重庆市长寿中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题含解析

2025年秋期长寿中学高一年级半期考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上

无效.

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用元素与集合的关系判断得解.

【详解】集合，则，ACD错误，B正确.

故选：B

2.已知，且若，则，则满足条件的集合的有（）

A.4个⫋B.7个C.8个D.15个

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出集合A即可.

【详解】因为，

⫋

都满足题意，共7个.

故选：B.

3.若集合，，则（）

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A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，与集合求交集即可得解.

【详解】因为，则，又，

所以.

故选：B

4.人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断.

【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立，

“成人”能推出“学好数学”，必要性成立，

故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件．

故选：B．

5.命题“，”的否定是（）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得.

【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，.

故选：C

6.若，，，，则下列说法正确的是（）

A.若，，则

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B.若，则

C.若，，则

D.若，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项A,D，通过举反例判断选项B,C.

【详解】对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A

项错误；

对于B选项，因时，，故B项错误；

对于C选项，取满足，，

但是有，故C项错误；

对于D选项，因，故，又因，故，

由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确.

故选：D.

7.如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．

则下列说法正确的是：①；②；③；④．（）

A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.

【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，

图象与轴交点为，所以，

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顶点在第一象限，对称轴，又，所以，

所以，①说法正确；

因为图象经过、两个点，所以，解得，

因为，，所以，②说法正确；

由得，即，③说法正确；

因为图象顶点在第一象限，且经过，

由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，

所以当时，，

又，，，所以，即，④说法正确；

综上①②③④正确；

故选：D

8.已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，

恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进

一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围.

【详解】由已知可得，函数为偶函数，

又对于，当时，恒成立，

即，若，都有成立，

则在上单调递减，

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又函数为偶函数，则在上单调递增，

又对任意的恒成立，则可得．

当时，不等式为显然成立；

当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可．

因，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

故选：A．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列说法正确的是（）

A.“”是“”的充分不必要条件

B.“且”是“”的充要条件

C.某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小

于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低

D.购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量

一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，解出的范围，再去判断；

对于B，找一组特例，就可以分析出和且关系；

对于C，设笔记本价格为a，圆珠笔价格为b，根据条件判断正负；

对于D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解.

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【详解】对于A选项，，则，

则推出，推不出，

所以是充分不必要条件，故A正确；

对于B选项，且能推出；

（比如）推不出且，

所以且是的充分不必要条件，故B错误；

对于C选项，设1个笔记本价格a元，1支圆珠笔价格b元，则，

令，，得，

所以，由，所以，

则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低，故C正确；

对于D选项，设第一次价格为A1，第二次价格为A2，第三次价格为A3，，

第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格，

第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格，

由调和平均数算术平均数，可得第二种优惠，故D错误．

故选：AC．

10.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则关于的不等式的解集也为

C.若，则且

D.若，则关于的不等式的解集为或

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【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；

对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解

集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根，

则，得到，所以，故A正确；

对于B，若，则，

此时等价于，即，

显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误；

对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无

交点，

所以且，故C正确；

对于D，因为，由选项A知，，且，

由，得到，即，解得或，所以D正确，

故选：ACD.

11.下列说法错误的是（）

A.不等式的解集为

B.函数的定义域是

C.若，则函数的最小值为2

D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是

【答案】AC

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【解析】

【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错

误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确；

【详解】对于A，不等式等价于，解得或，

所以不等式的解集为或，故A错误；

对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是

，故B正确；

对于C，函数，当且仅当时取等号，

但在内无解，故C错误；

对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；

当时，由二次函数的性质可得，解得，

综上的取值范围是，故D正确；

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设正实数，，，满足，则当取得最大值时，的最大

值为__________________________

【答案】##

【解析】

【分析】将化为，利用基本不等式可求出时，取最大

值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案.

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【详解】由题意知正实数，，，满足，

即，则，

则，

当且仅当，即时取等号，故，即最大值为，

此时，故，

当，即时，取最大值，

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化单变量问题解决.

13.若不等式的解集为，则____；不等式的解集为

____

【答案】①.②.

【解析】

【分析】由题意确定的两根求得，即可求解.

【详解】由题意方程，有两根，

所以，解得：，所以，

所以即为：，

即，

即，

所以解集为：，

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故答案为：，

14.记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，

且当时，，若对任意，都有，则实数的取

值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进

行求解即可.

【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有，

当时，由，

所以，

因为函数是定义域为的奇函数，

所以当时，，

因此函数的图象如下图所示：

因为对任意，都有，

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所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方，

因此有且，解得，且，

因此实数的取值范围是，

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．

（1）若为假命题，求实数m的取值范围；

（2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解；

（2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解.

【小问1详解】

由题意有：为假命题，所以为真命题，

又由方程有两个不相等的实数根，

所以，

所以实数m的取值范围为；

【小问2详解】

由（1）有为真命题，则，

因为p，q中一真一假，

所以当真，假时，有，

当假，真时，有，

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综上所述，，

所以实数m的取值范围为.

16.设全集，集合或，．

（1）当时，求图中阴影部分表示的集合；

（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数

的取值范围．

【答案】（1）或

（2）条件选择见解析，

【解析】

【分析】（1）当时，求出集合及，结合图形分析出阴影部分表示的集合，再

根据交集的定义求解即可；

（2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，然后分和两种情况讨

论，列出不等式，求解即可.

【小问1详解】

因为全集，集合或，

当时，，

所以或.

所以图中阴影部分表示的集合或．

小问2详解】

①；②；③，

选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，

当时，，解得；

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当时，或，

解得或，所以.

综上可知，实数的取值范围是．

17.已知是一元二次方程的两个不等实数根．

（1）若均为正根，求实数的取值范围；

（2）求使的值为整数的的整数值；

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题可得，判别式和，运算得解；

（2）利用韦达定理化简，结合题意求解.

【小问1详解】

由题意，一元二次方程有两个正根，

故，得，

且，解得：.

【小问2详解】

由题意，，

又当，即时，且，

故，

由于为整数，故只能取，又，

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故整数的值为.

18.已知函数，其中.

（1）若在区间上具有单调性，求的取值范围；

（2）当时，函数的最大值为，求实数的值.

【答案】（1）

（2）或.

【解析】

【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案；

（2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值.

【小问1详解】

因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性，

所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，.

所以，实数的取值范围是．

【小问2详解】

二次函数的图象开口向下，对称轴为，

①当时，在上单调递减，此时，

因为当时，函数最大值为，即，

解得或，所以；

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

此时，无解，所以不存在，

③当时，在上单调递增，

此时，

因为当时，函数的最大值为，

所以，解得或，所以

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综上所述，或.

19.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位

点”.同时点是点的“下位点”；

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又

是点的“下位点”，证明你的结论；

（3）设正整数满足以下条件：对集合