专题10 圆的方程重点题型全归纳（压轴题11大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

1/10专题10圆的方程重点题型全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、求圆的方程 1类型二、点与圆的位置关系 5类型三、圆中过定点的问题 8类型四、圆的方程中对称条件的突破 10类型五、圆的轨迹方程与实际问题 12类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 16类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 19类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 23类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 30类型十、公切线问题 33类型十一、公共弦问题 37压轴专练 39类型一、求圆的方程求圆的方程的两种方法1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为；(3)过三点.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解；（2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；（3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解.【小题1】所求圆的半径.又因为圆心为，所以所求圆的方程为.【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为.因为是圆上的点，所以解得或，因此，所求圆的方程为或.【小题3】设圆的标准方程为，得，得，所以圆的标准方程是.2．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点，圆心在轴上；(2)经过直线与的交点，圆心为点.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可；（2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解.【详解】（1）设圆的方程为，由题意得：解得：，所以圆的标准方程为；（2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的标准方程为.3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）分别根据下列条件，求圆的方程：(1)过点，，且圆心在直线上；(2)过、、三点．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程；（2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可.【详解】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，圆过点，，则有即，解得，可得圆心坐标为，圆的半径，所以圆的方程为.（2）设过、、三点的圆的方程为，则有，解得，故所求圆的方程为.4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的圆的方程（用标准式表示）(1)圆心为且经过点(2)经过两点且圆心在直线上(3)圆心在正半轴上，并且与直线都相切【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求得圆的半径即可求得圆的标准方程；（2）求得的垂直平分线方程，联立方程组可求得圆心坐标，进而求得圆的半径即可；（3）设圆心为，根据题意可得，求解即可.【详解】（1）因为，，所以圆的半径，所以圆的方程为；（2）因为，所以的中点为，，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，由，解得，所以圆心为半径为，则圆的方程为；（3）设圆心为，则，的，故圆方程为.类型二、点与圆的位置关系一、判断点与：位置关系的方法1、几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内2、代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内二、已知点和圆的一般式方程：（）则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（

）A．点在圆上 B．点在圆内C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定【答案】C【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可.【详解】因为，所以点在圆外.故选：C.2．（24-25高二上·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点与圆的位置关系可得关于的不等式，求解即可.【详解】因为点在圆的内部，所以，即，解得，实数的取值范围是，故选：A.3．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围.【详解】由题设，圆，则①，由点在圆外，则有②，联立①②得：或所以实数m的取值范围为故选：C4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系.【详解】由圆，圆心为，半径为2，因为直线与圆相切，故，故，所以点在圆内.故选：C5．“”是“圆不经过第三象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件.【详解】圆整理可得，可知圆心为，半径，且，若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，则，可得，且是的真子集，所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件.故选：B.类型三、圆中过定点的问题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.【详解】圆的方程化为，由得或，故圆恒过定点．故选：D．2．（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点【答案】和【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解.【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，联立，解得，即.所以以为直径的圆经过定点和.故答案为：和3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．(1)当取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得.【详解】（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时，方程表示圆.（2）证明：方程变形为，由于取任何值，上式都成立，则有，解得或，所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点．类型四、圆的方程中对称条件的突破1．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论.【详解】把圆的方程化为标准方程为，所以圆的圆心的坐标为，因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心.故选：A.2．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.【详解】圆的圆心为，半径．圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5，所以所求圆的方程为．故选：B.3．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可.【详解】由，即，由题意可知圆心在直线上，代入得.故选：C4．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解.【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，所以线段的中点坐标为，又，则，所以直线的方程为，即.故选：D.5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果.【详解】易知圆的圆心为，设关于直线对称点为，所以，解得，因此对称后圆的圆心为，半径为，即可得方程为.故选：A类型五、圆的轨迹方程与实际问题1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法（1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．（2）定义法：根据圆的定义列方程求解．（3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．（4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．2、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；（3）列式：列出关于的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是．【答案】【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得.【详解】设，则有，化简得，即点的轨迹方程是.故答案为：.2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程.【详解】设，因为，所以，又在圆：上，故，即的方程为．故选：C3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（

