1证明复习教案

证明复习教案课题

《证明三》回顾与思考课型复习课

课标与教材

1、探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2]。（[注解][1]平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。[2]一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。）

2、探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[4]。（[注解][3]矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。[4]三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。）

3、探索并了解等腰梯形的有关性质[5]和四边形是等腰梯形的条件[6]。（[注解][5]等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等。[6]同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。）

学情

学生的知识技能基础：学生在八（上）第四章：《四边形性质探究中》已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形等的判定及性质有所了解，在本章前几节课中，又对这几种图形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，还通过特殊四边形的学习，掌握了直角三角形斜边中线的性质以及判定一个三角形为直角三角形的定理。学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用这几种图形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。

教学目标

本章的定理较多，在系统掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还必须能正确地区分它们之间的内在联系和区别，掌握各自的特征，这样才能正确应用相关的知识来解决问题。为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用。为此，本节课的教学目标是：（1）能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。（2）掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。（3）会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。（4）学会对证明方法的总结。（5）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。教学方法与媒体

自主探究合作学习，多媒体课件教具准备

多媒体师

生

活

动

过

程复备修改及设计意图．教师和学生一起回顾本章的主要内容。一、“四边形性质定理”内容：以特殊四边形的性质定理为线索，进行复习回顾。边角对角线平行四边形对边平行，对边相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行，对边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线相等菱形对边平行，四边相等对角相等对角线互相平分对角线互相垂直对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角线平分一组对角学生用“问答”的形式带领其他学生将表格完成，并讨论出性质的相同点、不同点和联系点。应用性质完成例题：DCBADCBAEFO求证：BE＝DF。教师在这里将这道题进行开放处理：例2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，_________,求证：BE＝DF或BE∥DF。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还可证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为特殊四边形对边、矩形的对角线等。目的：这个环节教师和学生一起回顾本章特殊四边形的主要性质定理，并通过对定理的分析，体会到了证明的必要性，掌握了一些常规证明方法和工具。实际效果：学生总结完性质定理后，教师给补充的证明方法还不够细致，这里教师只是再一次做个点拨，还要留给学生课下自己去搜集整理，作为一个复习，回顾整个证明（一）、（二）、（三）的线索。二、“四边形判定”内容：1.从四边形到正方形的递进式关系出发，以特殊四边形的判定定理为线索，进行复习回顾。学生总结的关系图：任意四边形（1）两组对边平行（2）两组对边相等（3）一组对边平行且相等（4）两组对角相等（5）对角线互相平分平行四边形（1）一组邻边相等（1）一个角是直角（2）对角线互相垂直（2）对角线相等菱形矩形（1）一个角是直角（1）一组邻边相等（2）对角线相等（2）对角线互相垂直正方形这个环节，展示的同学与其他同学以“问答”的互动形式来完成探索、回顾的过程，共同完成以上的关系图。老师需要在这个环节进行一些补充：第一，定理的补充：四边形→矩形；四边形→菱形。即，有三个角是直角的四边形是矩形；四条边都相等四边形是菱形。强调这是建立在四边形基础上的判定定理，与前面建立在平行四边形基础上要有所区别。