2.5.2+圆与圆的位置关系+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系1.理解圆与圆的位置的种类；2.能根据给定圆的方程，判断两圆的位置关系；（重点）；3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题。（难点）复习回顾：圆与圆有几种不同的位置系？圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.外离外切相交内切内含圆与圆的位置关系(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.1.按位置分有5种：相离、外切、相交、内切、内含.2.按公共点个数分有3种：相离、相交、相切.外离外切相交内切内含1.代数法：利用圆的方程判断圆与圆位置关系：联立方程组有两组不同实数解两圆相交方程组有一组实数解两圆相切（包括外切与内切）方程组没有实数解两圆相离（包括外离与内含）思考1类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系?由两个圆的方程消去y或x，得关于x或y的一元二次方程.（1）Δ=0（2）Δ<0（3）Δ>0(1)圆和圆外离(2)圆和圆外切(3)圆和圆相交(4)圆和圆内切(5)圆和圆内含2.几何法：设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距d，则例5解法1:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①-②，得联立①③，消去y，可得方程④的根的判别式△>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2.

因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交.说明：本题只要判断两圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两根。例5解法2:把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得∴圆C1与圆C2相交.思考2

在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的∆＝0，它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢?

当∆<0时，两圆是什么位置关系?当∆＝0时,方程组只有一组解,此时两圆相切,但不能确定两圆是内切还是外切.要判断两圆是内切还是外切,则需看圆心位置,若较小圆的圆心在另一个圆内,则两圆内切；否则,两圆外切.或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小,若圆心距等于两圆半径和,则两圆外切,圆心距等于两圆半径差的绝对值,则两圆内切.当∆<0时,方程组没有解,此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.要判断两圆是外离还是内含,同样需看圆心位置,若较小圆的圆心在另一个圆内,则两圆内含;否则,两圆外离.或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小,若圆心距大于两圆半径和,则两圆外离,圆心距小于两圆半径差的绝对值,则两圆内含.

两种方法的优缺点几何方法直观，但不能求出交点；代数方法能求出交点，但Δ=0，Δ<0时，不能判断圆的确切的位置关系。探究：在上面例5中，我们已经知道圆与圆相交于A,B两点，

如何求公共弦的方程？..ABxy0例5解法1:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①-②，得联立①③，消去y，可得,

所以A(3,-1),B(-1,1)即x+2y-1=0你发现了什么？已知圆与圆相交于A,B两点，由以上探究你能得出求两圆公共弦方程的简便求法吗？你的结论是什么？可以证明你的结论吗？同理可得由③④可知一定在直线又因为通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，故公共弦的方程为那么证明：2.若两圆相切(内切或外切),则公切线所在直线方程为总结提升：一般地，已知两圆1.若两圆相交，

则公共弦所在直线方程为类比以上证明过程，你能证明以下结论吗？已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B两点，求公共弦AB的方程和公共弦AB的长.解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10.

即为公共弦AB所在的直线方程，由

【巩固训练1】解得或所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或A（4，-2），B（-2,6），故|AB|=圆C1的圆心C1(5，5)，半径r1=，则圆心C1到直线4x+3y=10的距离为：所以|AB|=解法二：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10.公共弦长的求法:1.代数法：

将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．2.几何法：

求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．例6已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.•P•MxyO•AB解:如图示，以线段AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(一2,0)，B(2,

0).

因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=，又r2-r1<|PO|<r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交.所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的一个圆.解:把圆C2方程化成标准方程，得∴圆C1与圆C2外切.解法1:把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得∴圆C1与圆C2相交.把圆C1与圆C2的方程相减，得∴圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为第二课时直线系方程和圆系方程l1Ml2（课本80页第16题）解：由3x+4y-2=02x+y+2=0得x=-2y=2l1Ml2λ=0时，方程为：3x+4y-2=0λ=1时，方程为：5x+5y=0λ=-1时，方程为：x+3y-4=0我们来取特殊值验证一下：（课本80页第16题）是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0共点直线系方程：的交点的直线系方程(不含第二条直线）.一般地，方程2.过两圆交点的圆系方程：圆系方程：说明：当λ＝－1时,方程表示两圆的公共弦所在直线方程,即

【教材9