专题13 双曲线重点题型全归纳（压轴题7大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

1/10专题13双曲线重点题型全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、双曲线的轨迹方程 1类型二、双曲线中的焦点三角形 5类型三、双曲线中的距离最值问题 12类型四、双曲线的渐近线 16类型五、求双曲线的离心率 21类型六、求双曲线离心率的范围 27类型七、双曲线的标准方程及参数问题 32压轴专练 36类型一、双曲线的轨迹方程1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．2、注意（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程.【详解】根据，可得点到点的距离差的绝对值等于，结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，，则，，所以，，故方程为：，故选：A.2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（

）的方程上.A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义进行求解即可.【详解】设炮弹爆炸点为，由题意可知：，显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有，可得：，于是有，根据四个选项可知，只有选项D符合，故选：3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得.【详解】设点，则，化简即得：.即点的轨迹方程为：.故选：B.4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得,所以,所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，，所以点的轨迹方程为.故选：A.5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.【详解】由圆M：，得圆心，半径，由圆N：，得圆心，半径．设圆P的半径为r，则有，．两式相减得，所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，又，所以C的方程为．故选：B．6．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.【详解】如下图所示：设圆、圆的半径分别为、，则，，设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合，若点在线段（不包括端点）上运动时，则，事实上，，此时点不存在；当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时，此时，；当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时，此时，.综上，，所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，设该双曲线的标准方程为，焦距为，则，可得，因此，两圆公共点的轨迹方程为.故选：A.类型二、双曲线中的焦点三角形双曲线的焦点三角形求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积．（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用双曲线的定义可求得的周长.【详解】如图，由题意可得，的周长为，由双曲线的定义可得，又，所以，所以的周长为12．故选：B.

2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】D【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解．【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，则，，又，则，即，即，即的面积是故选：3．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解.【详解】设，由在以为直径的圆上可得，所以，四边形为矩形，则，由双曲线，得，所以，又由双曲线的定义有，所以，得，所以，即，而，所以，所以的周长为.故选：C.4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为．【答案】【分析】根据双曲线的定义得到焦点坐标和，通过分析当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，计算得到结果；【详解】如图，的周长，，因为，所以，当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，，，此时．所以答案为：.5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为，面积为.【答案】126【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积.【详解】根据题意，，因为，由，可得，则的周长为；在中，根据余弦定理，，则，故故答案为：12；6.6．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则.【答案】10【分析】解法一：设（，）利用焦半径公式求出、，再由求出，可得答案；解法二：设，，由双曲线定义可得，内切圆与轴切在双曲线的顶点处，则由求出，再由求出，可得答案；解法三：设，，求出，由求出，由焦点三角形面积公式可得答案；解法四：设，，，则得，由余弦定理②，设，求出可得答案.【详解】解法一：，所以，，设（，），，，，又因为：，则，，；解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，，双曲线内切圆的圆心为，连接，，设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接，则，即，又因为，所以与重合，即，所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，，可得，可得则，，所以，，即：；解法三：设，，，，，则，所以，由焦点三角形面积公式；解法四：设，，，则，即：①，由余弦定理，得：，②，设，则，得，，则.故答案为：10.类型三、双曲线中的距离最值问题与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（

）A．11 B．9 C． D．5【答案】B【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得．【详解】由，得，，，所以上焦点，则下焦点为，又，由双曲线的定义得，由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．

故选：B．2．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得，所以的最小值为.故选：B.3．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．10 D．14【答案】C【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值．【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；同理，点在双曲线的右支上，则，即．所以．根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．又，则，即．所以的最小值为10．故选：C．4．（23-24高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为.【答案】【分析】设，且，通过可求得最小值.【详解】设，且，，又，又或，所以即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值.故答案为：.5．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是.【答案】6【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.【详解】由圆可化为，则，半径为1，设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：

所以，又，当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.故答案为：66．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为B，则的最小值为.【答案】9【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小.【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点，可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，联立直线的方程，可得，消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点），所以，当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小.所以的最小值为9.故答案为：9

类型四、双曲线的渐近线双曲线渐近线求法（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．（2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．1．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程.【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则有，得，所以双曲线的渐近线的方程为.故选：C2．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距.【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即，双曲线方程可表示为，点在C上，有，解得，即，得，双曲线中为半焦距，则有，得，所以双曲线C的焦距为.故选：D3．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（

）A．1 B． C．－4 D．1或－4【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，所以，，所以，即.又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，即，解得或（舍）.故选：C.4．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据双曲线渐近线方程求出两条渐近线的斜率，再利用夹角正切公式得出的值，最后根据双曲线离心率公式求解离心率.【详解】已知双曲线（），其渐近线方差为，因为，所以，所以，计算可得或（舍去），双曲线得离心率所以.故选：C.5．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为．【答案】2【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解.【详解】设所求双曲线方程为，将点代入双曲线方程得，故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2．故答案为：2.6．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为．【答案】【分析】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．【详解】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为．又，∴，故焦点坐标为，取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即，∴一个焦点到一条渐近线的距离为．故答案为：.7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为．【答案】【分析】根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程.【详解】双曲线，则，又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以，又，则，所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为.故答案为：8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为.【答案】【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解.【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由，得，，连接，由为的中点，得，则，，，因此，即，整理得，所以，即，所以，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以，故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为.故答案为：.9．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程．【详解】由，得为的中点；又，所以，所以；设，如下图：由双曲线的定义得，，所以，从而，所以；由直线的斜率为，得又，在中，，即；在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以，可得，因此，可知渐近线方程为.故答案为：类型五、求双曲线的离心率求双曲线离心率的常用方法（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；（2）利用求：若已知，则直接利用得解；（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．1．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由焦点到渐近线的距离公式即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为.因为，所以，，所以双曲线的离心率为.故选：C.2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据渐近线方程可得，进而可得离心率，注意双曲线的焦点在y轴上.【详解】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为，又已知双曲线C的渐近线方程为，则，所以双曲线的离心率．故选：D.3．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解.【详解】设双曲线的焦距为，由，则，又，所以点在双曲线的右支上，且，，，解得.故选：D.4．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由题得，即，即，整理得即可求解.【详解】根据题意，不妨取在的上方，

