计量经济学课件第二章简单线性回归模型

第二章简单线性回归模型

城哪年:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？

未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的

远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人

次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿

美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元,

相当于国内生产总值的8%至11%。

（来源：《2008年中国旅行社发展研究咨询报告》）

（参考现状:第一产业占GDP的15%,建筑业占GDP的7%）

・什么决定性因素能使中国旅游'也总收入超过3000亿美元？

•旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？

・怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系？

2

者3%需要研究经济变量之间数量关余的方法

显然，对旅游起决定性影响作用的是“中国居民的收

入水平”以及“入境旅游人数”等因素。

“旅游业总收入”（Y）与“居民平均收入"（X1）或

者“入境旅游人数”（X2）有怎样的数量关系呢？

能否用某种线性或非线性关系式Y=f（X）去表现这

和嗷量关系蟠怎样去表现和计量呢?：

为了不使问题复杂化，我们先在某些标准的（古典的）

假定条件耋用最简单的模型，对最简单的变量间瘪

量关系加以讨论

尸”第一节回归分析与回归函教

一、相关分析与回归分析

-（对统计学的回顾）;

1、经济变量之间的相互关系

性质上可能有三种情况：；

—确定性的函数关（x）^^T用数学方法计算

一统计关系T睽关系

Y=f（X）+E（£为随机变量）可用统计方法分析

♦没有关系不用分析

尸”2、相关关系

♦相关关系的描述

最直观的描述方式一一坐标图（散布图、散点图））

函数关系相关关系（线性）

相关关系（非线性）没有关系

尸％相关关东的类型

•从涉及的变量数量看

简单相关

多重相关（复相关）三

•从变量相关关系的表现形式看

线性相关一一散布图接近一条直线

非线性相关——散布图接近一条曲线

•从变量相关关系变化的方向看

正相关一一变量同方向变化，同增同减

负相关—变量反方向变化，一增一减

从变量相关的程度看

完全相关、不相关、不完全相关

6

6

尸%3、相关程度的度量一相关宗数

如果x和y总体的全部数据都已知,x和y的方差和

协方差也已知，则

Cov(x,丫)

X和Y的总体线性相关系数：p=---------^Var(X)Var(Y)

其中：Var^X)——X的方差%"(丫)——Y的方差

Cov(X,Y)--一X和Y的协方差

特点：

•总体相关系数只反映总体两个变量x和y的线性相关程度

•对于特定的总体来说,x和丫的数值是既定的，总体相关系

数p是客观存在的特定数值。

•总体的两个变量x和丫的全部数值通常不可能直接观测，所

以总体相关系数一般是未知的。

7

尸”X和Y的样本线性相关系数:

如果只知道X和Y的样本观测值，则X和Y的样本线性

(Xi-X)(Yi-Y)________

相关系数为：厂二r

XYy

膜而孑，色匕分别是变量X和Y的样本观测值，

灭和y分别是变量x和丫样本值的平均值

注意：rxY是随抽样而变动的随机变量。

相关系数较为简单，也可以在一定程度上测定变量

间的数量关系，但是对于具体研究变量间的数量规律

性还有局限性。8

尸”对相关系数的三里理解和使用

•X和Y都是相互对称的随机变量，rxY=rYX

一・线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不

能说明非线性相关关系z

—E祥奉相关系数是总［体相关系数的样本估二用

封由样波动，样本相关系数是随抽样而变动的随机变量，

其统计显著性还有待检验

9

尸%4、回归分析

回归的古典意义:

