3.3幂函数导学案-2025-2026高一上学期数学必修第一册人教A版2019（原卷版及解析）

3.3幂函数导学案学习目标理解幂函数的概念 2.掌握幂函数的图象特征和性质二、学习重难点重点：幂函数的概念难点：幂函数的图象特征和性质知识点自主预习填空知识点一：幂函数的定义1.幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是.知识点二：幂函数的图象和性质2.幂函数，，，，的图象如图：3.幂函数，，，，的性质如下表：幂函数定义域RRR值域RR单调性增在上单调递增，在上单调递减增增奇偶性奇偶奇奇公共点都经过点典例详解3.3幂函数考点01：判断函数是否是幂函数1．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中不是幂函数的是（

）A． B． C． D．考点02：求幂函数的解析式俐2：1．幂函数的图像过点，则幂函数的解析式为2．已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则．考点03：根据函数是幂函数求参数俐3：1．已知函数是幂函数，则=2．已知是幂函数，且在上单调递增．(1)求的值；(2)若函数，证明：的值是定值．考点04：求幂函数的定义域俐4：1．已知幂函数，则此函数的定义域为．2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点05：求幂函数的值域俐5：1．（多选）下列函数中值域为的是（

）A． B． C． D．2．已知函数，且．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．考点06：幂函数图像的判断及应用俐6：1．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

2．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．考点07：判断幂函数的单调性俐7：1．(多选)下列函数是增函数的是（

）A． B． C． D．2．函数的单调减区间为；考点08：幂函数的奇偶性俐8：1．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知幂函数，其中，满足：①在区间上单调递增；②对任意的，都有.求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.考点09：由幂函数的单调性解不等式俐1：1．已知函数，则关于的表达式的解集为.2．设、、且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．练习提升1．幂函数的定义域是（）A． B． C． D．2．已知幂函数的图象经过点，，则（

）A． B．3 C．6 D．93．若，则（）A．， B．，C．， D．，4．下列函数中是幂函数的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．只有⑤5．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（

）

A． B．C． D．6．幂函数在上递减，则实数（

）A． B． C．2 D．2或7．已知幂函数的定义域为，则（

）A． B．1 C．4 D．88．已知函数，正数满足，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．169．（多选）设，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（多选）下列说法正确的是（

）A．函数是奇函数且在单调递增B．函数的定义域为C．若且，则D．若，则11．（多选）已知函数是幂函数，则（

）A．B．C．D．是奇函数12．已知幂函数过点，则为.13．已知幂函数在上是减函数，则．14．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是．15．已知幂函数的图象过点.(1)求函数的解析式；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.16．已知幂函数为偶函数.(1)求的值；(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围.

