2025年上学期高三数学运算能力提速训练试题（一）

2025年上学期高三数学运算能力提速训练试题（一）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）解答过程：解不等式(x^2-3x+2<0)：因式分解得((x-1)(x-2)<0)，解集为((1,2))，即(A=(1,2))。解不等式(2^x>4)：化简为(2^x>2^2)，得(x>2)，即(B=(2,+\infty))。交集(A\capB=\varnothing)，无符合选项（注：若题目选项包含(\varnothing)，则选此项）。2.复数(z=\frac{2+i}{1-i})的共轭复数(\overline{z})的模为（）解答过程：化简(z)：分子分母同乘(1+i)，得(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)。共轭复数(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，模为(\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{1+9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2})。3.已知向量(\overrightarrow{a}=(2,-1))，(\overrightarrow{b}=(m,3))，若(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b})，则(m=)（）解答过程：垂直条件：(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0)，即(2m+(-1)\times3=0)，解得(2m=3)，(m=\frac{3}{2})。4.函数(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))的最小正周期和对称轴方程分别为（）解答过程：周期：(T=\frac{2\pi}{|2|}=\pi)。对称轴：令(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})），解得(x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})。5.已知等比数列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，则前5项和(S_5=)（）解答过程：设公比为(q)，则(a_5=a_2q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq^3=8\Rightarrowq=2)。首项(a_1=\frac{a_2}{q}=1)，(S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{1-32}{1-2}=31)。6.若(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）解答过程：原式(=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha+1}{\tan^2\alpha+1}=\frac{4+1}{4+1}=1)。7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则体积为（）（注：假设三视图为底面半径2、高3的圆柱挖去一个同底等高的圆锥）解答过程：体积(V=V_{\text{圆柱}}-V_{\text{圆锥}}=\pir^2h-\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{2}{3}\pi\times2^2\times3=8\pi)。8.若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq3\x-y\geq-1\y\geq1\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为（）解答过程：可行域顶点为((1,1))、((2,1))、((1,2))（联立方程求解）。代入(z)：(z(1,1)=3)，(z(2,1)=5)，(z(1,2)=4)，最大值为5。9.函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的单调递减区间为（）解答过程：求导(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))。令(f'(x)<0\Rightarrow0<x<2)，递减区间为((0,2))。10.已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)（）解答过程：焦点(F(1,0))，设直线(AB:x=my+1)，联立抛物线方程得(y^2-4my-4=0)。设(A(x_1,y_1))，由抛物线定义(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2)，代入抛物线得(y_1^2=8)。由韦达定理(y_1y_2=-4\Rightarrowy_2^2=\frac{16}{y_1^2}=2\Rightarrowx_2=\frac{y_2^2}{4}=\frac{1}{2})，(|BF|=x_2+1=\frac{3}{2})。11.在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，异面直线(AC)与(B_1D_1)所成角为（）解答过程：连接(BD)，由正方体性质(B_1D_1\parallelBD)，(AC\perpBD)，故异面直线所成角为(90^\circ)。12.已知函数(f(x)=\begin{cases}\log_2x,x>0\2^x,x\leq0\end{cases})，则(f(f(-1))=)（）解答过程：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=-1)。二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.((x-\frac{1}{x})^6)的展开式中常数项为________。解答过程：通项公式(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-\frac{1}{x})^r=(-1)^rC_6^rx^{6-2r})。令(6-2r=0\Rightarrowr=3)，常数项为((-1)^3C_6^3=-20)。14.已知直线(l:3x+4y-12=0)与圆(C:(x-2)^2+(y-1)^2=4)相交于(A,B)两点，则弦长(|AB|=)________。解答过程：圆心(C(2,1))，半径(r=2)，圆心到直线距离(d=\frac{|3\times2+4\times1-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6+4-12|}{5}=\frac{2}{5})。弦长(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{4}{25}}=2\sqrt{\frac{96}{25}}=\frac{8\sqrt{6}}{5})。15.已知函数(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)在(x=1)处取得极值，则(a=)________。解答过程：求导(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1))，由极值条件(f'(1)=0\Rightarrow1+2a-2a-1=0)，恒成立，需检验二阶导数或单调性（此处题目可能隐含(a\neq0)，若需具体值，可能题目条件有误，暂填(a=1)，需根据实际选项调整）。16.已知定义在(\mathbb{R})上的奇函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x))，且当(x\in[0,1])时，(f(x)=x^2)，则(f(2025)=)________。解答过程：由(f(x+2)=-f(x)\Rightarrowf(x+4)=f(x))，周期(T=4)。(2025=4\times506+1\Rightarrowf(2025)=f(1))，又(f(x))为奇函数，(f(1)=-f(-1))，但(x\in[0,1])时(f(1)=1^2=1)，故(f(2025)=1)。三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})。（1）求(c)的值；（2）求(\sinA)的值。解答过程：（1）由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=13-4=9\Rightarrowc=3)。（2）由(\cosC=\frac{1}{3}\Rightarrow\sinC=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3})，由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\Rightarrow\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9})。18.（12分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。解答过程：（1）由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2\neq0)，故({a_n+1})是以2为首项，2为公比的等比数列。（2）由（1）得(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)，(S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=(2^{n+1}-2)-n=2^{n+1}-n-2)。19.（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解答过程：（1）连接(A_1C)交(AC_1)于(O)，则(O)为(A_1C)中点，又(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)为原点，(AB,AC,AA_1)为(x,y,z)轴建系，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))。平面(DC_1C)法向量(\overrightarrow{n_1}=(1,0,0))（(x)轴方向）。平面(ADC_1)：(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，设法向量(\overrightarrow{n_2}=(x,y,z))，则(\begin{cases}x+y=0\2y+2z=0\end{cases})，取(\overrightarrow{n_2}=(1,-1,1))。二面角余弦值(|\cos\theta|=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})（由图形判断为锐角，余弦值为正）。20.（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆交于(M,N)两点，若(OM\perpON)（(O)为原点），求(m)的取值范围。解答过程：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrowc=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，代入点((2,1))得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）联立直线与椭圆：((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，设(M(x_1,y_1),N(x_2,y_2))，则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(OM\perpON\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0)，(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，代入得：((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0\Rightarrow(1+k^2)(4m^2-8)-8k^2m^2+m^2(1+4k^2)=0\Rightarrow5m^2=8(1+k^2)\geq8\Rightarrowm^2\geq\frac{8}{5})，又(\Delta>0\Rightarrow64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0\Rightarrowm^2<2+8k^2)，结合(k^2=\frac{5m^2}{8}-1)，得(m^2<2+8(\frac{5m^2}{8}-1)\Rightarrowm^2<5m^2-6\Rightarrow4m^2>6\Rightarrowm^2>\frac{3}{2})，综上(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty))。21.（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。解答过程：（1）(f'(x)=e^x-a)，当(a\leq0)时，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上单调递增；当(a>0)时，令(f'(x)=0\Right