高尔顿遗传学的回归概念

（父母身高与子女身高的关系）

子女的身高有向人的平均身高"回归”的趋势

回归的现代意义：

一个被解释变量对若干个

解释变量依存关系的研究

回归的目的（实质）：

由解释变量去估计被解释变

量的平均值

10

尸%明确几个概念（为深刻理解“回

川IJ---------------------

•被解释变量Y的条件分布和条件概率：

当解释变量X取某固定值时（条件），Y的值不确定，Y

的不同取值会形成一定的分布，这是Y的条件分布。X

取某固定值时，Y取不同值的概率称为条件概率。

Y•被解释变量Y的条件期望：

对于X的每一个取值，」

E（Y]Xi）

对Y所形成的分布确

定其期望或均值，称

为Y的条件期望或条件均

值，用后座木”表示。注意:Y的条件期望是随X的变动而变动的

11

4^%

・回归线：对于每一个X的取值X-都有Y的条件期望

喜乃,”与之对应，代表Y的条件期望的点的轨迹形成

的直线或曲线称为回归线。

・回归函数：被解释变量YY

的条件期望E(Y^i)

解释变量X的变化而有规彳

的变化，及果把Y的条

望表现为X的某种函数二

E(Y^)=f(Xi),

XX

这个函数称为回归函数。

回归函数分为：总体回归身教和样本回归函数

12

4^%总体回归函数CPRFJ

举例：假如已知由100个家庭构成的总体的数据（单位:元）

—

20002>00300(35004(IM)45(H)

nuuuo，uu60006500

1312153。1631184320372277246929243521

1619172619742210ZJOOZ7QoQoQvJmJJaOJ!Lk

1400171317862006232525263090365038654108

4Z1-ft154817S018352265241026813156380240264345

..16881814188?2367252228873300408741654812

i_1一___..

113G26653050a"。

家18002041203725157/7/QyQy

inn，20782689441

、'/平—?—?no-71792713一一'I*44407'4・

\II

Y-c”———，、，、，、f八f，、Jf一/I■U八M▲a,g1

33JIV/

士

I11"AU，工u

HI1QA.

V

1591191520922586275430394036

产%消费支出的条件期望与收入关米的图形

对于本例的总体，家庭消费支出的条件期望E<YXi>|

与家庭收入X,基本是线性关系，可以把家庭消费支

出的条件均值表示为家庭收入的线性函数：

£(*)=a+px.

14

尸%1.总体回归函数的概念

前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量Y

和解释变量X的每个观测值（通常这是不可能的！），那

以计算出总体被解释变量Y的条件期望

并将其表现为解释变量X的某种函数

£（忤=/（£）

这个函数称为总体回归函数（PRF）

本质：总体回归函数实际上表现的是特定总体中被解释变

量随解释变量的变动而变动的某种规律性。

计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律，也

就要努力去寻求总体回归函数。

15

尸%2.总体回归函数的表现形式

•条件期望表现形式YPRF

例如Y的条件期望E(YX^)是解

T变量x的线性函数，可表示为

E(Yi]Xi)=f(Xt)=仇+伏矛,匕

XX•个别值表现形式(随机设定形式)

对于一定的X,,Y的各个别值匕并不一定等于条件期望，而

是分布在E(Y^t)的周围，若令各个匕与条件期望E(YXi)|的

偏差为Ui,显然〃1•是个随机变量

则有毋=匕一£(KXp=匕一伙一「2X7

匕二m+。2矛/+Ui

16

者2%3.如何理解总体回归的教

・作为总体运行的客观规律，总体回归函数是客观存在

的，但在实际的经济研究中总体回归函数通常是未知的,

只能根据经济理论和实践经验去设定。

计量经济学研究中“计量”的根本目的就是要寻求总体

回归函数。

・我们所设定的计量模型实际就是在设定总体回归函

数的具体形式。

・总体回归函数中Y与X的关系可以是线性的，也可

以是非线性的。

17

产为“线性”的判断

计量经济学中，线性回归模型的“线性线性.两木桶帮种解释

♦就言耍番筋皆的

——Y的条件期望（均值）是X的线性函数

♦就餐融毓第

——依糜希露尊目匀值）是参数§的线性函数

例如：E（匕彳,）二仇+。2工，对变量、参数均为“线性”

E街卜。=0+对参婚线性箪剂变量军韭线性”

后（匕由）=01+0/7对变量“线性”，对参数“非线性”