）A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线【答案】C【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状.【详解】因为点是两个定点，不妨设，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设，，，所以，，由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C.4．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（

）A．5 B． C．15 D．【答案】C【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果.【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示：设圆的半径为，在中利用勾股定理可得，即，解得；易知，在中，易知，即，解得.故选：C5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（

）A．（且） B．（且）C．（且） D．（且）【答案】B【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可.【详解】设，根据题意可知且三点不共线，可得，因此，若三点共线，易知斜率存在，所以；即，可得；联立，解得或；又因为三点不共线，所以且，因此端点的轨迹方程为（且）.故选：B6．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解.【详解】设点，，因为为的中点，所以，则，即，又因为动点在圆上，所以，则，即，则点轨迹方程为.故选：A.类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心【答案】C【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心.【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离为：，

所以直线过圆心，所以直线与圆相交且过圆心．故选：C.2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【答案】C【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径，则圆心C到直线l的距离，故直线与圆C相离．故选：C.3．若直线与圆相切，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.【详解】圆即的圆心坐标为，半径为，若直线与圆相切，则，解得.故选：B.4．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆的方程求得圆心的坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用直线与圆相离，列不等式求解即可.【详解】化圆为，得圆心坐标为，半径为，解得：，所以圆心到直线的距离，因为直线与圆相离，所以，所以，解得：.所以m的取值范围为.故选：B.5．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可．【详解】圆，故圆心为，半径为6．设圆心到直线的距离为，要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3，则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，所以，得，即，解得，故选：C．6．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（

）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3.【详解】，故圆心为，半径为3，到的距离为，又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得，过点作⊥，交圆于点，所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为.故选：D类型七、切线方程、切线长、切点弦问题1、求圆的切线方程的三种方法（1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程．（2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程．（3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程．2、与圆的切线相关的结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过上一点的圆的切线方程为：（3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：．（4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程.【详解】原点在圆上，而圆心，直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.故选：A2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长.【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径，所以，即．故选：B.3．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】求出和的长以及夹角即可求解数量积.【详解】由题可知，，，则，故故选：B.4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．±3 D．【答案】A【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可.【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点，而圆：的圆心，半径1，显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即，由，得，所以.故选：A5．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求的面积，结合对称性可得结论.【详解】圆的圆心为，半径，由切线性质可得，，，又点的坐标为，所以，所以，所以的面积，的面积，所以四边形的面积.故选：D.6．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则．【答案】/【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出.【详解】，即，故圆心为，半径为．如图，连接，因为，所以，故切线长．连接，由（等面积法），解得．故答案为：.7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；(2)求弦的中点M的轨迹方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可；（2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】（1）由题知圆心，半径，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意；当直线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，整理得，解得或，所以切线的方程为或．（2）设，圆心，因为M弦的中点，所以，又直线l过原点O，所以，，，整理得，所以M的轨迹方程为．类型八、直线与圆相交（含弦长问题）弦长问题（1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．1．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为．故选：B.2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值.【详解】因为圆，所以圆心为，半径为.设圆心到直线距离为：.因为直线与圆截得的弦长为.所以.解得：.故选：.3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解．【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点，半径为1的圆在轴以及轴上方的部分．在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过时先与半圆形有2个交点，此时.再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且,即，所以满足条件的的取值范围.故选：D.4．（24-25高二上·福建厦门·期末）轴被圆截得的弦长为．【答案】2【分析】求圆与轴的交点，可得弦长.【详解】已知圆：，令得：或.所以圆与轴的交点坐标为：，.所以弦长为：.故答案为：25．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是．【答案】或【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值.【详解】方法一：设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，．在圆方程中，令得，则，，则．联立，解得或则点，在所求圆上，所以解得或故所求圆的方程为或．方法二：设所求圆的方程为，且与轴交点的纵坐标为，令得，化简得，所以，，由两边平方得，所以，化简得，解得或．检验知两个值都符合题意，所以所求圆的方程为，或，即或．故答案为：或．6．（24-25高二上·湖北孝感·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点.(1)求点M的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果；（2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果.【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点，则，可得，即，因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程，即，整理得，所以点的轨迹方程为.（2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径，由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以直线的方程为.综上，直线的方程为或.7．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线：①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程；（2）首先设直线存在，其方程为，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据解得b，得到直线方程，并需验证.【详解】（1）设圆的方程为，则有，解得，，，圆C方程为：，即；（2）设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为、，则由，得，，为直径，

