专题04 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题的应用（压轴题3大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

1/10专题04空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题的应用注意：本节专题提前涉及到直线与圆的部分简单概念目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、折叠问题 1类型二、轨迹问题 15类型三、截面问题 25压轴专练 36类型一、折叠问题解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。一般步骤：①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；③利用判定定理或性质定理进行证明。一、解答题1．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得.【详解】（1）因为，所以为正方形，所以，所以，又，平面，所以平面，又，且，故四边形为平行四边形，所以，所以平面.（2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE，所以，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

由题意知，，则，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则，故，则，令，则，故，设平面与平面的夹角为，所以.2．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图甲，已知在等腰梯形中，AB∥CD，且，，且，沿AE将折起使平面平面，如图乙．

(1)求点E到平面的距离；(2)设P为棱DC上一点（不与P，C重合），当二面角为60°时，DP与DC的比值．【答案】(1)(2)【详解】（1）如图甲，在等腰梯形中，AB∥CD，∵，，，∴，，如图乙，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴以为原点，EA，EC，ED的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设为平面BDC的一个法向量，∵，令，则，，，又，∴点到平面BDC的距离．

（2）设，则，，设为平面BEP的一个法向量，，令，则，，，又是平面BED的一个法向量，当二面角为60°时，则，解得，

又，∴．所以当二面角为60°时，DP与DC的比值为.3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面.(1)若是中点，证明：平面；(2)若是直线的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，连接，，可得四边形为平行四边形，进而可证明，即可得证平面；（2）根据题意，可得，，，所以建立空间直角坐标系，根据线面角可得，再结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）取中点，连接，，因为分别为的中点所以，且，又平行四边形中，，且，所以，且，又是中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又面，面，面.（2）因为，，，所以，即，又平面平面，平面与平面相交于，所以平面，又平面，所以，，又，建立以为坐标原点，以，为轴的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，因为是直线的一点，设，所以，，，设平面的法向量为，则，即，解得，设与平面所成角为，则，当时，，令，则.，当时，即，时，.4．（24-25高二上·浙江金华·月考）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，

(1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小；(2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可求得其大小；（2）建立新的空间直角坐标系利用线面角的向量求法计算可得结果.【详解】（1）根据题意可知，所以即为二面角的平面角，当折成直二面角时，可得，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

设正方形的边长为2，则，又，分别为，的中点，所以；可得，因此，所以；可得直线与所成角的大小为；（2）由（1）可知，当折成二面角的平面角为，即；在平面内，过点作垂直于的直线作为轴，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，又，分别为，的中点，所以；可得，设平面的一个法向量为，则，取，则；所以；设直线与平面所成的角为，可得；所以直线与平面所成角的正弦值为.5．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点．(1)证明：；(2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值；(3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证；（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值；（3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得.【详解】（1）取中点为，连接，，，，，，又，、平面，平面，又平面，．（2）平面平面，平面平面，，平面，平面，易知，，两两互相垂直，以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，，设直线与平面所成角为，则，又，直线与平面所成角的余弦值为.（3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，为等腰三角形，，，则，，，设，则，则，，故，或（舍），又，．6．（24-25高二上·云南昆明·期末）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图．(1)证明：平面⊥平面；(2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证平面⊥平面，二面角的平面角.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：由题设可得，.又，取的中点，连接，.则，，又因为是正三角形，所以，所以为二面角的平面角．在中，，又，，所以，故.所以平面⊥平面.（2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为D到平面的距离的，即为的中点，得.故，，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则即，可取．则.由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．7．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.(1)求证：平面；(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）线线平行得到线面平行；（2）证明三条线两两垂直，从建立空间直角坐标系，得到点的坐标后得到向量坐标，然后求得面的法向量，由投影得到点到面的距离；（3）以点为原点建立空间直角坐标系，设动点坐标，然后得到向量的坐标，由得到向量数量积为0，求得点的坐标，由直线外一点及其在直线上的投影和直线上的点建立等式，求得点的坐标，然后由向量和平面的法向量，求得线面角正弦值，平方后构造双勾函数，函数的单调性得到函数最小值，从而求得线面角正弦值的范围.【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面，所以平面（2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，，由二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，∵平面，∴以分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面法向量为，则，令，得，所求点面距为.（3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，显然，，，得出，则，则，点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形，则，即，且且，即，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，，则，令，函数在上递减，，因此，则，解得，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.类型二、轨迹问题1、由动点保持平行性求轨迹（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.2、动点保持垂直求轨迹（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.4、由动点保持等角（或定角）求轨迹（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹.5、投影求轨迹（1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形.6、翻折与动点求轨迹（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹.一、单选题1．（24-25高二上·重庆·月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，则，故，所以，又，平面，所以⊥平面，故当点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为.故选：B2．（23-24高二上·四川泸州·月考）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果.【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，设，则，，可得；当时，，当时，，取，连结，则，四边形为矩形，则，即，又和为平面中的两条相交直线，平面，又，为的中点，则平面，为使，必有点平面，又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，又，则点的轨迹不是正方形，则矩形的周长为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长.3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得平面，可得点的轨迹为圆，由此即可得．【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，，，，，，故，，，设平面的法向量为，则，令得，，故，因为，故平面，为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°，平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，即为点的轨迹，其中，由对称性可知，，故半径，故点的轨迹长度为.故选：C.二、多选题4．（24-25高二上·福建三明·月考）在正方体中，，，则（