注意：在计量经济学中，线性回归模型主要指就参数而言是“线

性”的,因为只要对参数而言是线性的，都可以用类似的方法去估

18

计其参数，都可以归于线性回归。

4^%■—>陵机扰动项

♦概念Y

在总体回归函数中，各个

E(YX>|

匕的隼与其条件期望

Ui

..E(YiXi)的偏差

要的意义。节只有X的影响,

匕与E(Y"Xi)不应有偏差。若偏

XX差〃，存在，说明还有其他景

响因素。

/嗤麻西，■犍懒病懈畲腐娜机密睡响。

重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结

果的性质和计量经济方法的选择

产“引入随机扰动项〃，的原因

•是未知影响因素的代表（理论的模糊性）

•是无法取得数据的已知影响因素的代表（数据欠缺）;

•是众多细小影响因素的综合代表（非系统性影响）；

至1年可能存在设定误差（变量、函数形式的设定）善

•模型中变量可能存在观测误差（变量数据不符合实际）

•变量可能有内在随机性（人类经济行为的内在随机性）

20

/飞四、样本回归函数CSRFJ

样本回归线:

对于X的一定值，取得Y的样本观测值，可计算其条件均值,

样本观测值条件均值的轨迹，称为样本回归线。

21

产%样本回归函数的函教形式

条件均值形式：

样本回归函数如果为线性函数，可表示为

八?\八

Yi=pl+^)2Xi

Y

其中：i是与Xi相对应的Y的样本条件均值

人

个另iftR实励嶙的姆归函数的参数

被解释变量Y的实际观测值Yi不完全等于样本条件均值Yi,

二者之差用e1表示，ei称为则余项或残差项：

则ev~V或匕=Bi+B2X,+e

CiIiIi

22

尸3%样本回归的教的特点

尸3%样本回归的教与总体回归函数的关系

Xi

24

尸3%对样本回归的理解

对比：总体回归函数样本回归函教

E（匕”12Xi

匕=P1+P1Xi

Yi•11X•iUi

__Y_i____・iiXi・ei

如果雄蟹w某w建搬漏由归程数参知数料口显然的估计

亡E（匕"，）的估计

X暮阻陨ib&fctl归函数中的

Ui,可视

为对Ui的估计。

25

尸%回归分析的目的

H的：

计量经济分析的目标是寻求总体回归函数。即用样本

回归函数SRF去估计总体回归函数PRFo

由于样本对总体总是存在代表性误差，SRF总会

过高或过低估计PRF。

要解决的问题:

Pi

寻求一种规则和方法，使其得到的SRF的参数

的真实值。这样的“规则和方法”有多种，如矩估计、

#邪遮知戳K炖卜赫|触怖姗寺樱拜的粕雌

二乘法。

26

尸%第二节简单线性回归模型的最小二乘估计

用样本去估计总体回归函数，总要使用特定的方法，而任何估

方法都需要有一定的前提条件喜假定条件三

一、简单线性回归的基本假定

叠j什么要作基本假定？

・只有具备一定的假定条件，所作出的估计才具有良好的统

计性质。

上模型中有随机扰动项，估计的参数是随机变量，显然参数］

估计值的分布与扰动项的分布有关，只有对随机扰动的分

出假定，才能比较方便地确定所估计参婪的分布性质F

能进行假设检验和区间估计等霹SKu皂

假定分为：对模型和变量的假定对随机扰动项的假定

♦♦27

/”1.对模型和变量的假定

1

例如对于匕=P+优工/+Ui

・假定模型设定是正确的（变量和模型无设定误差）二

三•假定解释变量X在重复抽样中取固定值室

・假定解释变量X是非随机的，或者虽然X是随机的，

与扰动项u是不相关的^^变量X角度看是外生的）

^解释变量非随机在自然科学的实验研究中相

容易满足，经济领域中变量的观测是被动不可控的，

X非随机的假定并不一定都满足。

28

4^%2.对随机扰动项u的假定

(j22

Var(w#i)-E[\Ui—E(UiXij|/二

29

假定3:无自相关假定：

随机扰动项■的逐次值互不相关

Cov(ui,uj)=E[w-E(ui)][uj-E(uj)]

