江西省景德镇市2026届高三第一次质量检测数学试卷（含答案）

景德镇市2026届高三第一次质量检测试题

数学

命题景德镇一中江宁胡闵红昌江一中占星

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第1卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=-i(2-i),则z的共轭复数z在复平面内对应的点在第()象限

A.一B.二C.三D.四

2.已知集合A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合,则A∩B=(.)

A.B.{-4,-3,-2,-1,0,4}

C.{1,2,3,4}D.{12,3}

3.一个各项均为正数的等比数列，第三项等于第四项和第五项之和，则公比9等于()

B.2D.

4.“关于x,y的方程x²+y²+2mx+2y+5=0的曲线表示圆”是“m>2”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

5

BD.

6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对

方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为乙在每局中获胜的概率为

且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()

ABCD.3

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7.双曲线C:,过点P(2,3)作C的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于

A,B两点，则平行四边形OAPB的面积是()

B.IC.√3D.2

8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=sinx,又当x≤0时，恒成立，若

,则实数θ的取值范围为()

BCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列说法正确的有()

A.A₁B₁//平面BC₁DB.AD₁//平面BC₁D

C.BD⊥平面ACC₁AD.BD₁⊥平面ACC₁A

10.已知函数f(x)=asin2x+bcos2x(a>0,b∈R)在.处取得极大值2,则()

A.f(x)的最小正周期为πB.b=1

C.f(x)的一个递增区间为

D.将f(x)的图象向左平移·个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数

11.已知0为坐标原点，点M的轨迹与y轴的交点分别为P(0,1),Q(0,-1),当点M与P,

Q均不重合时，点M到点P和到定直线y+1=0距离的平方和为4,则下列说法正确的是

()

A.点M的轨迹方程为B.|OM|的最大值为√2

C.当点M与P,Q均不重合时，直线MP,MQ的斜率之积为定值-2

D.B,C是点M的轨迹上的两点，,若AB,AC斜率互为相反数，则BC的

斜率为

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第II卷(非选择题)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(2,0),b=(k,4),且a与6的夹角是135°,则k=

13.已知数列{aₙ}的前n项和为S。,a₁=2,且数列{nS。}为等差数列，若S₄+a₃+a₄=1,则

14.已知函数,对于任意x₁,x₂∈R,满足|x₁-x₂≤21n2时，|f(x₁)-f(x₂)|·

的取值范围为·

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

“赣超是”江西省于2025年推出的全新的业余足球赛事，采用“政府主导+地方协同+协会运营”

的模式组织，旨在增强城市荣誉感和群众参与度，赛事口号为“以球为名，为城而战”。该联

赛以城市为单位组队参赛，全省11个设区市组成南北两个赛区，全程66场比赛，赛程长达

110天，比赛均安排在周末。2025年7月12日在南昌八一体育场开幕，南昌队对阵景德镇队，

现场观众达14521人，忒闲了赛事的高关注度。

现收集了已进行的6场比赛的场次顺序和对应球迷人数(千人)数据如下

场次x123456

球迷人数y(千人)151723232931

(1)求球迷人数对场次x的线性回归方程y=bx+a,数据保留小数点后两位；

(2)某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识，2个为

陶瓷制作工艺，答对4个问题可获得球赛门票一张.甲答对每个城市历史知识问题的概率为

答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为·,求甲赢得门票的概率.

参考数据：

参考公式：

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16.(本小题满分15分)

记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的外接圆半径为1,

设△ABC面积为S,且2S=√3[cos(A-B)+cosC]

(1)求角C;(2)求a²+b²的最大值.

17.(本小题满分15分)

已知抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点Q(3,0)的直线1交抛物线E于A,B两

点，点C(4,4),若直线AC,BC分别与直线x=-3交于M,N两点，

(1)求抛物线E的方程；(2)求以MN为直径的圆在x轴上截得的弦长.

18.(本小题满分17分)

如图，在正四棱柱ABCD-AB₁C₁D₁中，AB=AD=1,DD₁=√2,点E在棱DD₁上，

D₁B//平面ACE.

