《二元一次方程组的概念》教案

《二元一次方程组的概念》教案教学目标及教学重点、难点以含有多个未知数的实际问题为背景，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；了解二元一次方程及其相关概念，二元一次方程组及其相关概念.共设计了4道例题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们好，在七年级上学期第三章，我们认识了方程，并重点研究了一类具体方程----一元一次方程，我们研究了什么是一元一次方程，怎么解一元一次方程，并用一元一次方程解决了很多实际问题.在研究的过程中我们更是体会到了方程是刻画现实世界中等量关系的重要模型.这一章我们继续来研究方程，现在我们来看看下面这个实际问题：本章是在七年级上册《一元一次方程》的基础上进一步讨论方程（组）及解法，回顾之前学习的内容，为本章学习做好铺垫，并明确本章研究主题.新课【探究1．二元一次方程的概念】现在需要把一张100元的人民币兑换成10元和20元面值的零钱.已知目前有足够的10元、20元面值的人民币供兑换，那么可以怎么兑换呢？思考：问题1.在这个问题中，涉及到哪些量？其中哪些是未知量？这些量满足什么数量关系？问题2.这个等式是方程吗？问题3.你能类比一元一次方程的定义，给这个方程下个定义吗？二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：（）【探究2．二元一次方程的解】问题4.你能找到符合题意的，的值填到下表中吗？0246810543210由表可知当时，；当时，；……，这一组一组的值都使方程左右两边的值相等，那它们就都是方程的解.如果不考虑实际问题的限制，那么，；时，，……也都是这个方程的解.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.由于二元一次方程的解是一对数值，通常记作（以，为未知数的二元一次方程）问题5.二元一次方程的解有多少个呢？问题6.观察二元一次方程的解的特点，你能联想到最近学过的什么知识？【探究3．二元一次方程组】在问题1的基础上，再添加个条件：现有足够的10元、20元面值的人民币，需要把一张100元的人民币兑换成10元和20元的零钱，如果我想换成6张纸币可能吗？问题7.这个问题中，又要满足什么数量关系呢？满足两个等量关系：兑换后钱的数额=兑换前钱的数额10元、20元面值的人民币张数之和=6，也就是未知数，必须同时满足和把这个两个方程写在一起就组成了一个方程组，我们把这个方程组叫做二元一次方程组.二元一次方程组：含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.【探究4．二元一次方程组的解】由于，必须同时满足①和②，所以这个方程组的解就应该是既满足方程①，又满足方程②的，的值.我们发现既是①的解，又是②的解，也就是说是方程①和②的公共解，我们把它叫做方程组的解.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.以，为未知数的二元一次方程组的解，通常记作【探究1】从学生熟悉的实际问题出发，使学生能逐步感受到即将学习的内容与身边的事物有密切联系.从实际问题出发，引导学生列出多元方程，进而对比一元一次方程认识二元一次方程，实现对方程从一元到多元的认识.【探究2】探究什么是二元一次方程的解，如何找到二元一次方程的解，并能理解二元一次方程的解的特点.【探究3】将情境1中的实际问题强化条件，出现了对含有两个未知数和两个等量关系的情形，引出二元一次方程组.【探究4】分析理解二元一次方程组的解的本质.例题例1.如果一个三角形的三个内角分别是，，.（1）你能写出与满足的关系式吗？它是二元一次方程吗？它有多少个解？（2）当=90时，求的值；（3）当=60时，求的值.解：（1），它是二元一次方程；它的解有无数个.（2）当=90时，，可得；（3）当=60时，，可得.例2.下面的方程组是二元一次方程组吗？（1）（2）（3）（4）解：（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是.失误分析：关于含有两个未知数这个条件是要考虑整个方程组是否含有两个未知数，而不是单个方程中.例3.已知是二元一次方程组的解，求和的值.解：将代入得可得分析：这道题考查的是二元一次方程组的解的概念.例4.下表给出了甲、乙两种原料每千克的维生素A，B的含量.原料甲原料乙维生素A400单位300单位维生素B600单位200单位将甲、乙两种原料混合制成一种新食品，若这种新食品中，维生素A的含量为3600单位，维生素B的含量为4400单位，请问原料甲和原料乙各需多少千克？（制作过程维生素A，B的含量均不损失）你能用二元一次方程组来表示题中的等量关系吗？分析：本题中涉及到的未知量为原料甲和原料乙的质量，要满足的两个等量关系：原料甲提供的维生素A的含量+原料乙提供的维生素A的含量=3600，原料甲提供的维生素B的含量+原料乙提供的维生素B的含量=4400解：设需要原料甲x千克，原料乙y千克思考：这个问题用一元一次方程解决方便吗？小结：引入多元的优越性.例1.理解二元一次方程的概念.例2.能依据实际情境列出二元一次方程，并能给定一个未知数的值，将其代入原方程，求出另一个未知数的值.例3.理解二元一次方程组的概念.例4.理解二元一次方程组的解的概念.例5.该实际问题列一元一次方程解决较为麻烦，列二元一次方程组较为简捷，通过习题使学生感受到引入多元的优越性.总结1.本节课研究了哪些知识？我们是如何研究的？2.在这个过程中我们感受到对于含有多个未知数的问题，引入多个未知数，再根据问题的多个等量关系列出方程组，更加直接便捷.但随之而来的就是如何解方程组成为了新的问题，同学们可以课下思考探究起来，我们下节课将来研究二元一次方程组的解法.梳理回顾，理解知识，使学生进一步体会到方程是刻画现实世界中等量关系的重要模型，体会到引入多元的优越性.作业作业1：（1）方程组的解是（）A.B.C.D.（2）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解.（3）把一根7米长的钢管截成2米和1米长两种规格长的钢管，怎样截不浪费？你有几种不同的截法？作业2：梳理总结本节课学习的知识，体会引入多元在解决未知量较多的实际问题中的优越性.理解应用，巩固新知.课后知能演练基础巩固1.墨迹覆盖了二元一次方程“2x+●=5”的一部分,则覆盖的部分●可能是()A.3 B.4y C.xy D.y22.李老师给同学们准备了钢笔和铅笔两种奖品.已知铅笔的数量比钢笔的2倍少20支,设钢笔有x支,铅笔有y支,根据题意,可列二元一次方程为()A.y-20=2x B.y+20=2xC.2x+y=20 D.x+20=2y3.小明想把一根长5m的彩带截成2m或1m的彩带若干段,在不浪费的前提下,共有()A.1种截法 B.2种截法C.3种截法 D.4种截法4.小颖阅读一本故事书,现在已读页数比未读页数少50页,如果再阅读15页,那么已读页数与未读页数之比为2∶3,设现在已读页数为x页,未读页数为y页,则可列二元一次方程组为.