—E(umj)—0(i手j)

假定4:解释变量X,•是非随机的，或者虽然羞是随

机的但与扰动项Ui不相关(从随机扰动Ui角度看)

Cov(ui,Xt)=E[ui-E(Ui)][Xi-E(Xi)]=0

30

4^%

假定5:对随机扰动项分布的正态性假定，

即假定Ui服从均值为零、方差为02的正态分布

Ui〜N(5)2

(说明：正态性假定并不影响对参数的点估计，所以有时不列

入基本假定，但这对确定所估计参数的分布性质是需要的。且

根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，Ui的分布会趋

近于正态分布。所以正态性假定有合理性)

31

4^%在对〃，的基本假定下Y的分布性质

由于匕=|31+B1Xz+Ui

其中的仪，。2和X,是非随机的，〃，是随机变量，因此

Y是随机变量，〃，的分布性质决定了匕的分布性质。

对u的一些假定可以等价地表示为对Y的假定：

a

£(HX/)=pi+p2X,

假定1：零均值假定|

二假定3：无自相关假定Cov百，Y"=°二

假定5：正态性假定Y「N(B/+(32XI,0,

32

产”二、普通最小二乘法(OLS)

1.OLS的基本思想

・对于M12Xi,不同的估梏睇|f以得到不同的样本回归

・理想的生计结果应使估计的Y与真实的Y1的差(即剩余e1)总的来

i

说越小越好

•因q.可正可负，总有a0,所以可以取才最小，即

VI1

2「PX)2

i

-minZe=minZ(匕一伙之

在观测值Y和斓申叫Ze2的大小决定于

要解决的问题：：如何寻求能使日最小的和2o

2.正规方程和估计量

取偏导数并令其为o,可得正规方程

2

(~2右2)历；2Xi)0即eX0

■~2(E；"2Xi)Xi0

或整理得匕=〃伙+B2ZxW

八八

用克莱姆法则竭得以双测彘观的他帽评量:

YIXiYiXiYi、X，2E匕一Ex/Ex,■匕E

2n12(Xi)2伊二察(ZK)2

34

尸%用离差表现的OLS估计量

为表达得更简洁，或者用离差形式的0LS估计量：

容易证明

Zxz—ZxiEK-E{Xi

—x）（匕—y）Zx»

a===

由正规方程P—20二丫二

Xi=x7-X

12y=Y注意：其中:

隼巴分电）Xi和工均表示观测值;

小写的Xi和yi均表示观测值的离差

yx.