(1)证明：B₁D⊥平面ACE;

(2)在棱AA₁上是否存在一点F,使得三棱锥C-AEF的外接球

表面积为,求AF的长；

(3)在第(2)问的条件下，求直线DD₁与平面CEF所成角的正弦值.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=xlnx,

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a=0时，求曲线f(x)与曲线g(x)的公切线方程；

(3)设函数h(x)=f(x)-g(x)的存在两个极值点为x₁,x₂,(x₁<x₂)

求证：关于x的方程4a²-(x₁x₂+x₁+x₂-3)a+e⁸=0有唯一解

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景德镇市2026届高三第一次质检试题

数学参考答案

第I卷(选择题共58分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

12345678

BDCBBCAB

1.【答案】B

【解析】:z=-i(2-i)=-2i+i²=-1-2iz=-1+2i,则z的共轭复数2在复平

面内对应的点(-1,2)为第二象限…选B

2.【答案】D

【解析】∵则

A∩B={1,2,3}.选D

3.【答案】C

【解析】由题意得，a₃=a₄+a₅,∴a₃=a₃q+a₃q²即q²+q-1=0,

4>0.选C

4.【答案】B

【解析】x²+y²+2mx+2y+5=0化成标准方程(x+m)²+(y+1)²=m²-4,所以

m²-4>0,所以m>2或m<-2:选B

【解析】

6.【答案】C

【解析】,所以

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7.【答案】A

【解析】PA方程为y=√3(x-2)+3,与渐近线y=-√3x联立，得

,:|0A|=2-√3;点P(2,3)到y=-√3x的距离，,∴平行

四边形OAPB的面积，∴选A

8.【答案】B

【解析】令g(x),则g(x)-g(-x)=0,即g(x)为偶函数，

当x≤0时，恒成立，所l

所以g(x)在(-∞,0)上单调递增，又因为

所以,所以|,所以

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.

91011

BCACDABD

9.【答案】BC

【解析】AD₁IBC,BC₁c平面BC₁D且AD₁α平面BC,D,故AD₁1平面BC₁D,B正确；

ABIA₁B₁,AB₁不平行于平面BC₁D,A错误；记AC∩BD=0,连结OC₁,所以BDIAC,

BC₁=DC₁,○为BD的中点，则BDIOC₁,且OC₁∩AC=0,所以BD1平面ACC₁A,C

正确，D错误.故选BC.

10.【答案】ACD

【解析】易知f(x)的最小正周期为π,A选项正确；

依题意，

,所以a=-√3b,

高三数学答案第2页共11页

所以-2b=2,所以b=-1,B选项错误；故

由,k∈Z

令k=1,则区间为,则C选项正确；

将f(x)的图象向左平移·个单位长度，所得函数为偶函数，

D选项正确，故选ACD.

11.【答案】ABD

【解析】由题意，,A正确；

|oM|的最大值为a=√2,B正确；

当点M与P,Q均不重合时，,所以C

错误；

设AB方程与1联立得

同理得，所以

;所以D正

确.

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.

12.-413.-714.[0,1]

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12.【答案】-4

【解析】,所以k=-4

13.【答案】-7

【解析】∵S₄+a₃+a₄=1:S₄+S₄-S₂=1即2S₄-S₂=1.:4S₄-2S₂=2∵数列{nS,}为等差

数列：数列{nS}的公差为1,∴nS,=2+(n-1)=n+1:

14.【答案】[0,1]

解：在R上单调递增，不妨设x₁≤x₂,记x₂-x₁=1,t∈[0,2In2]

所以当t=0时，|f(x₁)-f(x₂)|取得最小值0;

当t=21n2时，If(x₁)-f(x₂)|取得最大值

If(x₁)-f(x₂)|的取值范围为[0,1]

四、解答题：本大题共5小题，满分77分.

