3.3.1抛物线及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程第三章圆锥曲线的方程新课导入我生活中存在着各种形式的抛物线，你能举出与抛物线相关的例子吗？引

入

FlMMM

新知探究lF点

F是定点l是不经过点

F的定直线H是

l上任意一点过点

H作直线l的垂线n

作线段FH的垂直平分线m交n于点M拖动点H，观察点M的轨迹HmEMn

问题1一个动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比为常数1.即动点到定点与动点到定直线距离相等的动点M轨迹是什么？

|MH|=|MF|点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.1.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.M·Fl·准线dM到l的距离焦点追问1

抛物线上动点M满足的几何条件是什么？|MF|=d问题3

当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？过定点F且垂直于定直线l的一条直线.Fl新知探究

类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，使得出抛物线的方程更简洁？有下面三种方案，你觉得哪种方案最简洁？lFOyxlFOyxlFOyxPPPHHHKK（方案一）（方案二）（方案三）K

设|KF|=p(p>0)探究新知求轨迹方程的流程——建设限代化问题4

类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛物线的方程？根据抛物线的几何特征,如图,我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为

，准线l的方程为

.KFM••xyOHKFM••xyOH

设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={MǀǀMFǀ=d}.将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).①从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上,我们把方程①叫做抛物线的标准方程,它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是，准线是的抛物线.概念生成抛物线的标准方程（焦准距）lFyxO方程

y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上.焦点—F(

,0)，准线—l：x=p的几何意义：焦点F到准线l的距离y2=2px(p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.KFM•xyO问题5

抛物线只有这一种形式吗？KFM••xyOHKFM••xyOHKFM••xyOHKFM••xyOH在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。类似地，对于抛物线也选择不同的坐标系，那么抛物线的标准方程会有哪些不同的形式？四种不同的建立平面直角坐标系焦点在x轴正半轴上焦点在x轴负半轴上焦点在y轴正半轴上焦点在y轴负半轴上图像

标准方程焦点坐标准线方程请填写课本第131页的表格！图像

标准方程问题7如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.

②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.问题6抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?

左边都是平方项，

右边都是一次项.l

追问

抛物线的图像有什么特点？抛图像顶点为原点，对称轴为坐标轴，准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于原点对称.典例解析例1

(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.解:探究新知

l例题讲解探究新知

课堂小结1.抛物线的定义;2