则，，双曲线的渐近线方程为：.由得：又为等边三角形，所以，则，即，整理得，即，解得或（舍），所以.故选A.5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率.【详解】

如图，根据双曲线的定义得，，由于，，则，所以．设由题可得，则，在中，由余弦定理，可得整理得，即，因，则可得.故选：C．6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为，设，则，又由双曲线的定义，得，，所以，，又因为，可得，即，解得，由，即，可得，双曲线C的离心率为.故选：C.7．已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率.【详解】由双曲线定义得，，，设，则由图，，在中，由余弦定理得，解得，∴.在中，由余弦定理得，∴，故离心率.故选：B.8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解.【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，，又，解得，，又，可得，，在中，根据余弦定理得，在中，根据余弦定理得，因为，所以，化简整理得，解得.故选：B.类型六、求双曲线离心率的范围1、不等式法求离心率范围（1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；（2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解；（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解；2、函数法求离心率的范围（1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式；（2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可．1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分或两种情况，结合求解.【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，所以或，即或，又，所以，故选：D2．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求出.【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以.所以的范围为.故选：C3．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解【详解】由题意得，，，所以，又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得，所以，即，得，故C正确.故选：C.4．（23-24高二上·山东淄博·月考）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知，即为等腰三角形，故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.5．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，易得四边形为矩形，根据双曲线的定义找到关于离心率的表达式，求出离心率的取值范围即可．【详解】解：如图所示，设双曲线的左焦点为，连接,，四边形为矩形,因此,则．,,即，则,,,则,故双曲线离心率的取值范围是，故选：C．6．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为．【答案】/【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可.【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形，且，则为正方形，可得，整理得，解得或（舍去）.故答案为:.7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用，即，化简即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，

则到渐近线的距离，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以．故答案为：类型七、双曲线的标准方程及参数问题1、待定系数法求双曲线标准方程2、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。1．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案．【详解】解：方程表示双曲线，，解得或的取值范围是故选：D.2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程.【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长，依题意，，即，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：C3．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程.【详解】椭圆的长轴端点为，椭圆焦点为，即双曲线的焦点为，顶点为，所以双曲线方程为.故选：A.4．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可.【详解】方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.5．已知双曲线经过点，则其标准方程为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.【详解】设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：A.6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线的基本性质求出的值求出双曲线方程.【详解】由题意可知①，渐近线方程：，交点坐标为，∴，∴②，由①②解得，，∴双曲线：.故选：C.7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解.【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故，又和，解得，故双曲线方程为，故选：A8．（24-25高二上·天津·月考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据是边长为的等边三角形，求出和，再根据求解、，即可求得双曲线方程.【详解】因为是边长为的等边三角形，所以，，所以渐近线的斜率，因为，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D1．（24-25高二上·广西钦州·月考）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程确定且焦点在x轴上，再由双曲线离心率及参数关系确定方程.【详解】由椭圆方程知：且焦点在x轴上，又双曲线的离心率为，则，所以，则双曲线的方程是.故选：D2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，设为曲线上任一点，则，所以点的轨迹为双曲线的右支，且，，，点的轨迹方程为．故选：B3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论.【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于，即，所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件.故选：C.4．（24-25高二下·重庆·期末）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用两直线夹角定义可得渐近线倾斜角的取值，从而可求参数.【详解】双曲线渐近线方程为，由两条渐近线的夹角为60°，则渐近线的倾斜角为或所以斜率或，解得或，故选：D.5．（25-26高二上·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且，所以双曲线的离心率．故选：A．6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，得到，由抛物线焦半径公式得到，进而求出，代入双曲线方程，得到，求出渐近线方程.【详解】由题意得，的一个顶点坐标为，故，由于为与的交点，，故，解得，将代入中得，将，代入中得，又，故，所以的渐近线方程为.故选；B7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.【详解】由，得，所以为双曲线的右支，为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，所以．所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．故选：D.8．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.【详解】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径，设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，得，则，因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，即，半焦距，虚半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程是.故选：B9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值.【详解】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.

故选：C10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．30【答案】A【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.【详解】，根据双曲线定义：，，，，根据余弦定理：，则，.故选：A11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解.【详解】设，因为，，所以直线的方程为，又，所以，得，又点P在直线上，所以，则，所以,所以，解得，故所求渐近线斜率为.

故选：C12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合双曲线的定义，在，通过余弦定理列出等式求解即可；【详解】由题可知，又因为，所以，，在中，，在中，，即，化简可得，则.故选：B13．（24-25高二上·湖北·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所给条件可转化为中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出边长之比，再由面积求出边长，利用双曲线定义求得解.【详解】如图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，，由得，则，，，，由双曲线定义可得：，，，所以双曲线的方程为.故选：A14．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案.【详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为，由，得，则，即，，，由，得，所以的离心率为.故选：B15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解．【详解】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，

由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．16．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由双曲线，可得，所以，过点且倾斜角为的直线的方程为，设，因为的面积为，所以，因为点在第一象限，所以，可得，又由，可得，所以，又因为，所以，可得.故选：A.

17．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（

）A． B．2 C． D．5【答案】A【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.【详解】由题意得，设，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故，由双曲线定义知，，故，，其中，解得，则，，因为，所以，在中，由余弦定理得，解得，故双曲线C的离心率为.故选：A18．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有，即