上海民办扬波中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

上海民办扬波中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图1，与为等腰直角三角形，与重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2．（1）证明：；（2）当为何值时，是等腰三角形？2．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；（2）已知二次函数.①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.3．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．4．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．5．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'．①写出点M'的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求的值和点坐标；（3）点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标；（4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围．7．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．（1）求证：AB=AC；（2）①证明：GE=EC；②若BC=8，OG=1，求EF的长．8．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，作直线．点是线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴于点．设点的横坐标为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）线段的长用含的式子表示为；（3）以为边作矩形，使点在轴负半轴上、点在第三象限的抛物线上．①如图2，当矩形成为正方形时，求的值；②如图3，当点恰好是线段的中点时，连接，．试探究坐标平面内是否存在一点，使以，，为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点B，交y轴于点D，且，．求b、c的值；点在第一象限，连接OP、BP，若，求点P的坐标，并直接判断点P是否在该抛物线上；在的条件下，连接PD，过点P作，交抛物线于点F，点E为线段PF上一点，连接DE和BE，BE交PD于点G，过点E作，垂足为H，若，求的值．14．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.(1)当点C落在射线AF上时，求DE的长;(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值;(3)若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.15．如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置（1）若点坐标为时，求点的坐标；（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数的图象上，顶点C、D在函数的图象上，其中，对角线轴，且于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当，时，①点B的坐标为________，点D的坐标为________，BD的长为________．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）19．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．（1）点M（1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P（a，3）是第一象限内的一个“和谐点”，是关于x，y的二元一次方程的解，求a，b的值．（2）如图②，点E是线段PB上一点，连接OE并延长交AP的延长线于点Q，若点P（2，3），，求点Q的坐标；（3）如图③，连接OP，将线段OP向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段．若M是直线上的一动点，连接PM、OM，请画出图形并写出与，的数量关系．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A1，0，B（点A在点B的左侧），交y轴与点0，3，抛物线的对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A的直线y＝kxbk0与抛物线在第一象限交于点E，连接AD，DE，BE，当时，求点E的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE与y轴交于点F，将点F向下平移个单位长度得到Q，连接QB．将△OQB绕点O逆时针旋转一定的角度（0°360°）得到，直线与x轴交于点G．问在旋转过程中是否存在某个位置使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析（2）当或或时，△AGH是等腰三角形【解析】试题分析：（1）根据∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，即可证出相似；（2）以∠GAH＝45º这个角为等腰三角形的底角还是顶角进行分类讨论，从而得到本题答案.试题解析：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∴∠B=∠EDF=45°在△AGC和△HAB中∵∠ACG=∠B=45°，∠HAB=∠BAG+∠GAH=∠BAG+45°=∠CGA∴△AGC∽△HAB（2）①当∠GAH＝45º是等腰三角形的底角时，如图可知：；②当∠GAH＝45º是等腰三角形的顶角时，如图：在△HGA和△AGC中，∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45º，∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，∴③如图，G与B重合时，符合要求，此时CG=BC=∴当或或时，△AGH是等腰三角形．点晴：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形（等腰直角三角形）的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，在第（2）中，要利用在旋转的过程中，△AGH中始终不变的角∠GAH＝45º为切入点，以这个角是等腰三角形的底角还是顶角为分类点进行分类讨论，要注意当∠GAH＝45º为底角时有两种情况，不要漏掉其中的任何一种，要做到不重不漏，才能做好分类讨论这一问题.2．（1）1；（2）①、；②，；（3），【解析】【分析】（1）先求出的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数的相关函数为，∴把点代入，则，∴；（2）根据题意，二次函数的相关函数为，①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，解得：m=2+（舍去）或m=．