高中数学高考每日一题（1-50天）

2025年高中数学高考倒计时100天每日一题（1-50天）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图如图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为()A.120 B.26 C.340 D.4201．答案：D解析：如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，涂满5块区域使用颜色的种数可以是3、4、5.①若用三种颜色，则A，C与B，D均颜色相同，则有种；②若用四种颜色，则A，C与B，D只有一组颜色相同，则有种；③若用五种颜色，则有种，所以不同的涂色方案有种.故选D.2．已知函数若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是()A. B. C. D.2．答案：A解析：由题意，作出函数与的图象如图所示.存在四个不相等的实根，，，，且，，，且，则，即，得，，当且仅当，即，时等号成立，的最小值是.3．已知，，若点P是图象与图象的一个公共点，且的图象与的图象在点P处的切线重合，则()A. B. C. D.13．答案：B解析：设点P的横坐标为t.由题意得即所以因为，所以，所以，解得.把代入得.4．甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为()A. B. C. D.4．答案：C解析：记甲、乙、丙三人闯关成功分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人闯关成功为事件D，则，又，所以.故选C.5．已知函数，a，b满足（a，b为正实数），则()A.8 B.9 C.10 D.115．答案：B解析：令，由，得的定义域为R，，即是奇函数，而，当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在区间上单调递减，由奇函数的性质知，函数在区间上单调递减，因此函数在R上单调递减，由，得，即，所以，则，即.6．[2023秋·高一·广东惠州·月考校考]已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为()A.1 B.3 C.或3 D.1或36．答案：D解析：因为函数的图象和函数的图象有唯一交点，所以方程有唯一解，即有唯一解，令，则在R上有唯一零点，因为，所以为偶函数，因为在R上有唯一零点，所以唯一的零点为，所以，即，得，解得或，故选D.7．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为()A. B. C. D.7．答案：A解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，故动圆圆心的轨迹方程为，故选A.8．[2025届·江苏盐城·三模校考]在的展开式中，的系数为()A. B. C.24 D.488．答案：A解析：方法一：展开式的通项为，令，得，则，又的展开式中含y的项为，所以展开式中的系数为.故选A.方法二：表示4个因式的积，则从这4个因式中任意选出2个2x，从剩下的2个因式中任意选1个取y，最后的一个因式取，即可得到含的项，故的系数为.故选A.9．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4 B. C.1 D.9．答案：B解析：连接AC，BD交于点H，连接PH，则H为正方形ABCD的中心，故平面ABCD.取CD的中点Q，连接HQ，PQ，则，，，故为二面角的平面角，即.又因为平面，平面ABCD，所以，所以，则该四棱锥的体积为.故选B.10．已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为()A. B.0 C.2 D.10．答案：C解析：设且，因为的图象过点，所以，所以，故，则，令，则（当且仅当时取等号），所以在R上单调递增，易得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故选C.11．已知为等比数列，为数列的前n项和，，则的值为()A.3 B.18 C.54 D.15211．答案：C解析：，，两式相减得，即，又是等比数列，的公比为3.而，，，，，故选C.12．已知向量a，b满足，，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.12．答案：D解析：因为，所以，即①.因为，所以，即②.由①②可得，所以.所以.因为，所以.故选D.13．若复数z满足，则()A.1 B. C.2 D.13．答案：D解析：由，得，所以.故选D.14．已知，，则()A. B. C. D.14．答案：C解析：因为，所以，因为，所以，所以.15．如图，已知双曲线（，）的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线的右支于点M，N，，，则的面积为()A.16 B. C.32 D.15．答案：A解析：由双曲线（，）的实轴长为4，得，所以，又，所以.因为，所以，又，所以，又，所以为等腰直角三角形，由，得，所以的面积为.故选A.16．如图，在正四棱锥中，，，设平面AEF与直线PC交于点G，，则()A. B. C. D.16．答案：D解析：因为，所以.因为，，所以，，所以，又，所以，所以，因为A，E，F，G四点共面，所以，解得.故选D.17．若函数，则的解集为()A. B. C. D.17．答案：A解析：依题意，，易知在R上单调递减，且，所以的图象关于点中心对称，所以为奇函数且单调递减，所以.故选A.18．[2025春·高二·江西上饶·月考联考]已知数列满足,且,,则()A. B. C. D.18．答案：A解析：由可得：,若,则,与题中条件矛盾,故,所以,也即数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,则有,也即,所以,故选：A.19．已知，，，则()A. B. C. D.19．答案：C解析：因为，，而，所以，得；令，则，所以在区间上单调递减，因为当x趋近于时，趋近于0，所以，所以，所以，所以，所以，所以.20．的展开式中的系数为()A. B. C. D.20．答案：A解析：易知的展开式的通项，，.，令解得；，令解得.因为，所以的展开式中的系数为.21．已知函数（，）的图象与y轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，，则t的取值范围为()A. B.C. D.21．答案：B解析：由题意知，所以.又，所以.由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，，所以函数的最小正周期，所以，所以.当时，，.由，得，所以，所以，解得，故选B.22．