3.3幂函数导学案学习目标理解幂函数的概念2.掌握幂函数的图象特征和性质二、学习重难点重点：幂函数的概念难点：幂函数的图象特征和性质知识点自主预习填空知识点一：幂函数的定义1.幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是.知识点二：幂函数的图象和性质2.幂函数，，，，的图象如图：3.幂函数，，，，的性质如下表：幂函数定义域RRR值域RR单调性增在上单调递增，在上单调递减增增奇偶性奇偶奇奇公共点都经过点典例详解3.3幂函数考点01：判断函数是否是幂函数1．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义判断即可.【详解】一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数，故，为幂函数，，均不为幂函数.故选：B2．下列函数中不是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，是幂函数，故D项正确.故选：C.考点02：求幂函数的解析式俐2：1．幂函数的图像过点，则幂函数的解析式为【答案】【分析】设，代入已知条件求解．【详解】设，由已知，，所以．故答案为：．2．已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则．【答案】-2【分析】根据幂函数的性质，即可判断选项.【详解】因为函数在上单调递减，所以，当时，是偶函数，成立当时，是奇函数，不成立，当时，的定义域是，不是偶函数，故不成立，综上，.故答案为：考点03：根据函数是幂函数求参数俐3：1．已知函数是幂函数，则=【答案】或.【分析】根据幂函数的定义列方程组，解出，即可求出的值．【详解】因为是幂函数，所以，解得或，若，则，若，则，故答案为：或.2．已知是幂函数，且在上单调递增．(1)求的值；(2)若函数，证明：的值是定值．【详解】（1）因为是幂函数，∴，解得或；又在上单调递增，∴，∴的值为；（2）证明：由（1）可得，所以，定义域为，则，，所以，，所以的值是定值.考点04：求幂函数的定义域俐4：1．已知幂函数，则此函数的定义域为．【答案】.【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.【详解】由幂函数，可得，解得，即，则满足，即幂函数的定义域为.故答案为：.2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案.【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B考点05：求幂函数的值域俐5：1．（多选）下列函数中值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】观察可得函数、、的值域，配方法求函数的值域即可.【详解】函数的值域为，A正确；函数的值域为，B正确；函数的值域为，C错误；函数的值域为R，D错误.故选：AB.2．已知函数，且．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式.（2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域.【详解】（1）因为，所以，整理得，即或（舍去），则，故．（2）由（1）可知，．因为，所以，，所以．故在上的值域为．考点06：幂函数图像的判断及应用俐6：1．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.【详解】设幂函数为，则，，得，得，所以，定义域为，所以排除AD，因为，所以函数为偶函数，所以排除B，故选：C2．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【分析】根据，即可知恒过定点.【详解】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.考点07：判断幂函数的单调性俐7：1．(多选)下列函数是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可.【详解】对于A，函数的定义域为，函数在上单调递增，A正确；对于B，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，B错误；对于C，函数的定义域为，函数在上单调递增，C正确；对于D，函数的定义域为，函数在上单调递增，在上单调递增，但，D错误；故选：AC.2．函数的单调减区间为；【答案】【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.令，得或.易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，所以的单调递减区间为.故答案为：.考点08：幂函数的奇偶性俐8：1．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；对于B，，的定义域为，为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；对于C，，的定义域为，又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；对于D，，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.故选：D.2．已知幂函数，其中，满足：①在区间上单调递增；②对任意的，都有.求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.【答案】，值域为【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域.【详解】因幂函数在区间为增函数，则，即，解得：，又因，所以或，当时，为偶函数，不满足；当时，为奇函数，满足；故，当时，，即函数的值域.考点09：由幂函数的单调性解不等式俐1：1．已知函数，则关于的表达式的解集为.【答案】【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.2．设、、且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用幂函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，且，则，A对；对于B选项，取，，则，但，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.练习提升1．幂函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果.【详解】，，即的定义域为.故选：B.2．已知幂函数的图象经过点，，则（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解.【详解】设幂函数，则，解得.故，解得.故选：3．若，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据幂函数、的单调性直接判断即可.【详解】在上单调递增，当时，；在上单调递增，当时，；综上所述：，.故选：D.4．下列函数中是幂函数的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．只有⑤【答案】C【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断.【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数；是指数函数，故②不是幂函数；的底数是而不是，故④不是幂函数；是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数；而和具有幂函数的形式，故③⑤是幂函数.故选：C.5．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据①对应的函数图象特点分析.【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD；又的定义域为R，的定义域为，故符合题意.故选：C.6．幂函数在上递减，则实数（

）A． B． C．2 D．2或【答案】C【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解.【详解】因为为幂函数，则，即，解得或，当时，在上递减，所以满足题意，当时，在上递增，所以不满足题意，综上，实数，故选：C.7．已知幂函数的定义域为，则（

）A． B．1 C．4 D．8【答案】C【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案.【详解】由幂函数的概念可得，解得或.当时，，定义域为，不符合题意，舍去；当时，，定义域为，符合题意，所以，所以.故选：C8．已知函数，正数满足，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】根据奇偶性和单调性得出，再结合基本不等式求最小值.【详解】因为，为奇函数，所以，因为在上单调递增，所以，即，因为均为正数，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：A9．（多选）设，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由幂函数的单调性，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，因为，则，又因为，所以，故A正确；对于B，因为函数在单调递增，所以，故B错误；对于C，因为函数在单调递增，所以，故C错误；对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确；故选：AD10．（多选）下列说法正确的是（

）A．函数是奇函数且在单调递增B．函数的定义域为C．若且，则D．若，则【答案】ABD【分析】由函数的图象即可判断A；求出函数的定义域，即可判断B；通过比差法比较与0的关系，即可判断C；设，利用换元法求出函数的解析式，即可判断D.【详解】对于A，如下图所示，由函数的图象可知，

函数的图象关于原点对称，且在上单调递增，所以函数是奇函数且在单调递增，故A正确；对于B，要使函数有意义，须满足，即，解得，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，因为，且，，所以，，所以，即，故C错误；对于D，设，则，所以，即，故D正确.故选：ABD11．（多选）已知函数是幂函数，则（

）A． B．C． D．是奇函数【答案】ABD【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项.【详解】函数是幂函数，则有，所以，解得或，B选项正确，C选项错误；或，则有是奇函数，，AD选项正确.故选：ABD.12．已知幂函数过点，则为.【