3.1.1+椭圆及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程

圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.引入新知1.椭圆的形象2.椭圆的画法

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹我们就把它定义为椭圆。答：笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数（绳长）.问：在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？哪些量没有变？3、椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.F1F2M••|MF1|+|MF2|=2a记焦距为2c，椭圆上的点M与F1,

F2的距离的和记为2a。(|F1F2|=2c,2a>2c>0)问题：为什么要求|MF1|+|MF2|>|F1F2|?

新知探究①当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时（绳长等于两定点间距离）F1F2M点M的轨迹为线段F1F2②

当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时（绳长小于两定点间距离）F1F2点M无轨迹下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.求曲线方程的“四步曲”①建系设点

②列式

③化简

④证明

思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆方程形式更简单？回

顾尽可能利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.能使方程的形式简单、运算简单。

可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴。①建系设点②列式

以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0).根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

两次平方去根号法③化简

OxyF1F2P思

考由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0.

④证明如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？思考

两椭圆关于直线y=x对称

观察两个标准方程，从椭圆的标准方程如何判断焦点的位置？

哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.可简记为：“谁大在谁家”思

考解

析椭圆的标准方程相关概念整理焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标三者之间的关系焦点位置的判断OxyOxy“谁大在谁家”

解

析定义法求方程例1法

二待定系数法求方程

例1P1091，2，3练习（第109页）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.练习（第109页）练习（第109页）P1152，5习题3.1（第115页）习题3.1（第115页）

进阶点与椭圆的位置关系位置关系点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外

利用距离判断利用方程判断

进阶进阶解：能力提升方法总结椭圆中的距离和差最值的方法：化折为直法

类型一

类型二

两定点在曲线异侧；方法：异侧求和最值，直接三点共线；同侧求差最值，等价转变为线段和，然后三点共线时取最值(法1)(法2)未知焦点位置:巧设方程巩固练习思考

椭圆方程的设法技巧：当椭圆的位置不确定时，可设方程为=1可以避免讨论和繁杂的计算．真题感知解

析解

析练习题型二、由椭圆方程求参数的取值范围

D

B

C

思考：你还有别的解法吗？

思考：你还有更简便的解法吗？

共焦点：

探究：

P1151能力提升方法总结1.如何识别已知代数形式方程求椭圆标准方程？2.代数形式方程求椭圆标准方程的一般步骤：双根号和，并且两个根号的几何意义都是两点之间的距离，即可利用该方程几何意义：动点（x,y）到两定点的和为定值，符合椭圆定义.

第一步

第二步

第三步

第四步

习题3.1（第115页）解：（定义法）P1156习题3.1（第115页）6.如图，圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

分析

例21.如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用相关点法？2.相关点法求轨迹方程的“三步曲”：双动点类的轨迹问题，可以考虑此法，比如例题2中的点P和点M均为动点，其中点M随着P点的运动而运动.

第①步

第②步

第③步

回顾

解

析例2①设点坐标②找关系相关点法③标准化P1159习题3.1（第115页）

应用新知

由

例2

我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？思

考变式解

析

分析例31.如何