能力提升5.已知x=2,y=(1)a=;

(2)下表中,每对x,y的值是方程2x+y=a的解.x-1m334y530n-5则m=,n=.

6.对下面的问题,列出二元一次方程组,并根据问题的实际意义,找出问题的解.加工某种产品需经两道工序,第一道工序每人每天可完成900件,第二道工序每人每天可完成1200件.现有7名工人参加这两道工序,且每人只能参加一道工序,应怎样安排工人,才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等?思维拓展7.阅读下列材料,解答下面的问题.我们知道每一个二元一次方程都有无数组解,例如x=1,y=2,x=-例:求二元一次方程2x+5y=24的正整数解.解:由2x+5y=24,得y=24-2x5,根据x,y为正整数,运用尝试法可以知道,方程2x+问题:(1)求方程2x+3y=16的正整数解;(2)某地理科学研究小组共16人(全部为男性),前往云南普者黑对喀斯特地貌进行观测研究.研究期间入住当地民宿,已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择,其中两人间140元一天,三人间180元一天.若入住的房间都住满,请你运用所学知识,设计出每天所需费用最低的住宿方案,并进行简要说明.答案：课后知能演练1.B解析:由2x+●=5是二元一次方程,结合4个选项,知覆盖的部分●可能是4y.故选B.2.B解析:根据题意得,y=2x-20,即y+20=2x.故选B.3.C解析:设截成2m的彩带x根,1m的彩带y根,则2x+y=5.由x,y均为非负整数,得x=0,y=5或x=1,y4.y5.(1)3(2)0-3解析:(1)将x=2,y=-1代入方程2x+y=a,得2解得a=3.(2)∵a=3,∴2x+y=3.当x=m,y=3时,2m+3=3,解得m=0;当x=3,y=n时,2×3+n=3,解得n=-3.6.解:设安排x名工人参加第一道工序,y名工人参加第二道工序.根据题意,得x根据问题的实际意义得方程组的解为x故应安排4名工人参加第一道工序,3名工人参加第二道工序,才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等.7.解:(1)因为2x+3y=16,所以x=16-3y2=8由x为正整数,得8-32y为正整数又因为y为正整数,所以y一定是正偶数.当y=2时,x=5