3.1.1椭圆及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程第一课时

椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的焦点三角形学习目标1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导(难点).3.会求简单的椭圆的标准方程(重点).

α

用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆

如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?

导语教材104页

章引言17世纪，笛卡尔发明坐标系后，人们就开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线。本章我们继续用坐标法来研究圆锥曲线，回顾圆的研究思路，圆锥曲线的研究思路是什么呢？现实背景曲线的定义曲线的方程曲线的性质实际应用新知探究

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

新知探究思考1：如果把细绳的两端点拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2(定点)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（动点），画出的轨迹是什么曲线？新知探究思考2：移动的笔尖画图过程中不变的量是什么?思考3：两定点之间的距离|F1F2|和绳长的大小关系是什么?

绳长大于两定点之间的距离|F1F2|新知探究平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.

椭圆的定义:F1F2M••①在平面内----(这是前提条件)；②动点M到两个定点F1,F2的距离之和是常数；

③

椭圆的定义?动点M的轨迹是线段F1F2

；MF1F2动点M没有轨迹.F1F2知识梳理一、椭圆的定义典例分析例1(1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是A.椭圆 B.直线

C.圆

D.线段√(2)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是A.椭圆 B.直线

C.线段

D.不存在√跟踪训练1

下列说法中正确的是A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆√取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).建设设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),M与

F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c),则

F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)由椭圆的定义得，限制条件：因为

所以限代化12yOFFMx(x,y)如何建立椭圆的方程？F1F2M••.O新知探究方法一：12yOFFMx新知探究12yOFFMx①②或方法二：新知探究思考：观察右图，你能从中找出几何量可以反映

的值吗？

令

，则上式可化为：OxyF1F2Pabc

椭圆的标准方程新知探究问题

如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？新知探究

图形方程焦点F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之间的关系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定义12yOFFMx1OFyx2FM知识梳理注：x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上.二、椭圆的标准方程

典例分析教材107页例1定义法求标准方程、待定系数法求标准方程

典例分析例2

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程。定义法待定系数法典例分析(法1)未知焦点位置:巧设方程

(法2)典例分析反思与感悟(1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.(2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).跟踪训练例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；

跟踪训练

课堂小结1.一个定义——椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a：当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆;当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.2.两种方法——求椭圆方程的方法

对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法。

用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的。课后作业教材109页练习1-2步步高175页作业29

典例分析三、椭圆的焦点三角形面积

延伸探究

若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积.典例分析

椭圆焦点三角形的常用结论(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c.反思与感悟

典例分析√

随堂演练

√

√随堂演练3.若