八八八、、

而且由、(X-X)--

Yi=p7+p2XiY12X

样本回归函数可用离差形式写为

yi2Xi

尸%3.OLS回归线的数学性质

•剩余项占的均值为零-Z」=0

e-n

・OLS回归线通过样本均值

（由OLS第一个正规方程直接得到）

Yi的均值等于实际观测♦估计值

值Yi的均值y=p/+p2^

£(T-p-pX)=0两边同除n得至IJ)XX

（由OLS正规方程,/2

Yil

厚玄(B+PX)邛+pX=Y

12H2

rm36

Ci不相关

・被解释变量估计值Yi与剩余项

Cov(匕，6)=0

由OLS正规方程有：e00毛0

,e)1一(YYj(ee)-0因为

Cov(匕沛一一

n

(逢鹿^落变量XsZ与剩余项，(不相美⑴.62eiXi

0Cov(X,,e.)二0

lCov(Xi,e)=Z(XLX)(CT)=ZeiXi

-xE8=0

尸%4.OLS估计量的统计性质

朝短传铜邮教真实值十

对参数估计式的优劣需要有评价的标准为什么呢？

・参数无法直接观测，只能通过样本去估计。样本的获得存

在抽样波动，不同样本的估计结果不一致。

•估计参数的方法有多种，不同方法的估计结果可能不相同,

通过样本估计参数时，估计方法及所确定的估计量不一定

完备，不一定能得到理想的总体参数估计值。

对各种估计方法优劣的比较与选择需要有评价标准。

估计准则的基本要求：

数估计值应〃尽可能地接近〃总体

什么是“尽可能地接近”原则呢？

用统计语言表述就是：无偏性、有效性、一致性等

38

尸气⑴无偏性

前提：重复抽样中估计方法固定、样本数不变、

氢重复抽样得到的观测信可得一系列参数估讦4

八人

侑一P的分布称为p的抽样分布，其密度

函数记为/（）

概念：

—广匚则参数二臣的刘桐基

如果E（P）wP（，口翱需是有偏的估计，其偏倚为=

—R）:

39

偏倚

40

尸”（2）有效性

前提：样本相同、用不同的方法估计参数，可以找到若

目标：努力寻求其抽样分布具有最小方差的估计量z

（见下页图）

既喊偏的同时及具有最短差特雷

最佳（有效）估计量。

41

4^%

产%3、渐近性质（大样本性质）

思想:当样本容量较小时，有时很难找到方差最小的无偏估计，

需要考虑样本扩大后的性质（估计方法不变，样本数逐步增大）

一致性：

当样本容量n趋于无穷大时，如果估计式依概率收敛于总体参数的

真实值，就称半个估计4P是的一致估计式。即

I'八八一4

或n—>oo

（渐近无偏估计式是封释辗1:嗫喉出浦其楹原于零的

估计式）（见下页图）

渐近有效性：当样本容量n趋于无穷大时，在所有的一致估计

式中，具有最小的渐近方差。

43

估计值

图4

44

尸%4.分析OLS估计量的统计性质

OLS估计是否符合“尽可能地接近总体参数真实值”的

要求呢？

先明确几点：

•由OLS估计式可以看出

nXiYi

^2__2Yi=EY'-E

2n班

X。p12

2

—k都由可观测的样本值乂%V展七星示。

•因存品抽样波动，OLS估计P是随机变量人

k

•OLS估计式是点估计量

45

尸％OLS估计式的统计性质——高斯定理

1、线性特征c

p人是Y的线性函数

E<Xi-X；fYi-Y；EXiyi

=Zkiyi

隹=Z冬「22Exf

八八

IkiYi

p/=Y-p2X=Y—Xki)Yi

2、无偏特性

可以证明（证明见教材P38）

£（九）=九

（注意:无偏性的证明中用到了基本假定中Ui零均值等假定）

伙

46

3、最小方差特性（有效性）（证明见教材P68附录2•1）

可以证明：在所有的线性无偏估计中，OLS估计P左具

有最小方差

（注意:最小方差性的证明中用到了基本假定中的同方差、无自相关等假

定）—

结炉商,露二

=在古典假定条件下，OLS估计量是最佳线性无偏估计量

（BLUE）

47

尸%第三节拟合优度的度量

概念：

样本回归线是对样本数据的妻

”同的模型（不同函数形式）

可拟合出不同的样本回归线;

・相同的模型用不同方法去估计

参数，也可以拟合出不同的回归线

拟合的回归线与样本观测值总是有偏离。样本回归线

对样本观测数据拟合的优劣程度，可称为拟合优度。

如何度量拟合优度呢?

拟合优度的度量建立在对Y的总变差分解的基础上

48

尸%一、总变差的分解

Y有以下关系

分析Y的观测值-一估计值Yi包泮均值一

(KHESS)(Kr^ESS)(K匕)2(RSS)

或者表示为fi2

出变差Zy=Zy+£e，

yi2(ESS)：被解释变量Y的估计值与其平均值的

解释了白篱黑年如口(回归平方和)

,2(RSS)：被解释变量观测值与估计值之差的平方

剩余平方和X

和(未解释的平方和)49

尸”变差分解的图示（以某一个观测值为例）

Xi

，2+

Yi-Y^(Yi-Y)+ei50

尸%二、可决系教

2

以TSS同除总变差等式

（Ky）2-_AYIr）2（fy9两边:

S（r-F）2Y

E«-r）2

或

22

-n----------?

