.光线从水中射向空气时,发生折射.由于折射率相同,在水中平行的光线,折射后的光线在空气中也是平行的.如图所示,从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射,水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=.

15.如图所示,AB∥CD,EF⊥DB,垂足为点E,∠1=50°,则∠2的度数是.

16.(山东东营中考)如图所示,将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,若三角形DEF的周长为24cm,则四边形ABFD的周长为cm.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并判断它们是正确的还是错误的;若是错误的,请举出反例.(1)绝对值相等的两个数一定相等;(2)等角的余角相等.18.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOE∶∠BOD=5∶2,若∠AOC=32°,求∠AOE的度数.19.读下列语句,并画出图形.点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行.直线EF经过点P且与直线AB垂直.20.如图所示,直线a,b被直线c所截.(1)请利用∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6这6个角(不能出现其他角),写出能够证明a∥b的条件;(最少写3个)(2)若∠1=∠5,求证a∥b.21.如图所示,AB∥CD,AE,CD相交于点F,点G在AB上,GH⊥BF,垂足为点H,∠1=∠2,试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(在“”上填数字或式子,在“()”里填理由).

解:∵AB∥CD(已知),∴∠1=().

∵∠1=∠2(已知),∴=(等量代换).

∴∥().

∵GH⊥BF,即∠GHB=90°,∴∠AFB=∠GHB=90°().

∴.

22.台球运动蕴含数学知识:如图①所示,台球桌面是一个长方形,两组对边分别平行.过台球与桌边碰撞的点作桌壁的垂线,该垂线平分台球碰撞前后运动所形成的夹角.(1)如图②所示,已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,一个球从桌面上的点A处滚向桌边PQ,碰到PQ上的点B后反弹,再碰到桌边RS上的点C后,再次反弹进入底袋点Q.在球碰到桌边反弹的过程中,AB,BC,CD都是直线,且∠1=∠2,∠3=∠4,BN⊥PQ,CM⊥RS.求证:AB∥CD.(2)如图③所示,若球在桌面的点A处,经过两次反弹后碰到桌边PQ上的点D处.已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,∠R=90°.通过观察猜想AB与CD的位置关系,并说明理由.答案：1.D2.D3.D解析:A选项中,32是偶数,且是8的4倍;B选项中,16是偶数,且是8的2倍;C选项中,8是偶数,且是8的1倍;D选项中,4是偶数,是8的12,不是8的倍数.故选D4.A解析:∵AD∥BC,∴∠1=∠4.故A选项正确,符合题意;无法得到B,C,D三个选项中的结论,故B,C,D选项错误,不符合题意.故选A.5.B解析:∵∠1=∠2=130°,∴l1∥l2.∴∠5+∠4=180°.∵∠5=∠3=75°,∴∠4=180°-75°=105°.故选B.6.B解析:A选项中,∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故A选项不符合题意;B选项中,当∠2=∠3时,无法判断l1∥l2,故B选项符合题意;C选项中,∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故C选项不符合题意;D选项中,∵∠2+∠4=180°,∴l1∥l2,故D选项不符合题意.故选B.7.D解析:如图所示,继续行驶的路线按射线CD方向.根据题意得,AB∥CD,∠CBE=15°,故∠BCD=180°-∠CBE=180°-15°=165°.故选D.8.B解析:∵l1∥l2,∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°.∵∠1=46°,∠BOA=90°,∴∠OBA=44°.∴∠2=∠OBA=44°.故选B.9.C解析:①由∠C=∠BFD,根据“同位角相等,两直线平行”能判断BF∥CE;②由∠AEC=∠C,根据“内错角相等,两直线平行”能判断AB∥CD;③由∠BEC+∠C=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”能判断AB∥CD.故选C.10.A解析:过点E作EH∥AB.∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG.∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°.∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°.∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°.即EF与FG所成的锐角的度数为60°.故选A.11.大于解析:由题意可知,BC=2.3m,由垂线段最短可知,AB>BC.故答案为:大于.12.如果两个三角形的面积相等,那么它们的周长相等13.同位角相等,两直线平行14.105°解析:由光线平行,知∠3=∠1=45°.由水面和玻璃杯的底部平行,知∠2+∠4=180°.故∠4=180°-∠2=180°-120°=60°.故∠3+∠4=45°+60°=105°.故答案为105°.15.40°解析:在直角三角形EFD中,∠D=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°.∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故答案为40°.16.30解析:将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,知AD=BE=3(cm),DE=AB.因为三角形DEF的周长为24cm,所以DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24.所以四边形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=(AB+EF+DF)+BE+AD=24+3+3=30(cm).故答案为30.17.解:(1)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;是错误的,反例:|-2|=2,|2|=2,但-2≠2.(2)如果两个角相等,那么它们的余角也相等;是正确的.18.解:∵∠AOC=32°,∴∠BOD=32°.∵∠BOE∶∠BOD=5∶2,∴∠BOE=80°.∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-80°=100°.19.解:如图所示(画法不唯一).20.(1)解:∠1=∠3,∠1=∠5,∠2=∠4,∠2=∠6,∠2+∠3=180°,∠2+∠5=180°,∠1+∠4=180°,∠1+∠6=180°.(写出其中3个即可)(2)证明∵∠3=∠5,∠1=∠5,∴∠1=∠3.∴a∥b.21.∠A两直线平行,内错角相等∠2∠AAEGH同位角相等