3.2.1双曲线及其标准方程　课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程:想一想：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？复习回顾：

概念形成：双曲线概念|AB|=|PA|+|PB|探索新知概念形成：双曲线概念所以，其交点M的轨迹是椭圆;

我们知道，当点

P

在线段

AB

上运动时，如果

||PA|－|PB||≤|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.

探索新知如图，在|AB|＜|F1F2|≤|PA|＋|PB|的条件下,让点P在线段

AB

外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？概念形成：双曲线概念探索新知当点

M靠近定点

F1时，|MF2|－|MF1|＝|AB|当点

M靠近定点

F2

时，|MF1|－|MF2|＝|AB|总之，点M与两个定点

F1，F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|<|F1F2|).

这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.我们发现，在

|AB|＜|F1F2|≤|PA|＋|PB|的条件下，点

P

在线段

AB

外运动时，平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0),

常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.思考1

定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.概念形成：双曲线概念F1F2焦距焦点M①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线分3种情况来看：思考2定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？F1F2MF1F2M设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c),则有①

建系:如图示，建立平面直角坐标系.②设点：③列式：O•••M④化简整理得：探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程呢？cba探索新知

思

考类比焦点在y

轴上的椭圆标准方程，焦点在y

轴上的双曲线的标准方程是什么？F1F2MxOy

焦点位置焦点在

x轴上焦点在

y轴上图形

标准方程焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)a，b，c的关系c2＝_______探索新知

F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2概念：双曲线的标准方程

双曲线两种标准方程的特点①方程用“－”号连接；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2

；

④

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；

如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大思考5：你能比较椭圆和双曲线的异同吗？||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与

F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．典例一：求双曲线的标准方程练习课本P121

练习课本P1215．“mn<0”是“mx2＋ny2＝1为双曲线”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．典例二：求与双曲线有关的轨迹方程ABMOxy•探究如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且