15.(本小题满分13分)

解：(1)因为,y=23

………3分

………5分

所以回归方程为y=3.31x+11.40…………6分

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(备注：若学生用b的近似值计算a,得到11.41或11.42,也给分)

(2)①甲答对5题的概率为……8分

②甲3个城市历史知识都答对，2个陶瓷制作工艺问题只答对一个的概率为

……………10分

③甲3个城市历史知识只答对2个，2个陶瓷制作工艺问题都答对的概率为

…………12分

所以甲赢得门票的概………13分

16.(本小题满分15分)

解：(1)因为A+B+C=π,

所以cos(A-B)+cos(π-A-B)=cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB……………3分

所以,又由正弦定理，a=2sinA,b=2sinB,

,……5分

ABC

,因为△为锐角三角形，所以………7分

(2)由正弦定理，

c=2sinC=√3,…………10分

由余弦定理，c²=a²+b²-ab=3,…………12分

………………

由基本不等,当且仅当a=b=√3

时，等号成立.…………14分

综上所述，a²+b²的最大值为6.………15分

(备注：漏了等号条件的，扣一分)

高三数学答案第5页共11页

17.(本小题满分15分)

【解析】(1)由题意，得y²=4x……3分

(2)设直线l的方程为x=my+3,与y²=4x联立，消去x得，y²-4my-12=0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=4m,y₁y₂=-12;………5分

,C(4,4)

………6分

∴直线AC的方程为………7分

令x=-3,则

同理，……9分

设以MN为直径的圆与x轴的交点T(t,0),则

,且MT·NT=0………………10分

………………11分

……12分

∴t=2√3-3或t=-2√3-3…………14分

以MN为直径的圆在x轴上截得的弦长2√3-3-(-2√3-3)=4√3…………15分

高三数学答案第6页共11页

18.(本小题满分17分)

证明：(1)依题意，DB=√2,所以四边形DBB₁D,为正方形，

所以B₁DID₁B,连接DB交AC于0,则0为DB的中点，

由D₁BI平面ACE可知，D₁BIEO,所以E为DD₁的中点，

因为D₁BIEO,所以B₁D1EO,………………3分

因为DBIAC,B₁BIAC,DBIBB₁=B,

所以AC1平面DBB₁,……………………4分

因为B₁Dc平面DBB₁,所以ACIB₁D,

所以B₁D1平面ACE………………5分

解：(2)方法(一)设|AF|=21,由分析可知，三棱锥C-AEF的外接球的球心必在过CF

中点且垂直面AFC的直线l上，且BD,设球心为0点，三棱锥C-AEF的外接球表

面积则三棱锥C-AEF的外接球的半径

…………8分

由分析可知点○到面ABC的距离为t,再设点○到DD₁的距离为x,直线l与DD的交点

为H,则,球心0到CF中点的距离为,则有

代入上述方程组中的第一个式子，可得1,又因为|AF|=2t,则

………………12分

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方法(二)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,由已知可得

A(1,0,0),C(0,1,0),且t>0,设球心(x,y,z),则由分析可知

F(L,0,),

……………12分

(3)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则D(0,0,0),D(0,0,√2),C(0,1,0),

则DD₁=(0,0,√2),,EF=(1,0,0)……13分

设的法向量

由即：

令z=2,则y=√2,

户……………15分

所以直线DD₁与平面CEF所成角的正弦值为…………17分

高三数学答案第8页共11页

19.(本小题满分17分)

解：(1)f'(x)=1+Inx,所以f(x)在(上单调递减,上单调递增

………4分

(2)设f(x)的切点为(m,f(m)),则f(x)的切线为y=(1+Inm)x-m

设g(x)的切点为(n,f(n)),则g(x)的切线

………5分

所以m=e”-¹,所以

……6分

,所以p'(x)=eˣ⁻¹-x,p"(x)=eˣ⁻¹-1

所以p'(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增

……………7分

所以p'(x)≥p'(1)=0,所以p(x)在R上单调递增，且p(-1)=0,

……………8分

所以方程有唯一解n=-1

………9分

所以公切线方程为……10分

证明方法一：(3)关于x的方程4a²-(x,x₂+x₁+x₂-3)a+eˣ=0有唯