当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，解得：m=2+或m=2．综上所述：m=或m=或m=．②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴当时，有最大值，即，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（，1），∴+2-n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．3．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为【解析】【分析】（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为将点代入解析式中，则有．∴抛物线的解析式为．方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，将代入解析式中，则有，解得：，∴抛物线的解析式为．（2），．．．．的坐标为．又点的坐标为．直线的解析式为．（3）．∴顶点D的坐标为．①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，则．．∴点P的坐标为．②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，则．．∴点P的坐标为．∴综合得：点P的坐标为（4）∵点A或点B关于对称轴对称∴连接与直线交点即为F点．∵点H的坐标为，点的坐标为，∴直线BH的解析式为：．令，则．当点F的坐标为时，的值最小．11分设抛物线上存在一点，使得的值最小．则由勾股定理可得：．又∵点K在抛物线上，代入上式中，．如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．∴点S的坐标为．则．（两处绝对值化简或者不化简者正确．）．当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．又∵点G的坐标为，，将其代入抛物线解析式中可得：．∴当点K的坐标为时，最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．4．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为．【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F，∴∵两张纸条等宽，∴．在和中，∴，∵两张纸条都是矩形，，∴．∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；（3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示，∴，∴．最大值为．Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为，上底为，∴，当时，s取最大值．Ⅲ、当时，重叠部分为五边形，．此时．Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，∴．∴∴s的最大值为．【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．5．（1）；（2），；（3）①；②45°【解析】【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．（3）①由（2）可知m＝，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．【详解】（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S取得最大值．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∠M′BG=此时图像如下所示，∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1∴∠BM′P=∠BCA＝，又∵∠M′BG=∠CBA=∴∠BAC＝．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．6．（1）；（2）m=2，D(﹣1，)；（3）P（，）或P(1，)；（4）0＜t≤．【解析】【分析】(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以∥AD，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于第一象限P点，所以当与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．【详解】解：(1)∵A，把A,C代入抛物线，得：解得∴．（2）令y=0即，解得，∴B（4,0）把B（4,0）代入得m=2，∴得或∴B(4,0),D(﹣1，)∴,m=2，D(﹣1，)．（3）设P（a，），则F（a，），∵DN⊥PH，∴N点纵坐标等于D点的纵坐标∴N(a，)FN=－（）=，PN=－=，∵是线段的三等分点，∴①当FN=2PN时，=2（），解得：a=或a=﹣1（舍去），∴P（，）．②当2FN=PN时，2（）=（），得a=1或a=﹣1（舍去），∴P(1,)，综上P点坐标为P（，）或P(1,)，(4)由（2）问得D(﹣1，)，又A，设AD：y=kx+b，，∴，∴AD：y=x+5，又GM⊥AD，∴可设GM：y=x+p，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，∴∥AD，可设：y=x+q，又Q，代入，得：×+q=0，q=2，∴：y=x+2，设直线与抛物线交于第一象限N点,,所以当与N点重合时,t有最大值，∴，解得：或，∴N(1,)又Q，设H为N,Q中点，则H（，），又∵H在直线GM上，∴把H代入GMy=x+p，得：，P=，∴y=x+，令y=0得：0=x+，∴x=，即QM=+=，∵M的速度为5，∴t=÷5=，∴0＜t≤．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．7．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，∵AF是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC，∴OA∥FC，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，∴∠AOB=∠AOC，∴AB=AC；（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE是直径，∵CD⊥AB，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，∵∠DAC=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠EGC=∠ECG，∴EG=EC；②作OM⊥CE于点M，如图：则四边形AOMF是矩形，∴AO=FM，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，∴，解得：（负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．8．（1），；（2）；（3）①的值为；②存在；点的坐标为或或．