）A．若，则点的轨迹为线段B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段C．若，则三棱锥的体积为定值D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为【答案】ABC【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法求点到直线的距离与线面角的余弦值可判断CD选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、，因为，对于A选项，当时，、、三点共线，则点的轨迹为线段，故A正确；对于B选项，若，即点，此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，故B正确；对于C选项，若，即点，其中，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，则点到平面的距离为，因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D选项，若，则，其中，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，当时，取最小值，此时取最大值，且，则，因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，故D错误.故选：ABC.5．（23-24高二上·山东·月考）在棱长为2的正方体中，点在底面正方形内及边界上运动，则（

）A．存在点，使得平面B．若，则动点的轨迹长度为C．若平面，则动点的轨迹长度为D．若平面，则三棱锥的体积为定值【答案】BCD【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用空间中两点间的距离公式可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断D选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，设点，其中，，设平面的法向量为，，，则，取，则，，若平面，则，则，解得，，不合乎题意，A错；对于B选项，若，可得，则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，所以，动点的轨迹长度为，B对；对于C选项，若平面，则，则，所以，点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为，C正确；对于D选项，因为平面平面，若平面，则点的轨迹为线段，因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，，则点到平面的距离为定值，又因为的面积为定值，则为定值，D对.故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面位置关系.三、填空题6．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为．【答案】【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度.【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系，由题意可知，，，，，因点是正方形内的动点，可设，，因设平面的法向量，则，令，则，因平面，则，即，整理得：.是正方形内的动点，取，得；取，得，故点的轨迹长度为．故答案为：.【点睛】思路点睛：利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求得，结合点的位置即可求得其轨迹长度.7．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，利用可得关于，的方程，进而求解.【详解】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．因为，所以，得，所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为，所以符合条件的点形成的轨迹的长度为．故答案为：类型三、截面问题1、截面问题的理论依据（1）确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（4）如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行2、截面问题的基本思路（1）定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.（2）作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3、作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面4、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；②“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.5、正方体中的基本截面类型一、单选题1．（24-25高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积.【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为，则，，连接，

因为底面为直角梯形，，，，所以四边形为正方形，，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以，而平面，平面，则，所以，又为的中点，所以，所以点到三棱锥各个顶点的距离均为，故为三棱锥的外接球球心，如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系，

