4.3.1-4.3.2：对数概念、运算 原卷版及解析

.3.1&4.3.2：对数概念、运算【考点归纳】【知识梳理】知识点一对数的有关概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN， logeN简记为lnN.知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．知识点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．知识点四对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点五换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知识点六：对数式化简或求值的常用方法和技巧（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是：（1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；（2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）．（2）对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题．（3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．（4）当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．【题型归纳】题型一、指数式与对数式的互化【例1】．（24-25高一上·课堂例题）将下列指数式与对数式互化：(1)； (2)； (3)； (4).【变式1】．（23-24高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换：(1)；(2)；(3)； (4).【变式2】．（25-26高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换(1)； (2)； (3)； (4).(5)； (6)； (7)； (8)题型二、对数的运算【例2】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)化简：．【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）求值：(1)；(2)；(3)．【变式2】．（2025高二·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)已知，试用表示．题型三、对数运算性质的应用【例3】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，，若，，则（

）A． B． C． D．【变式1】．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（

）（注：，）A．30 B．31 C．32 D．33【变式2】．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（

）天后进步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270题型四、对数换底公式的应用【例4】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，，若，且，则．【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）若，求的值．（2）设都是正数，且，证明：．【变式2】．（24-25高一上·全国）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).题型五：运用换底公式证明恒等式【例5】．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知.(1)求的值；(2)设，求证：.【变式1】．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1，(1)求证：；(2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明．【变式2】．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：；（2）利用（1）中的换底公式求值：；（3）利用（1）中的换底公式证明：．题型六、对数的综合应用【例6】．（25-26高一上·全国）（1）；（2）；（3）已知，求的值．【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【变式2】．（24-25高一上·天津·阶段练习）回答下面3个题：(1)(2)若，，求的值；(3)记，，用表示对数.【高分达标】一、单选题1．（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．252．（25-26高一上·北京·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（

）A． B．10 C．11 D．125．（24-25高一上·江苏南通·期末）任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（

）A．611 B．610 C．609 D．6086．（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（

）A． B．C． D．7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A．1 B．4 C．1或4 D．28．（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（

）A． B．C．或 D．或9．（24-25高一下·四川·期末）设，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．10．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（

）A． B． C． D．11（24-25高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（

）A． B．3 C． D．30二、多选题12．（25-26高三上·广西·开学考试）下列运算正确的有（

）A． B．C． D．13．（25-26高一上·全国·课后作业）以下运算中正确的是（）A．若，则B．C．D．14．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（

）A． B．C． D．15．（25-26高一上·全国·单元测试）设a，b为实数，若，，则（

）A． B．C． D．16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，则（

）A． B．C． D．17．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题18．（25-26高一上·上海·期中）若(且)，则等于19．（2025高三·北京·专题练习）.20．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为；21．（25-26高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为．四、解答题22．（25-26高一上·上海·期中）已知，．(1)当，求的值；(2)当时，用，表示．23．（25-26高一上·全国·单元测试）求解下列问题：(1)在①，②中任选一个求值；(2)已知，，试用a，b表示．24．（25-26高一上·全国·单元测试）计算：(1)；(2)．25．（25-26高一上·全国·单元测试）对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．(1)试利用对数运算性质计算的值；(2)已知为正数，若，求的值；(3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断的位数．（注：）26．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值：(1)(2)设，，用a，b表示；(3)已知，试求的值.27．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值：(1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）；(2)；(3)已知，，试用，表示．28．（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．

4.3.1&4.3.2：对数概念、运算【考点归纳】【知识梳理】知识点一对数的有关概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN， logeN简记为lnN.知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．知识点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．知识点四对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点五换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知识点六：对数式化简或求值的常用方法和技巧（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是：（1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；（2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）．（2）对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题．（3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．（4）当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．【题型归纳】题型一、指数式与对数式的互化【例1】．（24-25高一上·课堂例题）将下列指数式与对数式互化：(1)； (2)； (3)； (4).【答案】(1)； (2)； (3)； (4).【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，对于，可化为.（2）对于，可化为.（3）对于，可化为.（4）对于，可化为.【变式1】．（23-24高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换：(1)；(2)；(3)； (4).【答案】(1) (2) (3) (4)【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.（2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.（3）根据指数式和对数式的关系，可化为（4）根据指数式和对数式的关系，可化为【变式2】．（25-26高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换(1)； (2)； (3)； (4).(5)； (6)； (7)； (8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可.【详解】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.（5）由得.（6）由得.（7）由得.（8）由得.题型二、对数的运算【例2】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)化简：．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）.【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）求值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)2(3)2【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可；（2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解；（3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解.【详解】（1）原式．（2）方法一：原式．方法二：原式．（3）原式．【变式2】．（2025高二·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)已知，试用表示．【答案】(1) (2) (3)【详解】（1）.（2）.（3）由，得，由，得，所以．题型三、对数运算性质的应用【例3】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可.【详解】由，得，即，所以，所以.故选：A.【变式1】．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（

）（注：，）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案.【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意：，.于是，所以.故选：C.【变式2】．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（