，

，即，即，或，容易验证或时方程的，故存在这样的两条直线，其方程是或.8．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点．(1)若直线l的斜率为1，求；(2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是定值，且定值为【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可；（2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可.【详解】（1）依题意，得直线，即，则圆心到直线l的距离，所以．（2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，，联立，得，则，，所以，所以是定值，且定值为．类型九、圆与圆的位置关系及参数问题（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.【详解】，圆心，半径，可化简为，则圆的圆心为，半径，，所以两圆相交.故选：C.2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离【答案】C【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解.【详解】，故的圆心为，半径为，，故的圆心为，半径为，故，当且仅当时，等号成立，而，当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，故两圆不可能内含.故选：C3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可.【详解】由，圆心为，半径为，圆，即，则圆心，半径为，，又，且两圆外离，则，即，解得，所以，即的取值范围是.故选：C4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为.设圆，由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以，解得，即或.所以实数a的取值范围是.故选：D.5．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（

）A．1或3 B．2 C．3 D．1或5【答案】A【分析】点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径.【详解】设，由，两边平方得，整理得，圆心为，半径为2．圆的圆心为，半径为，由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解，所以只能是两圆内切，即，解得或1．时圆在内，时圆在外故选：A6．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则【答案】或或【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可.【详解】由圆可知圆心，半径，由圆可知圆心，半径，所以当两圆相内切时，圆心距，解得；当两圆相外切时，圆心距，解得或，所以的值为或或.故答案为：或或类型十、公切线问题1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．2、两圆公切线的条数位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线3、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，所以圆：与圆：相交，所以，所以或.故选:D.2．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（

）A．3 B．5 C． D．4【答案】D【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可.【详解】如图：由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，则公切线的长为，方法二：，所以内公切线的长为：故选：D3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选题）与圆和圆都相切的直线方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.【详解】由题知，两圆半径，所以，故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当公切线过的中点，且与垂直时，因为，所以公切线的方程为，即；当公切线与平行，且到公切线的距离为时，设公切线的方程为，所以，解得或，所以公切线的方程为或．综上所述，公切线的方程为或或.故选：BCD．4．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是．【答案】3【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条．5．（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为.【答案】【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程.【详解】因为圆：，则，半径为，由可得圆心为原点，半径为，因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切.所以，又，所以.所以圆：即.所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即.故答案为：6．圆与圆的一条公切线长为（填入一个答案即可）．【答案】或（填一个即可）【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长.【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，

设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点．由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接，则四边形为矩形，所以．连接．易知，所以．又，所以．所以在中，，所以．故两圆的一条公切线长为或．故答案为：或（填一个即可）.类型十一、公共弦问题1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．1．（24-25高二下·海南海口·月考）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为．【答案】【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.【详解】由题设可得的方程为：，整理得：，故答案为：2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为．【答案】【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，又，所以，即两圆相交，两圆方程作差得到公共弦方程为，又圆心到公共弦的距离，所以公共弦长为.故答案为：3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为．【答案】【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解.【详解】因为圆，即与圆相交于两点，所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，解得，故答案为：1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（

）A． B． C． D．无数条【答案】B【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论.【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线.故选：B.2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（

）A．外离 B．相切C．内含 D．相交【答案】B【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为，圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为，故，故圆与圆的位置关系为相切.故选：B.3．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得.【详解】可化为，则，解得或，即的取值范围是.故选：D.4．设直线与圆相交于两点，且，则为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值.【详解】由题意，在中，在中，，半径为，直线与圆相交于两点，且，设中点为C，连接，，由几何知识得，，，在Rt中，，由勾股定理得，，即，解得，故选：B.5．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（