第二，要求学生对每个定理都应该能用数学符号语言表述已知、求证、证明，并且会应用定理证明其他命题。第三，总结出完整地理顺这些判定定理，首先要清楚四边形到正方形，是从一般到特殊的过程；其次要明白补充的条件是边→角→对角线的从外到内的过程。BFBFCDEA例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。求证：①四边形AEDF是菱形②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？目的：教师和学生一起回顾本章的主要判定定理，并通过四边形之间由一般到特殊的递进关系将定理串联，帮助学生理解和掌握。虽然教学大纲已不在要求学生去枯燥地背定理，可只有对定理进行理解和掌握才能应用定理。特别是根据定理分析已知、求证，不仅帮助学生分清楚定理或者命题的条件和结论部分，还锻炼了学生恰当应用数学符号语言的能力。实际效果：在学生回答和补充的过程中，教师画龙点睛地把窍门让学生领悟到，让学生把判定定理这条线索整理得更加清晰、完整三、“三角形的中位线和中线”内容：这一章节中，学习了两个与三角形有关的定理，三角形中位线的定义和性质定理，直角三角形斜边中线的性质定理以及利用中线判定直角三角形的定理。所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。GGHFDAEBC例3.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。EeEeFBCMAN例4.如图，已知：△ABC，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别为BC、EF中点，求证：MN⊥EF。拓展例4’如图，已知：△ABC中，M、N分别为BC、EF中点，MN⊥EF，CF⊥AB，求证：BE⊥ACEEFDCBA例5.如图在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F、分别是BC、CA、AB边的中点。求证：AD＝EF目的：这次展示，虽然是以学生总结的例题形式出现，可非常具有代表性的三道例题，已经能够让学生清楚认识到，两个有关三角形的性质定理证明的必要性和应用的方法。实际效果：学生能够很好地完成这一展示，并且对上一环节中证明方法的总结，又多了一个需要补充拓展的工具。四、“三角形中位线”内容：老师选取学生作品当中最经典的一个问题情景：依次连接四边形各边中点所得到的图形，请添加合理的条件并提出问题，回答问题，简单口述理由。学生所提的问题应该囊括在以下几个问题：1.连结任意四边形各边中点得到什么图形？2.满足什么条件的四边形，连结其各边中点可以得到矩形？菱形？正方形？3.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的各边中点又可以得到什么图形？最后教师要引导学生总结出：原四边形对角线的位置或数量关系，决定了所得新四边形邻边的位置和数量关系，依此来决定所得四边形的形状。教师还可以根据学情自己加入一些与探索类问题相关联的小问题。如：原来的四边形面积为a，这样依次内接n次得到的新四边形面积如何表示？对角线相等的四边形依次这样内接，得到的四边形有什么规律？原来对角线都是10，则第2n+1个图形的周长是多少？等等。目的：这个环节首先应用了三角形中位线的性质定理，并再次涉及到平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理应用，还应用到了这四种四边形以及等腰梯形有关对角线的性质。是对前三个展示环节的又一次应用和反馈。实际效果：学生在本环节的问题情景下提出的问题是比较多样的，但老师呈现出来的是一个比较全面的问题串，所以这就要求老师要在学生你问我答的基础上不断补充、分类。最后让学生体会到，这个问题主要分为两个部分。第一部分是原四边形增加什么条件可以让接出的四边形成为特殊四边形；第二个部分是，特殊的四边形会接出什么样的四边形。分析清楚了分类方式也就加深了学生对“内接中点得到四边形”这个知识点的理解。教师所设置的拓展题目，在复习课上体现一个小的拔高，小的梯度，保证学困生自信的同时，不忘提高中、上等学生的探究能力。五、“三角形与梯形的关系”内容：展示的同学让其他同学在证明“等腰梯形同一底上的两个角相等”这个性质定理的过程中，联想到了“等腰三角形的两个底角相等”，并大胆猜想了他们之间的联系。让大家认同到，三角形是一个基本图形的作用，以及研究多边形性质从三角形、四边形开始的必要性。接着作为一个拓展，他向大家介绍了梯形的中位线的定义，并一同经历猜想梯形中位线的性质，证明猜想的结论这样一个探究的过程。目的：了解四边形和三角形之间的联系，它们之间的相互转化，以及以三角形作为基本向四边形或多边形拓展的研究方向。实际效果：三角形与其他四边形的联系可以进一步延伸，例如直角三角形斜边中线是斜边一半在矩形中的证明等等。教师主要是对展示的同学这种认真仔细研究、主动寻找规律的学习品质给予鼓励和肯定，让学生更多地去享受探索的过程，并不对补充的知识有过多要求或诠释。第三环节你圈我点——师生共同反思小结内容：课堂小结，让学生们互相提问、解答，吸收复习课上所回顾的内容，各自查漏补缺，将模糊不懂的理解透彻。目的：让学生对本节课的学习方法和知识点的收获进行回顾、梳理，同时分析自己还没掌握透彻的难点、存在的问题和不足，及时向老师或者同学请教。实际效果：教师可以根据学生的展示了解每一位学生的学习状况，适时调整教学，帮助学生查漏补缺，完善知识体系。第四环节布置作业内容：每小组完成一份第二课时的复习提纲。A层，所有学生都需要将课本复习题，逐个以知识点归类，并按兴趣搜集某知识点的拓展题目。B层，根据本章节的复