2025年中国地质大学远程教育学院线性代数模拟试题与答案解析

《线性代数》模拟题(开卷)

一.单项选择题

1.设A为〃阶矩阵，且网=2,则|2A|=(C)o

A.2"B.2'iC.22D.4

2.〃维向量组%，％，…，&(3«s4n)线性无关的允要条件是(C)。

A.%,%，…，生中任意两个向量都线性无关

B.%,a?…,%中存在一种向量不能用其他向量线性表达

C.%,2”…，4中任一种向量都不能用其他向量线性表达

D.%,%，…，%中不含零向量

3.下列命题中对的的是(D)o

A.任意〃个〃+1维向量线性有关B.任意〃个〃+1维向量线性无关

C.〃+1个〃维向量线性无关D.任意〃+1个〃维向量线性有关任意

4.〃无非齐次线性方程组人乂=8有唯一解的充要条件是(B)。

A.r(A)=〃B.r(A)=r(A,B)=nC.r(A)=r(A,8)<〃D.r(A)=r(A,B)

5.矩阵人的特性值为123,则其行列式周为(A).

A.6B.18C.36D.72

6.方阵A与B相似，则下列说法错误的是(D)

A.方阵A与8有相似的特性向量B.方阵A与B有相似的特性值

C.方阵A与8有相似的行列式D.方阵4与4有相似的迹

7.三元非齐次线性方程组AX=8的解向量囚,4，%满足

%+%=(1，。』),。2+%=(2,4,-2)7，则其导出组AX=O的一种解为(C)

A.(1,0,1)7B.(1,2-1/C.(-1-4,3)7D.(3,

二.填空题

Zl14-x2+x3=0

玉+疝2+七=0只有零解，则-应满足_-=-2或2=1_。

X]+工2+芥3=0

3.当k=4时,向I量组%=(1,2,1),%=(2,N2)线性有关。

fl-1},.(I

4.A=\,则A"=_I；-o

(02)10D

5.矩阵A的特性值分别为1,-1,2,则1笛+2/1=54。

6.写出二次型/(内,5,当)=父+4*+2后+5内石+4»工3-6々工3对应的对称矩阵

12、

24-3_o

12-32)

三.计算题

1.问a取何值时，下列向量组线性无关？%=—

2

1

a-2

解：当一十a—4=(。-1)(。+4■广工0时，即4WI且aW-,时,6Z1,%,%线性无关

22a

,200、

2.求A=030的所有特性值和特性向量。

2V

2-200

解：|4-羽=03-/10=(2-A)(3-A)*12

023-2

因此A的特性值为4=2,4=4=3.

当4=2时，解方程（A-2E）x=0

r000、'ooo]<r

--27、

由（A—2E）=010J010,得基础解系p,=0

<021,eoJ[o）

因此对应于4=2的所有特性向量为K四伏尸0）.

当4一4一3时，解方程（A—3KA=0

00、

由（人一3七）二000,得基础解系P2=0

、（）201

因此对应于4=4=3的所有特性向量为心〃2（&¥°）・

a-100

0ci-1a

3.求行列式的值。

00-1

1a+\

a-100

a-100

0

a-1a1+1

解:=〃（T）0-1a-1a

00a-1

1a+\0

1114+1

a-1a-100

-1

0a-1a-1a=。方（。+1）+0+1-a2-0-（-tz）]4-

11a+\0-1

=。（/+。+1）+（1—/）=a4+a+l

解:

（）、

010

001,

I00110100110

匕-3')0-26120八+弓)0-26120

029-3-310015-2-11

Z

()、

x10010、10011

r2<-2)

_1□+3〃、_2±

01-3200101055

2I_J_1

00—00

1"*15*151一言1515?

110、

.•.(43尸__9__61

1075

一2I

151515,

5.求向量组％=(1,2,1,2),%=(17-1,6),。3=(1—20),4=(4,2,5,6)的极大无关组,

并用极大无关组表达其他向量。

rl212、」212、’1212、

17-1605-24e+2%0-100

解:/

1-1200-31-20-31-2

<4256；1。-61-2；、0-300；

I212、

%-3与0-100

0-31-2

、0000;

从而可知%,%是向量组多,%,%,%的一利।极大无关组

由求解极大无关组的过程可知%=-6q+3。2+7%

211

6.已知矩阵人=I21,求正交矩阵7使得为对角矩阵。

I12

2-/111

解：\A-AE\=12-/11=(4—4)(1—2)2

112-2

因此A的特性值为4=4,4=4=1.

'3、

当4=4时，解方程(A-4E)x=0,得基础解系P1=1

当4=4=1时，解方程(A—E)x=O,得基础解系〃2

由于基础解系所含向量的个数都等于对应特性值的重数,

3