《实际问题与一元一次不等式(第一课时)》教案

《实际问题与一元一次不等式（第一课时）》教案教学目标及教学重点、难点本课着重体现不等式是刻画现实世界中不等关系的有效数学模型。利用一元一次不等式解决简单的实际问题，体会其应用价值,发展分析问题和解决问题的能力.【教学目标】进一步掌握解一元一次不等式的技能，通过类比确定一元一次不等式解决实际问题的步骤。能解决简单实际问题，体会一元一次不等式的应用价值。加强理解各种分析方法，发展分析问题和解决问题的能力。4、合理设置贴近学生生活的问题情境，引导学生积极参与其中，升华学生从实际问题抽象数学模型的领悟。【教学重点】通过文本阅读理解，掌握提取有效数学信息的方法，学会建立一元一次不等式的数学模型解决问题。【教学难点】对实际问题背景的理解和选择适当的分析方法，抽象出不等式的数学模型。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。所以我们学习数学的目的就是掌握构建数学模型的思想方法，在实际问题中提炼出一个个数学模型，从而来解决问题。今天，我们就来研究一下从实际问题中如何抽象出一元一次不等式的模型。一、常用关键词与不等号二、类比一元一次方程解法，求解一元一次不等式三、类比方程（组）解决实际问题与结尾呼应，理解实际问题的应用意义为后续提取实际问题中的不等关系符号做铺垫明确一元一次不等式的解法是解决实际问题的工具提出类比思想，铺垫一元一次不等式解决实际问题的步骤强化文字语言与符号语言的转换数学模型的构建新课例题【背景】运动让我们的生活充满阳光。科学研究也在不断证明着跑步能强身健体，所以跑步运动是同学们接触最频繁的活力运动。在运动会期间，就出现了这样一个问题……【例】长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100米时，他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？{分析}问1：现在你能想象出场景吗？画图法问2：用表格来分析一下他们各数量间的关系，那么表头应该如何填写呢？明确题目类型，确定所用公式，路程=速度×时间Svt张华1004？李明110x？问3：题目中表示不等关系的词又在什么地方呢？问4：表示出来的算式是一元一次不等式吗？问:5：如果换个思路来填写表格呢？Svt张华1004100李明？x100问6：这里的不等关系：张华到达终点“之前”，又表示什么含义呢？解：设李明需要以xm/s的速度开始冲刺100解得x经检验符合实际答：李明至少需要以4.4m/s的速度开始冲刺。类比方程（组）解决实际问题的步骤。我们发现运用一元一次不等式解决实际问题时，步骤同样分为六步，即审、设、列、解、验、答。【小提示】首先明确题目中的数量关系帮助我们提炼有效的数学信息；第二，寻找不等关系词，是建立数学模型的基础；第三，在“设”环节中不能出现不等关系词；第四，解出不等式后，“验”环节中需要注意未知数的条件限制；第五，答题中要依据题意将不等符号转换为不等关系的文字语言。【练习】随着科技的发展和知识水平的提高，人们越来越意识到环境对自身的影响。为了保障孩子们在蓝天下茁壮成长，各级政府都针对提高空气质量制定了一系列政策。我们作为城市的主人，也应该积极参与其中。那么现在就一起来出谋划策。去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达60%，如果明年这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少天?(一年按365天){分析}关键句“空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比”让我们确定题目中的确切关系式：比值为良好天数比上全年天数。明确“题干”和“提问”，指出在题干中寻找不等符号寻找表示不等关系的关键词。“超过”，可以用“>”表示。确定不等式关系为“明年良好天数全年天数问1：如何表示出“明年良好的天数”？问2：求解这个一元一次不等式的方法？问3：最终不等式解集中应该取什么特殊解呢？完成审、设、列、解、验、答六步。提示：【练习】某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？{分析}树状图的方法总得分加分扣分10×答对题目数量5×答错或不答题目数量【练习】某冷饮店用200元购进A,B两种水果共20kg,进价分别为7元/kg和12元/kg.(1)这两种水果各购进多少千克?(2)该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁,要使售完后所获利润不低于进货款的50%,则每杯果汁的售价至少为多少元?{分析}1、依据题目问题明确解决方法（1）中所求为确定数量，存在等量关系，所以选择方程或方程组解决问题；（2）中有表示不等关系关键词“不低于”“至少”，所以选择不等式解决问题2、明确题目类型：销售类型固定公式：售价-进价=利润售价进价利润？200200×50%3、利用关键词“不低于”对公式进行不等关系转换【提示】在实际问题中进行对比如果出现等量关系，我们要使用方程（组）的数学模型。当出现不等关系时，我们要运用一元一次不等式数学模型【练习】在运动中获得的收益将成为青少年宝贵的人生财富。