3.1.1函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数的概念函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有

的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y=f(x),x∈A定义域x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

集合{f(x)|x∈A}与集合B的关系为“{f(x)|x∈A}⊆B”唯一确定

定义域

值域

名师点睛1.函数有三要素:定义域、值域、对应关系.2.因为函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以确定一个函数只需两个要素:定义域和对应关系.3.理解函数的概念应关注三点:(1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数;(2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式;(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.2.(苏教版教材习题改编)从甲地到乙地的火车票价为80元,儿童乘火车时,按照身高选择免票、半票或全票.选购票种的规则如下表所示:身高h/m购票款数/元h≤1.201.2<h≤1.540h>1.580若儿童身高h为输入值,相应的购票钱款为输出值,则1.0→

,1.3→

,1.6→

.

040803.(人教B版教材习题)以下是中国人民银行2015年10月24日公布的部分人民币定期存款基准年利率表,设银行定期存款的年利率为r,存期为t,判断r是否为t的函数.如果是,写出这个函数的定义域和值域;如果不是,说明理由.t0.5123r1.31.52.12.75解

由函数的概念可知r是关于t的函数.定义域为{0.5,1,2,3},值域为{1.3,1.5,2.1,2.75}.知识点2

区间的概念与表示1.设a,b∈R,且a<b,规定如下:符号数轴表示[a,b]

(a,b)

[a,b)

(a,b]

2.特殊区间的表示

区间数轴表示[a,+∞)

(a,+∞)

(-∞,b]

(-∞,b)

思考辨析区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?提示

不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示.自主诊断1.区间[1,2)表示的集合为

.

{x|1≤x<2}

2.把下列数集用区间表示:(1){x|x≥-1};(2){x|x<0};(3){x|-1<x<1};(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.解析

根据区间的定义,可表示为{x|1≤x<2}.

解

(1){x|x≥-1}=[-1,+∞).(2){x|x<0}=(-∞,0).(3){x|-1<x<1}=(-1,1).(4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4].知识点3

同一个函数如果两个函数的

相同,并且

完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.

名师点睛如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同,譬如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一个函数.思考辨析两个函数定义域不同,可能是同一函数吗?定义域

对应关系

提示

不可能.两个函数是同一函数必须两要素完全相同.

重难探究·能力素养速提升探究点一函数的定义角度1.函数关系的判断【例1—1】

(1)下列图象中,不能作为函数图象的是(

)C解析

根据函数的定义可知,C选项中存在一个x对应两个y值,不满足函数的定义,A,B,D选项中,对于定义域内每一个x值,都只有唯一的y值与之对应,满足函数的定义.故选C.(2)(多选题)托马斯说:“函数概念是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断:下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(

)A.y=2x

B.y=x+2C.y=x2

D.y=|x|CD解析

对于A,当x=-1时,y=-2,在集合N中没有对应值,不符合函数概念.对于B,当x=4时,y=6,在集合N中没有对应值,不符合函数概念.对于C,对于∀x∈M,按照对应关系y=x2,在集合N中有唯一确定的y和它对应,符合函数概念.对于D,对于∀x∈M,按照对应关系y=|x|,在集合N中有唯一确定的y和它对应,符合函数概念.故选CD.规律方法1.根据图象判断是否为函数关系的方法:(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内沿x轴平行移动直线l.(3)若直线l与图象始终有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.2.判断一个对应关系是否为函数的方法:变式训练1若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(

)B解析

选项A中的定义域不是[-2,2],选项C中图象不满足函数定义中的唯一性,选项D中的值域不是[0,2],故选B.

4

(2)已知函数f(x)=x+4,g(x)=-x2+2x,则f(g(1))=

.

5解析

∵g(x)=-x2+2x,∴g(1)=-1+2=1.∵f(x)=x+4,∴f(g(1))=f(1)=1+4=5.

-1

-3

变式训练3

已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则实数a的值等于(

)A.2 B.-2 C.±2 D.±4C解析

函数f(x)=2x-4,由f(2a2-1)=10,得2(2a2-1)-4=10,则a2=4,解得a=±2,所以实数a的值等于±2.故选C.探究点二区间【例2】

将下列集合用区间以及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x=0,或1≤x≤5};解

(1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①.(2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图②.(3){x|x=3,或4≤x≤8};(4){x|2≤x≤8,且x≠5};(5){x|3<x<5}.解

(3){x|x=3,或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4,8];用数轴表示如图③.(4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图④.(5){x|3<x<5}用区间表示为(3,5);用数轴表示如图⑤.规律方法用区间表示集合的注意点(1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.(2)若集合A用区间表示为[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为

.

解析

由区间的定义知,区间[a,b](或(a,b))成立的条件是a<b.则有2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).(-∞,3)探究点三函数的三要素

A解析

令t=3x-1,则t=3x-1∈(0,2),则0<2x<2,解得0<x<1,即定义域为(0,1).故选A.

A

规律方法

1.判断函数定义域的依据(1)分式中分母不能为零.(2)二次根式中的被开方数要大于或等于零.(3)零次幂的底数不等于0.(4)指定定义域,如“已知函数f(x)=2x