【解析】【分析】（1）将、代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而可得到抛物线的表达式和点C的坐标；（2）设直线BC的解析式为即可求出解析式的表达式，令x=m，即可得到线段DE的长用含m的式子表示为；（3）①由点的横坐标为，且，可得，再根据四边形是正方形求出点G的坐标，代入函数解析式即可求出m的值；②利用①中的方法求出点D的坐标、、的值，再分不同情况讨论，利用两点间距离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可.【详解】（1）将、代入中，得，解，得，∴抛物线的表达式为．将代入，得，∴点．（2）设直线BC的解析式为，将点、代入可得，，解得，∵直线BC的表达式为，当x=m时，，即线段DE的长用含m的式子表示为.故答案为：；（3）①∵点的横坐标为，且，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵点在第三象限，∴点的坐标为，∵点在抛物线上，∴，解（不符合题意，舍去），，∴当矩形成为正方形时，的值为．②存在；理由如下：由①可知FG=DE=4-m，∵点O是线段EF的中点，∴点G的坐标为（-m，m-4），∵点在抛物线上，∴，解（不符合题意，舍去），，∴点D的坐标为（2，-2），∴，，如图，设点的坐标为（x，y），分以下三种情况：I、当位于点P时，可得PF=CD，PC=CF，∴，，解得，（不合题意，舍去），∴点P的坐标为；II、当位于点时，方法同I可得点的坐标为；III、当位于点时，方法同I可得点的坐标为；综上，点的坐标为或或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三角形的性质，解本题的关键是确定函数关系式．9．（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过，∴∴∴（2）设，将点代入∴过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得∴面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．∴存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）；（2）；（3）或．【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+k；∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），∴，解得：∴y=（x-6）2-3．（2）连接AE；∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴DE=3．（3）当BF⊥ED时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴，即，∴BF=；当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD，∴，即BF=；∴BF的长为或．考点：二次函数综合题．11．（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）满足条件的CN的值为或12．【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵AF＝BE＝2，∴BF＝6﹣2＝4，∴EF＝＝＝2．（2）由题意：＝，∴＝，∴y＝x（0≤x≤12）．（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．∵△EFB∽△EHC，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝6，CH＝12，当MN∥DF时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝，如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝12，综上所述，满足条件的CN的值为或12．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（1）当t=1时，AD=AB，AE=1；（2）当t=或或或时，△DEG与△ACB相似.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5，∵动点D每秒5个单位的速度运动，∴t=1；（2）当△DEG与△ACB相似时，要分两种情况讨论，根据相似三角形的性质，列出比例式，求出DE的表达式时，要分AD＜AE和AD＞AE两种情况讨论.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．点睛：本题第一问比较简单，第二问的讨论较多，关键是要理清头绪，相似三角形的讨论，和线段的大小的选择，做题时要分清，分细.13．（1）；（2），点P在抛物线上；（3）2.【解析】【分析】(1)直线y=kx-6k，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D、C的坐标，将B、C代入抛物线中，即可求得b、c的值；(2)过点P，作轴于点L，过点B作于点T，先求出点P的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；(3)连接PC，过点D作DM⊥BE于点M，先证△PCD≌△PLB，再分别证四边形EHKP、FDKP为矩形，求得=2.【详解】解：如图，直线经过点B，令，则，即，，，，，，点，点B、C在抛物线上，，解得：，函数表达式为：；如图，过点P，作轴于点L，过点B作于点T，，，，点在第一象限，，，，，，，，当时，，故点P在抛物线上；如图，连接PC，，，轴，，，，≌，，，，，过点P作于点K，连接DF，，，，四边形EHKP为平行四边形，，四边形EHKP为矩形，，，，，在中，，，，，，过点D作于点M，，，，，，，，，直线PF与BD解析式中的k值相等，，联立并解得：，即，，，，，，四边形FDKP为平行四边形，，四边形FDKP为矩形，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性很强，难度很大.14．（1）DE=3；（2）；（3）BP=12-12或6＜BP≤【解析】【分析】(1)当点C落在射线AF上时，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(3)以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，分三类：①当圆M与CD相切时，求出BP的值；②当圆M过点C时，求出BP的值；③当圆M过点D时，求出BP的值，进而，可求出BP的范围.【详解】（1）当点C落在射线AF上时，如图1，∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴AF=AD=6，AC=，∴CF=AC-AF=10-6=4，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，∵在Rt∆CFE中，，∴，解得：x=3，∴DE=3；（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，如图2，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，∵，∴，解得：x=，∴cos∠FAB==；（3）以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，①当圆M与CD相切时，如图3，切点为Q，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，连接QM，延长QM交PB于点H，则HQ⊥CD，HQ⊥PB，∵∆PMB是等腰直角三角形，∴设PH=BH=MH=x，则PM=QM=,∵HQ=AD=6，∴x+=6，解得：x=，∴BP=2x=②当圆M过点C时，如图4，此时，边CD上有两个点Q满足∠BQP=45°，∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，∴BP=BC=6，③当圆M过点D时，如图5，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，连接MD，过点M作MN⊥AD，MH⊥BP，设PH=HM=HB=x，则MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，∵在Rt∆MND中，，∴，解得：x=，∴BP=2×=，综上所述：线段BP长的取值范围是：BP=12-12或6＜BP≤.