因为平面，平面，则，与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，，则，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，可取，因为，所以点到平面的距离，设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.故选：A.二、多选题2．（24-25高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱，分别交于点F，G，则下列说法中正确的是（）A．线段长度的取值范围是B．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为C．存在点F，使得D．当点F为棱中点时，截面的周长为【答案】ABD【分析】延长交延长线于，连接，令.对于A，利用分离常数法研究在上的单调性，即可判断；对于B，利用等体积法即可求解；对于C，建立空间直角坐标系，利用垂直的向量表示即可判断；对于D，解三角形即可求出截面周长.【详解】在直三棱柱中，，，E为的中点，∴.延长交延长线于，连接，如图1，令，于是，即，由，得，即.对于A，显然在上单调递增，所以，A正确；对于B，当点F与点B重合时，如图2，，，，三棱锥的体积：，B正确；对于C，以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，，，显然与不垂直，因此不存在点F，使得，C错误；对于D，当点F为棱中点时，，，，，，所以截面的周长为，D正确.故选：ABD3．（24-25高三上·云南曲靖·月考）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．当平面时，不可能垂直B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为D．当时，的最小值为【答案】BD【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D.【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的法向量为，若平面，则，即，由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误；对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确；对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误；对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理得，所以，D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题4．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．【答案】/【分析】将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并建立适当的空间直角坐标系，作出截面，由截面平面，故只需求出点到平面的距离即可，由向量方法即可得解.【详解】如图所示：将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系；设分别是正四面体的侧棱的中点，显然截面平面，故所求即为点到平面的距离，由题意，从而，设平面的法向量为,所以，令，解得，所以，故点到平面的距离为.故答案为：.5．如图所示的一块长方体木料中，已知，设E为底面ABCD的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为．

【答案】【分析】作出辅助线，得到平行四边形即为该长方体中经过点的截面，建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式表达出截面面积，求出最值.【详解】连接并延长，交于点，过点作平行于交于点，连接，则平行四边形即为该长方体中经过点的截面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，故点到直线的距离为，则截面面积为，因为，所以当时，取得最小值，故截面面积最小值为

故答案为：6．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为.【答案】/【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可.【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示：当时，则，所以，又，设，则，解得，即，所以共面，所以共面，因为，所以，即，又因为所以是正方形，所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面，此时,所以截面UVWXYZ的面积为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的截面面积，找到符合题意的截面是解决问题的关键.本题借助空间直角坐标系，确定构成六边形UVWXYZ就是所求截面，进而求出面积.研究正方体截面问题的常用方法还有平行线法和相交线法.一、单选题1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,,则，.因为，所以，所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段.易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，所以动点的轨迹长度为故选：A2．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，连接、，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，即可得解.【详解】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，连接、，则平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，设点，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，，则点到平面的距离为，而点到直线的距离为，根据题意可得，在平面内，如下图所示：

在平面直角坐标系中，易知点、，则，所以，直线的方程为，即，即，显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且，所以，由可得，即，即点在区域内的轨迹是一条线段，直线的斜率为，则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意，故选：D.【点睛】关键点点睛：解决空间中的动点的轨迹问题，一般就是要通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出动点的轨迹方程，再进行判断.二、多选题3．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（

）

A．存在点满足B．满足的点的轨迹长度是C．满足平面的点的轨迹长度是D．满足的点的轨迹长度是【答案】ACD【分析】对A，利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度，再根据判断即可；对B，由A可得在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的，进而可得弧长；对C，设面的法向量，根据线面平行的向量方法可得的轨迹方程为，进而可得轨迹的长度；对D，根据求解的轨迹方程即可.【详解】

如图建立空间直角坐标系，则有，，，，，，对于A选项，若，则，且，，则，即，故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上也在底面内，故存在这样的点存在，故A正确.对于B选项，，，在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的，故长度为，B错误对于C选项，，，设面的法向量故有，解得故平面，，的轨迹方程为，，在底面内轨迹的长度为，C正确对于D选项，，，，的轨迹方程为，，在底面内轨迹的长度为，D正确故选：ACD4．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（

）A．存在点，使B．若，则动点的轨迹为圆的一部分C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为D．，直线与所成角的正切值的取值范围为【答案】BCD【分析】根据空间向量法计算距离和判断A，计算轨迹判断B，计算两角和正切判断D，再应用面积的最值判断C.【详解】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，故A错误；，，所以，化简可得圆的方程，所以B正确；对于C，当时，为线段上靠近点的四等分点，如图1，易知正方体的外接球的球心为正方体的中心，过点作于点，连接，因为，，则，球的半径，若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为，此时，故C正确；，即把直线绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥，设，，，在旋转过程中，与所成的角在如图2所示的轴截面内分别取得最值，，，所以与所成角的正切值的取值范围为，D正确，故选：BCD．5．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（

