3.2.1++双曲线及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三

章圆锥曲线的方程3.2

双曲线3.2.1双曲线及其标准方程选择性必修第一册

人教版A素养目标学科素养1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理1.椭圆的定义:平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程:问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？知识回顾新知探究如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状?在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内,取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.导入

新知探究平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0),

常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.思考1

定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？一、双曲线的定义如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)|MF2|-|MF1|=2a(0<2a

<|F1F2|)M在双曲线的右支上M在双曲线的左支上①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线分3种情况来看：思考2定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？F1F2MF1F2M

双曲线两条射线不存在AB的中垂线试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？(F1,F2是两定点,||MF1|-|MF2||=常数,

焦距为|F1F2|)思考：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何得出双曲线的方程？建立适当的坐标系设点：设M(x,y)找等量关系列方程化简检验解题步骤二、双曲线标准方程

取过焦点F1、F2的直线为x轴，取线段F1、F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系Oxy.3.找等量关系4.列方程(a2222ccx())yxy2=+--++

||PF1|-|PF2||=2a1.建系2.设点设P(x,y)点为曲线上任一点,|F1F2|=2c,则F1(c,0),F2(c,0).二、双曲线标准方程5.化简二、双曲线标准方程我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.思考类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？O•••M这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0,-c),F2(0,c)的双曲线，这里c2=a2+b2.焦点跟着正项走谁正谁对应a

椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?××××小试牛刀√小试牛刀答案：C.

答案：C.

小试牛刀

答案：D.

题型一

双曲线的定义

答案：C.

题型一

双曲线的定义C题型一

双曲线的定义练习2练习3题型一

双曲线的定义例1：

已知双曲线的焦点

F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.题型二

求双曲线的标准方程

练

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.题型二

求双曲线的标准方程

题型二

求双曲线的标准方程

题型二

求双曲线的标准方程

题型二

求双曲线的标准方程

题型二

求双曲线的标准方程

练习1：题型二

求双曲线的标准方程

题型二

求双曲线的标准方程例1：

题型三与双曲线有关的轨迹问题

l

题型三与双曲线有关的轨迹问题答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.l

直接法

题型三与双曲线有关的轨迹问题

l

直接法

题型三与双曲线有关的轨迹问题对比发现已知△ABC的两个顶点B(-a,0),C(a,0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则顶点A的轨迹与m有如下关系：设A(x,y),则化简整理得①当m=－1时,顶点A的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆,去掉(±a,0)；②

当－1<m<0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，去掉(±a,0)；③

当m<－1时,顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，去掉(±a,0).④当m>0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，去掉(±a,0).定义法

题型三与双曲线有关的轨迹问题

总结

题型三