[2025春·高三·山西晋中·开学考试校考]已知动直线与圆相交于，两点，若线段AB上一点P满足，且，则动点P的轨迹方程为()A. B. C. D.22．答案：A解析：方法一：设O为坐标原点，连接OA，OB，由得.因为A，B在圆上，所以，连接OP，由得，故，故动点P的轨迹方程为.故选A.方法二：设，则由，得，得，①②同时平方并相加，得.又A，B在圆上，，所以，得，故动点P的轨迹方程为.故选A.23．设复数z满足（i为虚数单位），则()A. B. C.或 D.或23．答案：C解析：因为，即，所以.设，所以，所以解得或所以或.24．已知向量，，则()A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件 D.“”是“”的必要条件24．答案：B解析：若，则，解得；若，则，解得或；所以A，C，D错误，B正确.故选B.25．已知集合，，则()A. B. C. D.25．答案：C解析：由，得，所以解得，所以，所以，，所以.26．如图，已知椭圆的右焦点为F，若过原点O的直线l与椭圆交于M，N两点，直线MF与椭圆交于另一点P，若，，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.26．答案：D解析：如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形.设，则，由椭圆的定义知，，.在中，，即，得；在中，，即，得，所以椭圆的离心率为，故选D.27．每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动、协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为()A.120 B.150 C.210 D.24027．答案：B解析：将5位学生分为三组，每组至少有1人，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.当每组人数是1，1，3时，分组方法有（种），当每组人数是1，2，2时，分组方法有（种），所以将5位学生分为三组的方法共有（种），所以不同的分配方案种数为.28．[2025春·高三·湖北·期中联考]已知Q为直线上的动点,点P满足,记P的轨迹为E,则()A.E是一个半径为的圆 B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为 D.E是两条平行直线28．答案：C解析：设,由,则,由在直线上,故,化简得,即P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点到l的距离,故A、B、D错误,C正确.故选：C.29．[2024秋·高三·陕西汉中·期末联考]图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为()A. B. C. D.29．答案：A解析：如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点M，N,过点M作于点H，连接，依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且,又，则.设该几何体外接球球心为点O,半径为R,则点O为的中点，则,在中，,于是该几何体外接球的表面积为.故选：A.30．某正方体的六个面分别标注字母A，B，C，D，E，F，随机抛掷该正方体，规定每次抛掷时，标注A或B或C的面朝上为抛掷成功；否则为抛掷失败，若试验进行到恰好出现2次成功时结束，用X表示抛掷次数，则()A. B. C. D.30．答案：B解析：由题意可知，，所以.31．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为()A. B. C. D.31．答案：B解析：如图，连接.根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，因为，由双曲线定义可知，，解得，，.，解得，因为为钝角，所以，所以.解法一：由余弦定理可知，所以，，所以双曲线的方程为.故选B.解法二：由双曲线焦点三角形面积公式得，，解得，则双曲线的方程为.故选B.32．已知函数，若存在实数t，使得对任意，恒有，则的最小正周期为()A. B. C. D.32．答案：B解析：，由存在实数t，使得对任意，恒有，得的图象关于点对称，所以，得，故的最小正周期为，故选B.二、多项选择题33．已知O为坐标原点，曲线酷似一颗“心”（如图）.对于曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B.曲线C上存在一点P使得C.曲线C上存在一点P使得D.曲线C所围成的“心形”区域的面积大于333．答案：ABD解析：当时，，即曲线C经过点，；当时，方程可整理成关于y的一元二次方程，由得，故整数x只能取1，此时代入方程得，解得或，即曲线C经过点，；易得曲线C关于y轴对称，所以曲线C经过点，.故曲线C共经过6个整点，A正确.当时，或，即曲线C经过点，此时，B正确.当时，由得，当且仅当时等号成立，所以，即曲线C在y轴右侧区域内的任意点都满足，根据对称性，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，C错误.如图，由上述分析知，曲线C经过点，，，，，则曲线C所围成的“心形”区域的面积，D正确.34．[2024春·高二·四川绵阳·期末]赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，某市开展双拥百日宣传活动.该地区某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是()A.随机抽取1篇征文，则评分在内的概率为0.6B.若优秀率为，则C.越大，的值越小D.越小，评分在内的概率越大34．答案：ABD解析：易知，所以，所以，故A正确；易知，则，所以，因为，所以，故B正确；因为直线是该正态曲线的对称轴，所以，不会随的变化而变化，故C错误；由对正态曲线的影响可知，越小，图象越“瘦高”，所以评分在内的概率越大，故D正确.35．如图，点A，B，C是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是()A.B.C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称35．答案：AC解析：选项A：设点A，B，C的横坐标分别为，，，，则由题图可得，，所以，，因为，所以，解得，所以，故A正确.选项B：因为，所以，所以，解得，（另解：由题图知，故）故B错误.选项C：由选项B可得，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确.选项D：将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，不关于原点对称，故D错误.36．