）A．过点的平面截该正方体所得截面面积为B．当平面时，点的轨迹长度为C．当时，三棱锥的体积为D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为【答案】ABD【分析】利用平行线的性质，找到所求截面，利用梯形面积公式求解面积判断A，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，再结合两点间距离公式求解长度判断B，利用三角形面积公式求解底面积，结合点到平面的距离公式求解点到平面的距离，再求解三棱锥体积判断C，利用球的性质判断截面形状并得到截面最小的情况，再结合勾股定理求解底面半径，利用圆的面积公式求解面积判断D即可.【详解】对于A，如图，连接，作，因为分别是棱的中点，所以是的中位线，由中位线定理得，由正方体性质得，，得到四边形是平行四边形，则，故，即四点共面，则该平面截该正方体所得截面是梯形，由勾股定理得，，同理可得，由题意得四边形是矩形，则，故，由勾股定理得，且设梯形面积为，由梯形面积公式得，即过点的平面截该正方体所得截面面积为，故A正确，对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接，因为正方体的棱长为，所以，，，，设因为分别是棱的中点，所以，，则，，，设面的法向量为，则，得到，而，得到，令，解得，，故，因为平面，所以，得到，即，化简得，则点的轨迹是直线，在面内，由题意得，当时，，当时，，得到轨迹是点和点构成的直线，连接，由两点间距离公式得，即此时点的轨迹长度为，故B正确，对于C，如图，连接，设，，则，而，因为，所以，得到，解得，故，在正方体中，由勾股定理得，则是等边三角形，得到，故，且，，，，设面的法向量为，则，得到，而，则，令，解得，，故，设点到面的距离为，则由点到平面的距离公式得，故，故C错误，对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心，如图，我们把球心记为，且连接，由外接球性质得，外接球半径为，由两点间距离公式得，而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得，得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用点面距离的向量求法求解距离，结合三角形面积公式求解底面积，得到所要求的三棱锥体积即可．三、填空题6．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为．【答案】/【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案.【详解】如图，分别取的中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则;所以,,;故，即，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面；因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF，所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN，所以点P的轨迹长度为．故答案为：.7．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为．【答案】【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案.【详解】设长方体外接圆半径为R，，，所以长方体外接球表面积为；以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示：依题意得：，，，则，，所以，则即；设为中点，连接,因为，，则，所以点为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径为，设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，根据长方体特征可知平面平面,所以,又，而平面，故平面，设交于H，则平面,故到平面的距离为,因为F为的中点，故，所以，故截面圆的半径为，所以截面圆面积为，故答案为：；【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案.8．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为.

【答案】/【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解.【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第一空：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，即四点共面，所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，因为正方体棱长为4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，所以梯形的高为，故所求截面面积为；第二空：由题意，且，所以，在中，当时，，所以表示经过点且法向量为的平面，即点在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，由题意设，而，设平面的法向量为，所以，令，解得，所以可取，显然平面的一个法向量可以是，二面角的余弦值为.故答案为：18，.【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证.四、解答题9．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成线面角为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，结合二次函数的性质来求得的最大值.【详解】（1）因为，则，且，可得，将沿DE折起到的位置，始终有，因为平面，所以平面，由平面，可得，且平面，所以平面.（2）由（1）可知，，CD，CB两两垂直，翻折后，由勾股定理得，以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，可知设平面的法向量，则，令，则，可得，且，因为直线BM与平面线面角为，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．10．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且.(1)证明：.(2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直得到，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面可得；（2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角公式计算即可；【详解】（1）由题意得，又．为平面内两条相交直线，所以平面．因为平面，所以．因为，，又有公共边，所以与全等，所以，，如图，连接，则．因为，，平面PCE，所以平面．因为平面，所以．（2）由（1）知平面，且平面BCDE，所以，．又，所以两两垂直．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，如下图，过作，由（1）知为等边三角形，所以，因为，所以，所以，即，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则即取，则，，所以．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．11．（24-25高二上·山东泰安·期末）如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内．(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）在中，所以，解得，所以，，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以，又，所以，即，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，所以，显然为平面的一个法向量，所以，平面与平面的余弦值为.12．（24-25高二上·湖北十堰·期中）如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小；（3）假设存在点满足题意