1.1第1课时+集合的概念与几种常见的数集+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1第1课时集合的概念与几种常见的数集学习目标1.通过实例,了解集合的含义.2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的“属于”关系.4.记住常用数集及其记法.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

元素与集合的概念一般地,我们把

统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示元素.把一些元素组成的

叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.

研究对象

总体

名师点睛对集合的概念的理解(1)集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(2)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.(3)判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准.思考辨析1.“我国著名的高等院校”能构成一个集合吗?2.“我国的‘985’大学”能构成一个集合吗?提示

不能.因为“著名的高等院校”判断标准不明确.

提示

能.因为“985”大学是由确定的39所大学构成的.

自主诊断1.观察下列每组对象能否构成一个集合:(1)不超过36的非负数;(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;(3)某校2025年在校的所有成绩好的同学;(4)π的近似值的全体.解

(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合.(2)能构成集合.(3)“成绩好”无明确的标准,对于某个同学算不算成绩好无法客观地判断,因此不能构成一个集合.(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值,所以不能构成集合.2.“不大于5的自然数”能构成一个集合吗?若能,请写出这个集合中的元素.解

能.构成它的元素有0,1,2,3,4,5.

知识点2

集合中元素的特性1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.

不分先后2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.名师点睛对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合中元素的基本特性,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是集合中元素的另一基本特性,也是最容易被忽视的性质.例如:good中的字母组成的集合中的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为good中的字母组成的集合中的元素有3个,分别为g,o,d.思考辨析改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗?提示

是.自主诊断1.下列说法正确的是(

)A.与定点A,B等距离的点不能构成集合B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C.一个集合中有三个元素a,b,c,如果它们是△ABC的三边长,那么△ABC不可能是等腰三角形D.高中学生中的游泳能手能构成集合C2.(1)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有

个元素.(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.

2解

因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.知识点3

元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果

的元素,就说a属于集合A

a属于集合A不属于如果

中的元素,就说a不属于集合A

a不属于集合A名师点睛

区别与联系概念上的区别符号上的区别联系概念元素研究对象英文小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体英文大写字母A,B,C,…a是集合Aa∈A

a不是集合Aa∉A思考辨析1.如何准确理解符号“∈”和“∉”?提示

符号“∈”和“∉”用于表示元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.2.设集合A表示“1~10以内的所有素数”组成的集合,则3和4这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示?提示

3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4∉A.自主诊断(北师大版教材习题)用符号“∈”或“∉”填空:设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国

A,美国

A,印度

A,英国

A.

∈

∉∈

∉知识点4

常用数集及其记法数集名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法

或

NN*N+ZQR思考辨析1.非负整数集与正整数集有何区别?2.最小的自然数是什么?提示

非负整数集包括0,而正整数集不包括0.提示

最小的自然数是0.自主诊断(北师大版教材习题)用符号“∈”或“∉”填空:0

N,0

N*,

-1

N,-1

Z,

3.14

Q,π

Z,

π

Q,π

R,

∈

∉

∉

∈

∈

∉

∉

∈

∉

∉

∈

∈

重难探究·能力素养速提升探究点一集合的概念【例1】

(1)下列各组对象可以构成集合的是(

)A.某中学所有成绩优秀的学生B.边长为2的正方形C.比较大的数字D.著名的数学家B解析

成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性,故A,C,D错误;边长为2的正方形满足确定性,可以构成集合,故B正确.故选B.

AD解析

因为选项A,D中集合P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示的集合相同,而选项B,C中集合P,Q的元素不相同,所以P与Q表示的集合不相同.故选AD.(3)已知集合A包含3和-1两个元素,集合B包含m2-2m和-1两个元素,且A与B相等,则实数m=

.

3或-1解析

由题意,m2-2m=3,解得m=3或m=-1.规律方法

判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.变式训练1

下列各组对象能构成集合的是(

)A.长寿的人B.高一(2)班个子比较高的学生C.不大于4的自然数D.约等于3的实数C解析

对于A,长寿的人的标准不明确,不能构成集合;对于B,个子比较高的标准不明确,不能构成集合;对于C,不大于4的自然数有0,1,2,3,4,能构成集合;对于D,约等于3的实数的精度不明确,不能构成集合.故选C.探究点二元素与集合的关系

B

(2)关于x的不等式x-m<0的解集为M,若0∈M,则实数m满足(

)A.m<0 B.m>0C.m≠0 D.不确定B解析

x-m<0,即x<m,因为0∈M,所以m>0.故选B.规律方法

判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A中元素的特征;若元素a不属于集合A,则元素a就不具有集合A中元素的特征.

AC

(2)已知A是由0,m,m2-3m+2这三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为(

)A.2 B.3

C.0或3 D.0,2,3B解析

因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2.当m=2时,m2-3m+2=4-6+2=0,不合题意,舍去;当m2-3m+2=2时,解得m=0或m=3,但m=0不合题意,舍去.综上可知,m=3.故选B.探究点三集合中元素的特性及其应用【例3】

(1)已知集合A中只含1,a2两个元素,则实数a不能取(

)A.1 B.-1 C.-1和1 D.0C解析

由集合元素的互异性知,a2≠1,即a≠±1.故选C.(2)(多选题)已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素,该三角形可能是(

)A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.等腰三角形ABC解析

因为三角形的三边长为一个集合的3个元素,根据集合元素的互异性,三角形的三条边长互不相等,所以一定不可能是等腰三角形.故选ABC.规律方法由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

变式训练3

(1)(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(

)A.-1 B.2

C.3

D.6ACD

B

学以致用·随堂检测促达标1234561.下列说法中,正确的个数是(

)①

的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中,若a∈Z,则-a∈Z④一个集合中不可以有两个相同的元素A.1 B.2

C.3

D.4C解析

①

的近似值的全体没有确定性,不能构成集合,错误;②自然数集N中最小的元素是0,正确;③在整数集Z中,若a∈Z,则-a∈Z,整数的相反数还是整数,正确;④根据集合中元素的特性知正确,故选C.1234562.已知1,x,x2三个元素构成一个集合,则x满足的条件是(

)A.x≠0 B.x≠1C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1D1234563.若以正实数x,y,