[2024届·重庆·模拟考试联考]某电影艺术中心为了解短视频观众年龄的分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是()A.B.在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的分位数为39岁36．答案：CD解析：，，故A错误；由频率分布直方图可知短视频观众年龄在岁的频率为，短视频观众年龄在岁的有（人），故B错误；估计短视频观众的平均年龄（岁），故C正确；设短视频观众年龄的分位数为x岁，因为短视频观众年龄在岁的频率是，短视频观众年龄在岁的频率是，所以，解得，故D正确.37．小米使用具备“超椭圆”数学之美的，设计师的灵感源自于曲线，其中星曲线常用于超轻材料的设计，则()A.E关于原点对称B.E与圆无公共点C.E上的点到两个坐标轴的距离之和不超过1D.E所围成图形的面积小于237．答案：ACD解析：A.若点在E上，则点在E上，所以A正确；B.，当且仅当时取等号，所以E与圆有公共点，所以B不正确；C.，所以C正确；D.由C得，曲线E所围成的图形在内，所以面积小于2，所以D正确.38．对于给定的函数与，如果存在一个函数，且有反函数，使得成立，则称为到的桥梁函数，则下列结论正确的是()A.是任意函数到自身的桥梁函数B.若到的桥梁函数为，则C.若是到的桥梁函数，则是到的桥梁函数D.若，，则存在使得是到的桥梁函数38．答案：ACD解析：选项A：，则，所以，故A正确；选项B：，则，所以，所以，设，则，所以，故B错误；选项C：由，得，设，则，所以，所以，故C正确；选项D：，则，由，得，当时，存在，使得是到的桥梁函数，当时，，不符合题意，因此存在使得是到的桥梁函数，故D正确.39．已知函数的定义域为R，对任意，都有，且，则下列选项正确的是()A. B.为减函数C. D.为奇函数39．答案：ACD解析：对于A：解法一：令，，则，得，故A正确.解法二：令，则，得，则，若，令，，则，得，与矛盾，故，故A正确.对于B：令，则，得，故不是减函数，故B错误.（另解：也可以根据，直接判断不是减函数）对于C：由B知，所以，故C正确.对于D：令，，则，得，令，则①，由B知，所以，代入①式得，即，则为奇函数，故D正确.三、填空题40．[2024春·高二·湖南衡阳·期末校考]已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，AB中点D在x轴上方且其横坐标为1，，则直线AB的斜率为___________.40．答案：解析：由题意知直线AB的斜率存在且大于零，且，故设直线AB的方程为，，.由消去y整理得，所以.又因为AB中点D的横坐标为1，所以，所以.由抛物线定义，得，解得，即直线AB的斜率为.41．设O为坐标原点，A，B，C是双曲线（，）上三点，若A，O，B三点共线，且直线AC与BC的斜率互为倒数，则E的离心率为__________.41．答案：解析：因为A，O，B三点共线，A，B在双曲线E上，所以A，B关于原点O对称.设，，且，则.由题意得所以，所以.又直线AC的斜率，直线BC的斜率，直线AC与BC的斜率互为倒数，所以，即，所以，所以.42．已知函数，若对任意的，恒成立，则正数a的取值范围是__________.42．答案：解析：由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.故答案为.43．已知随机变量，随机变量若，则正整数n的最小值为_________.43．答案：6解析：由，得，又所以，易得单调递增，又当时，，所以正整数n的最小值为6.44．设函数，若，且，则的最小值为___________.44．答案：解析：易知的定义域为.令，解得；令，解得.当时，，故，所以；当时，，故，所以.故，即.当时，，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.45．若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为__________.45．答案：解析：和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.设直线，直线l与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，，，则，则，且，解得，所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.四、解答题46．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，求的最小值.46．答案：（1）（2）2解析：（1）由正弦定理得，由三角形内角和知，所以，因为，，所以，可得.（2）结合（1），由正弦定理得，由等面积法，易知，故由（1）和余弦定理可得，故，且，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为14.故，故r的最大值为，则，的最小值为2.47．体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下：①第一局甲挑战丙.②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战.已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立.（1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率.（2）求第局比赛是甲挑战丙的概率，并判断当比赛局数n足够大时的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.47．答案：（1）（2）是，该常数是解析：（1）每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件A和事件B，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件C，则，，，，.因为每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立，所以.，所以前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率为.（2）由题意可知且，即，从而有，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，即，.当n足够大时，故.所以当比赛局数n足够大时的值趋近于一个常数，该常数是.48．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点：过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为点关于y轴的对称点，记点的坐标为.（1）求t的