篮球作为一项独具魅力的大众运动项目，对青少年身体的成长和心理健康发展具有积极的作用在某市中学生篮球赛中，小方共打了10场球，他在第6,7,8,9场比赛中的得分分别为22分，15分，12分，19分，他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分要高，那么小方前5场比赛，总分可达到的最大值是多少？{分析}1、利用画图法分析题意2、题干中不等关系的提取：关键词3、对不等式解集的正确理解创设贴近生活的实际背景，激发兴趣引导学生创设场景，铺垫画图方法利用表格分析数量关系对比一元一次不等式的概念，发现失误的问题转换思路对比隐含的不等关系对“之前”的不同理解方式求得正解强调类比思想对比与方程（组）解决实际问题的不同设置贴近生活背景加深对例题中提示的理解强化解决实际问题六个步骤的注意点文字转符号强调一元一次不等式解法的灵活运用符合生活实际对题目的理解汇总不同分析问题，构建数学模型的方法创设同一实际问题，不同问题中提取不同模型在同一实际问题中，提取不同数学模型对比不同模型选择的方法实际生活背景不同分析方法的对比强调符号语言转换文字语言的准确总结解决实际问题的本质，就是构造数学模型。第一步：审，就是理清数量，寻找到不等关系。也就是从实际问题中抽象出数学模型。第二步：设，这里注意，我们要设的是确定未知数，而不是一个范围。第三步：列，也就是将数学模型符号化，将文字语言转换为符号语言。第四步：解，体现了求解一元一次不等式是解决实际问题的基础和工具。第五步：验，说明了现实生活对数学模型中未知数的条件限制。第六步：答，又将不等关系的符号语言转换为文字语言，完美解决了实际问题。生活是数学的源泉，而数学是常识的抽象化，希望这节课能给大家带来启发。思维导图强化解决实际问题的六个步骤明确各步骤均围绕实际问题本质，即建立数学模型总结不等式是刻画现实世界中不等关系的有效数学模型首尾呼应作业作业（1）某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？（2）某商店以每辆250元的进价购入200辆自行车，并以每辆275元的价格销售.两个月后，自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时至少已售出多少辆自行车？课后知能演练基础巩固1.体育课上进行投篮比赛,规定:投进一球可得3分,投丢一球扣1分,每人投篮12次,小李同学要想得分不低于28分,则他至少要投进球的个数为()A.9 B.10 C.11 D.122.为参加某机构组织的数学创新比赛,学校先进行了选拔,试卷共25道题,答对1道得4分,答错或不答1道扣1分,得90分及以上者将获得参赛资格.要取得参赛资格,需至少答对()A.20道 B.21道 C.22道 D.23道3.某工程队计划在5天内修路6km,施工第一天修完1.2km,计划发生变化.需至少提前1天完成修路任务,则后期每天至少修路km.

能力提升4.某企业决定一次性购买若干台甲、乙两种型号的垃圾处理器,用于日常垃圾处理.已知购买3台甲型号垃圾处理器和2台乙型号垃圾处理器共需8400元,购买1台甲型号垃圾处理器比购买1台乙型号垃圾处理器多花费800元.(1)甲、乙两种型号的垃圾处理器的单价分别是多少元?(2)该企业准备购买这两种型号的垃圾处理器共50台,总花费不超过71000元,则甲型号垃圾处理器至多可以购买多少台?5.某超市现有甲、乙两种商品,已知一个甲商品比一个乙商品贵20元,购买甲、乙两种商品各10个,共需1760元.(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元?(2)为吸引顾客,该超市准备对甲商品进行打折促销活动.已知甲商品的进价为49元/个,为保证打折后利润率不低于20%,至多可打几折?思维拓展6.某校八年级开展了篮球比赛.比赛规则是:八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛,赛制采用的是单循环积分赛(每个班级都与其他9个班级进行一场比赛),胜一场记2分,负一场记1分,然后按照积分高低进行排名.赛程过半,小明所在班级已经进行了5场比赛,积9分.(1)小明所在班级胜、负的场次各是多少?(2)根据分析,总积分超过15分才能确保进入前两名,小明所在班级若想进入前两名,在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利?答案：课后知能演练1.B解析:设小李同学投进x个球,则投丢(12-x)个球.依题意,得3x-(12-x)≥28.解得x≥10.故小李同学至少要投进10个球.故选B.2.D解析:设答对x道.依题意,得4x-(25-x)≥90.解得x≥23.故需至少答对23道.故选D.3.1.6解析:设后期每天修路xkm.依题意,得1.2+(5-1-1)x≥6.解得x≥1.6.故后期每天至少修路1.6km.4.解:(1)设甲型号垃圾处理器的单价是x元,乙型号垃圾处理器的单价是y元.由题意,得3x+2故甲型号垃圾处理器的单价是2000元,乙型号垃圾处理器的单价是1200元.(2)设购买甲型号垃圾处理器m台,则购买乙型号垃圾处理器(50-m)台.由题意,得2000m+1200(50-m)≤71000.解得m≤1334因为m为正整数,所以m的最大整数值为13.故甲型号垃圾处理器至多可以购买13台.5.解:(1)设乙商品的单价是x元,则甲商品的单价是(x+20)元.由题意,得10(x+20)+10x=1760.解得