3.3.1抛物线及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教版A选择性必修第一册

第三

章圆锥曲线的方程3.3

抛物线3.3.1抛物线及其标准方程选择性必修第一册

人教版A素养目标学科素养1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理

我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：

都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MlF0＜e

＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0<e<1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lFMe＞1·那么,当e=1时，它又是什么曲线

？FMl·e=1·复习回顾

如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线。H是l上任意一点，过点F作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

提出问题

MF当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1我们把这样的一条曲线叫做抛物线.问题探究M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?1.建:建立直角坐标系.3.限:根据几何条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：6.简:检验方程.解法一：以l为y轴，过F点垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点设动点，由抛物线定义得：化简得：.M(X,y).xyOFl二、标准方程的推导解法二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点F(0,0)，l的方程为设动点，由抛物线定义得化简得：二、标准方程的推导.M(X,y).xyOFll解法三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导依题意得这就是所求的轨迹方程.三、标准方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点坐标是准线方程为:想一想:

坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦点到准线的距离相同点：（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.不同点：（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;（2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.记忆方法：P永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向，且开口方向坐标轴的正（负）方向相同新知总结y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOyLxFOyLxFOyLxFOyLy2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四．四种抛物线的对比当a>0时与当a<0时，结论都为：

√×√××小试牛刀3.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是

,准线方程是所以所求抛物线的标准方程是(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且小试牛刀（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程.（3）因为准线方程是x=1，所以p=2，且焦点在x轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是y2=－4x.3.

（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程xyo(3,2)（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是y2=2px（p>0），或x2=2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为y2=x或x2=y4392（5）焦点到准线的距离是2。（5）y2=4x，y2=-4x，x2=4y

或

x2=-4y小试牛刀4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=

-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2小试牛刀题型一

求抛物线的标准方程

总结题型一

求抛物线的标准方程练习1题型一

求抛物线的标准方程练习2:已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.解:因为是焦点在x

轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为由抛物线的定义知-(-3)=5即p=4.所以所求抛物线标准方程为y2=-8xy2=-2px(p>0)

题型一

求抛物线的标准方程

思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M

的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是————————————x0+—2pOyx．FM．这就是抛物线的焦半径公式!题型一

求抛物线的标准方程

题型二与抛物线有关的轨迹问题例1：

总结题型一

求抛物线的标准方程练习1：题型一

求抛物线的标准方程

题型一

求抛物线的标准方程

题型三抛物线最值问题例1：

总结

题型三抛物线最值问题练习1

题型三抛物线最值问题

l

题型四抛物线的实际应用例2

题型四抛物线的实际应用

题型四抛物线的实际应用

总结

题型四抛物线的实际应用练习1：

题型四抛物线的实际应用

题型四抛物线的实际