V2；

言回归平方和（解释了的差差ESS^^.在总变

差（TSS）Z:中j占的比重称为可决系数,

2或R2

尸”可决条数的作用

可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的

部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系

数越小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。

可决系数的特点：

•可决系数取值范围：0<7?<1

随抽样波动,样本可决系是施抽样而变

动的随

・可决系数是非负的统计量

52

尸%可决余数与相关系数的关氽

联系：数值上可决系数是相关系数的平方

2n222

2____yiH____2_XzJ________i_

2XiVi\22

瑟I迂Xi)(3M)I

u喜

2(Zx

4^%

区另U：

可决系数z相l口关系J、数区人

是就模型而百ZE矶网I艾里nn口

说以1丁明力川解干释个卜变又^量里•对八J祓1zX解./ijT释/rr诵以Li明VJ两l/zJ变量.里线.性l-L依|k\存1J程4土度/乂

期一叉里景口的4用健牛程件程7r王庶反

席量不对称的因果关系/度乂昌量目对八J称仅'的UJ相4口关/',关'4系、

取侑0-P2<1取值一1三r三1

有非负性用止口J负

54

回归条数的区间估计和假设检验

为什么要作区间估计？运用OLS法可以估计出

参数的一个估计值，但OLS估计只是通过样本得到标

点估计，它不一定等于真实参数，还需要寻求真实参

数的可能范围，并说明其可靠性。

为什么要作假设检验？

=OLS估出是用样本估计的结果^^可靠?

是否抽样的偶然结果呢？还有待统计检验。=

区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计

值（3左概率分布性质的基础上。

55

一、OLS估计的分布性质

基^本思想

人

攵是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区间估

t隹口假设检验

八

,〜、Qk的分布性质呢?Yi1XiUi

怎样确定0

U后是蝮加酸皿獭的随虢变量左喇从正态公储

i线性特征

了匕也是服从正态分布的随机变量；02=工kiyi

kJE>（线性估计的重要性）

匕正忠

只要确定廿品期望和方差，即可确定的分人布性质

尸先Bk的期望和方差

八（已证明是无偏估计）

•k的期望：£（快）=伙

人（证明见P39、P40）

」Pk的福SB蟋f方根）…⑹

八CT?I-----------------

三防型SE（一

■“，）iSE（仇）=或/（［31）=0RBX，

注意：以上普式中XO2均未知，但是个常数，其余均是已

人知的样本观测值，这时幺/（PQ和SE（k）都不是随机

重。57

「气对随机扰动项方差。的估计

基本思想：

莺62漏的方差，而耋不能直接观测，只能从由样本得

到的e去获得有关u的某些信息，去对02作出估雇

a「

可以证明(见附录2.2)其无偏估计为5(£的=(〃-2)。2

■爱27

存=--------E2fcy)

2Iei=Yi-B/-B2Xi

(这里的n-2为自由度，即可自由变化的样本观测值个数)

注意区别：O是未知的确定的常数告

2是由样本信息估计的，是个随机变量O

58

八

4^%

Fj七标淮小在地对

为什么要对左作标准化变换?

在法正态性假定下，由前面的分析已知

k〜N[k,Var(k)]

但在对一般正态变量"作实际分析时，要具体确定

K

准化正态分布的临御直为僚声对。作标准化变换。

标准化的方式：标准正态分布函数

Zk—X2

/__X__

e2dx

SE(^k)59

4^%2

作标准化变换

2

经源变量。已知时对k作标准化变换，所得Z统计量为标

A人

2222

Z2〜N(O,1)