）（参考数据，）.A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断.【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，则，，，，设圆拱桥所在圆的方程为，由已知得：；解得，.故圆的方程为令，解得结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米），故选：C.6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可；【详解】因为圆的半径为2，由题意可知：圆心到直线的距离为1，即，解得：，故选：C7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解.【详解】设，由题意知，，因为是以为底边的等腰三角形，于是有，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点，，构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点，所以点的轨迹方程为（去掉，两点），故选：C.8．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，即为圆的圆心坐标，进而可得圆的方程．【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称可得，化简得，解得又两圆半径相等，故圆的方程为故选：B9．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可.【详解】曲线可整理为，，所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：直线表示过点的直线，如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，与半圆相切，则，解得，经过点，则，解得，所以.故选：B.10．（23-24高二上·重庆·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案.【详解】圆关于直线对称，圆心在直线上，，，圆，即，圆心为，半径为．圆的标准方程是，圆心，半径，所以，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B.11．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选题）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BD【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为3，圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，所以或，即或，所以或，不满足要求，满足要求.故选：BD.12．（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选题）已知圆，圆，则（

）A．的面积为B．若，则内切C．若外切，则D．当时，相交弦所在直线的方程为【答案】AB【分析】计算两圆圆心坐标及半径，逐项判断即可确定选项.【详解】由题意得，，圆半径，，圆半径.A.圆的面积为，选项A正确.B.若，则，圆心距，故圆内切，选项B正确.C.由题意得，，∵圆外切，∴，即，解得，选项C错误.D.当时，，由得，圆与圆相交，两圆方程作差得，，选项D错误.故选：AB.13．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．圆上的点到直线的最小距离为1C．圆和圆的公切线长为2D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为【答案】BCD【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C.【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为，对于A，由于，故点在圆外，故A错误，对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确，对于D,由于,故两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确，对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确，故选：BCD14．（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆内切 B．C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为【答案】ABD【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程.【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切.圆：的圆心为，半径为，圆：（），即，圆心，半径为.A项，将代入方程左边得，则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确；B项，圆，由圆与内切，所以，由，即，解得，故B正确；CD项，，得，则公切线斜率为，法一：联立方程和，解得，所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为，即．法二：①；②，两圆方程作差得，即．设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程，又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直，故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线.故C错误，D正确．故选：ABD．

15．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是.【答案】【分析】分离参数，即可列方程组求解.【详解】圆方程化为，由解得故圆恒过点.故答案为：16．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆外切，则.【答案】【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解.【详解】由已知，圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，因为圆与圆外切，所以，解得.故答案为：.17．（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为．【答案】或【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线距离为1得，解得．直线的方程为或．故答案为：或18．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是条．【答案】3【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数.【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，而，因此圆与圆外切，所以两圆的公切线条数是3.故答案为：319．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.【答案】【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长.【详解】

如图，由圆与圆相减，整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，由圆的圆心到直线的距离为，由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.故答案为：.20．（24-25高二上·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为．【答案】【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程.【详解】设，由，得，可得：，即，整理得，故动点的轨迹方程为.故答案为：.21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案.【详解】得的圆心，半径．将化为标准方程得，易知的圆心，半径．又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然，则，即，解得．故答案为：.22．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为.【答案】4或-6【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可；【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为，所以弦心距，因为弦长为，所以，即，解得或.故答案为：4或-6.23．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为．【答案】【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程.【详解】

方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．

方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即．方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知，过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为，将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点．由圆的切线的性质可知，，．又直线过点，直线的方程为，即．故答案为：．24．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为小时．【答案】5【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间．【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，，以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦，而台风向北偏东移动，可知，过作BD的垂线，垂足为E，在直角中，，则，在直角中，由勾股定理得，所以，故持续时间为小时．故答案为：5．25．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·月考）根据下列条件，求圆的标准方程．(1)已知、，以线段AB为直径．(2)过点，，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得圆心和半径，进而可得圆的方程；（2）设圆的一般方程，列方程求解，进而可得圆的方程.【详解】（1）因为点、，所以线段AB的中点坐标为，即，所以圆心为，，即半径为，所以圆的标准方程为．（2）设圆M的一般方程为，将A、B、C三点坐标代入圆M的一般方程得，解得，所以圆M的一般方程为，圆M的标准方程为.26．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．【答案】(1)(2)以为圆