图1图2图3图4图5【点睛】本题主要考查圆和直线的位置关系和三角形的综合问题，根据题意，画出图形，利用数形结合和方程思想方法，是解题的关键.15．（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）过点作轴于点，利用三角函数值可得出，再根据翻折的性质可得出，，再解，得出，，最后结合点C的坐标即可得出答案；（2）设点坐标为（），则点的坐标是，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D的坐标为，再结合反比例函数求解即可；（3）首先存在这样的k值，分和两种情况讨论分析即可．【详解】解：（1）如图，过点作轴于点∵，∴∴由题意可知，.∴.∴在中，，∴，.∵点坐标为，∴.∴点的坐标是（2）设点坐标为（），则点的坐标是，由（1）可知：点的坐标是∵点和点在同一个反比例函数的图象上，∴.解得.∴点坐标为（3）存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形解：①当时.如图所示，连接，，，与相交于点.则，，.∴∽∴∴又∵，∴∽.∴，，∴.∴，设（），则，∵，在同一反比例函数图象上，∴.解得：.∴∴②当时.如图所示，连接，，，∵，∴.在中，∵，，∴.在中，∵，∴.∴设（），则∵，在同一反比例函数图象上，∴.解得：，∴∴【点睛】本题是一道关于反比例函数的综合题目，具有一定的难度，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值，翻折的性质，相似三角形的判定定理以及性质，反比例函数的性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力．16．（1）见解析；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）由四边形内角和定理求出∠B=60°，由AB=BC，即可得出结论；（2）以CD为边作等边，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证（SAS），得AC=BE，求出∠CEF=30°，由直角三角形的性质得出CF=由勾股定理求出EF=再由勾股定理即可得出答案；（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，求出∠BCH=30°，由直角三角形的性质得出HC=，BC=2BH=2x，证是等腰直角三角形，则HA=HC，，解得，进而得出AC的长，分三种情况，①当AB=AD=∠BAD=60°时，②当BC=CD=∠BCD=60°时，③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时，分别求解即可．【详解】解：（1）在四边形中，∵，∴∵∴四边形是“准筝形”（2）如图，以为边作等边，连结过点E作EF⊥BC于F，则DE=DC=CE=3，∠CDE=∠DCE=60°，∵AB=AD，∠BAD=∠BCD=60°，∴是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，在和中，，∴（SAS），∴AC=BE，∵∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，∵∠EFC=90°，∴∠CEF=30°，∴CF=CE=由勾股定理得：BF=BC+CF=在Rt中，由勾股定理得：∴AC=（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，如图所示：设BH=x，∵∠ABC=120°，CH是的高线，∴∠BCH=30°，∴HC=，BC=2BH=2x，又∵∠A=45°，∴是等腰直角三角形，∴HA=HC，∵AB=∴解得：∴HC=，BC=∴AC=①当AB=AD=∠BAD=60°时，连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，如图所示：则BD=∠ABD=60°，BK=AB=∵∠ABC=120°，∴∠CBG=60°=∠CBH，在和中，，∴（AAS），∴GC=HC=3，在Rt中，由勾股定理得：∴∴②当BC=CD=∠BCD=60°时，连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，如图所示：则BD=，CG=AK=，∴∴③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时，作DM⊥AC于M，如图所示：则DM=∴∴综上所述，四边形ABCD的面积为或或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握准筝形的判定与性质是解题的关键．17．（1）①（4，1）；（4，5）；4；②16；③见解析；（2）m+n=32．【解析】【分析】(1)①把点B的横坐标4代入双曲线得出其坐标，利用D点的横坐标与B点的横坐标相等可得出D点坐标由B、D坐标可求出BD的长；②由BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标，可得出A、C两点坐标，从而求出AC长，根据AC、BD的值求出ABCD的面积；③先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．【详解】解：（1）①∵，点B得横坐标为4，且在图像上，∴B点的坐标为（4，1）∵，点D的横坐标等于点B的横坐标为4，且在图像上，∴D点坐标为（4，5），∵B（4，1），D（4，5）∴BD=5-1=4．②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC=8．∴．③∵B（4，1），D（4，5），点P是线段BD的中点，∴P（4，3）．∵BD∥y轴，BD⊥AC，∴A（，3），C（，3）．∴PA=4-=，PC=-4=．∴PA=PC．∵PB=PD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）∵当四边形ABCD是正方形时，∴BD=AC当x=4时，∴B（4，），D（4，），∴P（4，）∴A（，），C（，）∵AC=BD∴-=-，∴m+n=32．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A，B的坐标；②利用A、C坐标，求出四边形ABCD面积；③利用AC，BD互相垂直平分，找出四边形ABCD为菱形；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出m，n之间的关系．18．（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．【解析】【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设