）天后进步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270【答案】A【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，，即，所以有（天）.故选：A.题型四、对数换底公式的应用【例4】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，，若，且，则．【答案】8【分析】根据指数对数转化、换底公式计算得出，计算即可.【详解】因为，所以，则，又，所以，则①，则有2，即②，联立①②解得，故.故答案为：8.【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）若，求的值．（2）设都是正数，且，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据对数的运算性质可得，再代入计算即可.（2）令，再用对数表示，再由对数运算性质即可证明.【详解】（1）由，得，所以．（2）证明：令，得，则，则，根据可知，．【变式2】．（24-25高一上·全国）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)2 (2) (3)【详解】（1）原式.（2）原式.（3）分子；分母，故原式.题型五：运用换底公式证明恒等式【例5】．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知.(1)求的值；(2)设，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将两边取对数化简即可得解；（2）由(1)解得，代入计算即可得解.【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以.（2）由，得，.所以，，则，故.【变式1】．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1，(1)求证：；(2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)推广：，证明见解析．【分析】（1）利用换底公式通过计算证明；（2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明．【详解】（1），得证；（2）推广：证明：．【变式2】．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：；（2）利用（1）中的换底公式求值：；（3）利用（1）中的换底公式证明：．【详解】解答：（1）证明：设，则，化为，又，所以；（2）解：；（3）证明：．所以．题型六、对数的综合应用【例6】．（25-26高一上·全国）（1）；（2）；（3）已知，求的值．【答案】（1）3；（2）16；（3）【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解.（2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解.（3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解.【详解】（1）原式．（2）由于，，，因此原式．（3）由条件．由，得，所以，化简得所以，得或（舍去），从而可得．【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1) (2)1 (3)52【详解】（1）原式.（2）原式.（3）法一：原式.法二：原式.【变式2】．（24-25高一上·天津·阶段练习）回答下面3个题：(1)(2)若，，求的值；(3)记，，用表示对数.【答案】(1)(2)1(3)【详解】（1）原式；（2），又，所以；（3），所以.【高分达标】一、单选题1．（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．25【答案】A【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解.【详解】.故选：A2．（25-26高一上·北京·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解.【详解】由题知，则，又，所以，所以，故选：D.3．（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果.【详解】由题知，，则，可得或，所以或，若，又，则，所以，则或（舍去），，；若，又，则，所以，则或（舍去），所以，综上，.故选：B4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（

）A． B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.5．（24-25高一上·江苏南通·期末）任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（

）A．611 B．610 C．609 D．608【答案】B【分析】计算的值，由此确定的位数.【详解】，是610位数.故选：B.6．（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数式与指数式的等价转化，利用指数幂的运算公式，结合特殊值法举反例，可得答案.【详解】对于A，设，则，由，则，即，故A正确；对于B，设，则，可得，故B正确；对于C，设，则，即，可得，故C正确；对于D，设，则，显然不成立，故D错误；故选：D.7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案.【详解】由已知得，整理得，得或．，即，则,故选：B8．（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可.【详解】原方程两边同时乘以，可变形为，∵甲写错了b，得到两根为及，∴，又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴，∴原方程为，即，∴或，∴或8.故选：C.【点睛】对数方程的常见题型的求解思路类型题型解法基本型将对数式转化为指数式，解出．将对数式转化为指数式，解出，注意检验且）．同底数型转化为求解（注意检验，且）．需代换型换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验．9．（24-25高一下·四川·期末）设，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解.【详解】依题意，，所以.故选：D10．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案.【详解】，则，所以，故选：C．11（24-25高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（

）A． B．3 C． D．30【答案】B【分析】由条件结合换底公式可求的值，相加可得结论.【详解】由，可得，同理，可得，，，所以.故选：B.二、多选题12．（25-26高三上·广西·开学考试）下列运算正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据对数的运算依次判断选项即可.【详解】A选项，，故A错误；B选项，，故B正确；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确.故选：BCD.13．（25-26高一上·全国·课后作业）以下运算中正确的是（）A．若，则B．C．D．【答案】ACD【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断.【详解】对于A：由，得，故A正确；对于B：原式，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确．故选：ACD.14．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据指对互化规则，对数的运算法则以及换底公式来逐一分析选项.【详解】对于A选项,已知，，根据对数与指数的关系，可得，.则，所以A选项错误.对于B选项，.根据对数与指数的关系，，所以B选项正确.对于C选项，，所以C选项正确.对于D选项，，所以D选项正确.故选：BCD.15．（25-26高一上·全国·单元测试）设a，b为实数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题可得，，利用对数的运算法则依次判断选项即可.【详解】因为，，所以，．对于A，．则A正确，对于B，，则B不正确，对于C，，则C不正确，对于D，，则D正确.（另解

利用换底公式的一个推论：，得）．故选：AD16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式判断A、B，利用对数恒等式化简即可判断C；利用基本不等式结合对数的运算法则计算即可判断D.【详解】因为，所以，即．对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故B正确；对于C，，若，又，则，又，故，矛盾，所以，所以，即，故C错误；对于D，由，得，又由，得，，所以，∴所以，则，当且仅当，故时，等号成立．故D正确.故选：ABD.17．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可.【详解】令，可得，，，，故A正确；，故B正确；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正确；，故D正确；故选：ABD三、填空题18．（25-26高一上·上海·期中）若(且)，则等于【答案】/0.2【分析】将题中所给的指数式换成对数式，根据对数运算法则可得.【详解】由得所以，所以，所以loga.故答案为：.19．（2025高三·北京·专题练习）.【答案】【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值.【详解】原式故答案为：20．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为；【答案】或【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可.【详解】由，当时，显然符合，此时，当时，，由，代入中，得，故答案为：或21．（25-26高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为．【答案】5【分析】根据对数的运算性质可求，，从而可求的值.【详解】，而，故，即，解得.故答案为