注意:这时和骸/2"是随机变量（X-UU都是非随机的）

2

行唯化文恢-----

条件：当o2未知时，可用a（随机变量）代替。2去估计

参数的标准误差。这时参数估计的标准误差是个随机变鼠三

■样本为大样本叱作标准化变换所得的统计量Zk,也可以

视为标准正态变量（根据中心极限定理）。

■样本为小样本时，

用估计的参数标准误差对Pk作标准化变换，所得的统

计量用t表示，这时t将不再服从正态分布，而是服从t

分布（注意这时分母是随机变量）：，

t=许k〜""-2）

S£(BQ

尸”二、回归宗数的区间估计

基本思想：

对参数作出的点估计是随机变量，虽然是无偏估计，但还不

能说明这种估计的可靠性和精确性。如果能找到包含真实参数

的一个范围，并确定这样的范围包含参数真实值的可靠程度，

将是对真实参数更深刻的认识。

方法：如果在确定参数估计式概率分布性质的基础上，可找到两

个正数6和a(04a«1)

I,能使得这样的区间(口―+_____________

kk

包含真实bk的料率为了一a,即二卜)[

这样的区间称为循古计凄数的置信区添7

P

讨论：“如果已经得出了、的特定估计值，并确定了某个置信区间，这说明

真实参数落入这个区间的概率为1-a”。这种说法对吗?

置信区间：〜〜

八P(kkg)1

基本思隼利用标准化后统计量的分布性质去寻求妻

总体方差----------------------------------------

*

o2已知隹一佻生一02，/

z==〜N(0,1)/V标准正态分布

2

种

SE(p2)a

Z将接近

情样本容量充分大

标准正态分布

况

02

未

知样本容量较小服从t分布

0c咽％回归宗教的区间估讨（分三种情况J找合适的5）

（1）当总体方差O2已知时（Z服从正态分布）

取定0C

（例如a=0.05）,查标准正态分布表得与a对

应的临界值Z（例如z为1.96）,则标准化变量Z*（统计量）

02—论佐一02*

因尹〜N(O,1)/「

5£(p2)cyEXi2

82-p2

P[-z<<z]=1-a

或,V

即

口[3笠£&郎2)&佐4佐+zSE(p2')]=1-a

)=ZO

8=ZSE(^

27^7

264

尸%2.当总体方差02未知，且样本容量充分大时

方法：可用无偏估计O去代替未知的0,2

由于样本容量充分大，标准化变量Z*（统计量）将

接近标准正态分布

B史中和*

z==〜NQ1)

注意:这里的“八”,底示“估计的”，

这时区间估土隔曲也可利用标准正态分布

只是这时

A

°8=zSE(02)=z

65

尸%3、当总体方差o耒知，且样本容量较小时

方法：用无偏估计o去代替未知的o

,由于样本容量较

小，“标准化变解不西时从正态分布，而服从t

分布。

源瑞用t分布去建琳1的置信区间。选定a,查t分

布表得显著性水平为a2,/自由度为n-2的临界值Za2(n-2)，

则有

二1-a

叫南2产十'a

AAJ

即

P[P2-Za2SE(P2)<P2<p2+/a24S'E'(P2)]=1-a

4^%

例1：研究某市城镇居民人均鲜蛋需求量Y（公斤）与人均可支配收入

X（元,1980年不变价计）的关系

设定模型：Yt=p7+p2Xt+Ut

1995-2005年木羊本数折;・

年19951996199719981999200020012002200320042005

份

Y14.414.414.414.717.016.318.018.518.219.317.1

X847.3821.0884.2903.7984.11035.31200.91289.81432.91539.01633.6

估计2只教：Y=16.57三4489溟1142.89,n==11

V==0.005

22乙”一

O=858661.8

伊二丫一生矛=16.57--0.005xl142.89=10.60

4^%估计结果:

J10.60I0.005X.

计算可决系教

例1：由前面的估计结果可计算出Ee2t=10.56

由数据Y可计算出：

：=34.0316

则

10.56

34.0316

R三1.3103=0.6897

'ey2X，t

严％估计O：2===1.1736

112------------------------

A