高中数学高考每日一题（51-100天）

2025年高中数学高考倒计时100天每日一题（51-100天）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是()A.B.估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36C.估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33D.估计夜间提供急诊时长的众数为141．答案：C解析：由题图知，，解得，A正确；估计夜间提供急诊时长的平均数为，B正确；第三四分位数为第75百分位数，因为，所以第三四分位数一定位于内，由，可以估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，C错误；估计夜间提供急诊时长的众数为14，D正确.2．已知m，n均为正数，若直线将圆分成弧长之比为的两部分，则的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.92．答案：A解析：由直线将圆分成弧长之比为的两部分，得两弧中劣弧所对的圆心角为，故圆心到直线的距离为，即，又m，n均为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.3．若曲线在处的切线方程为，则()A. B. C. D.23．答案：B解析：，，曲线在处的切线斜率.又曲线在处的切线方程为，，解得，，即切点坐标为，将其代入方程得.4．已知平面向量a，b满足，，则向量a在向量b上的投影向量为()A. B. C. D.4．答案：B解析：，，，，向量a在向量b上的投影向量为.5．已知集合，，则()A. B.C. D.5．答案：C解析：由，得，故，.由，得，故，所以.故选C.6．若实数a满足，则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6．答案：A解析：解法一：因为，所以，即，解得，故，其在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.解法二：因为，所以，即，解得.当时，，不合题意，当时，，符合题意，因而，，其在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.解法三：，则，其在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.7．已知函数（，）是偶函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.7．答案：D解析：方法一：因为为偶函数，所以，即，即.因为，所以，所以，所以不等式，即.当时，，，.当时，，，所以；当时，，，所以，所以在上单调递增.由，得，解得.故选D.方法二：由题知，则，整理可得，解得.令，则，所以，由偶函数图象关于y轴对称，排除A，B，又，排除C.故选D.8．设，则“”是“直线与直线0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．答案：C解析：若直线与直线平行，则解得，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.9．已知O为坐标原点，点P在双曲线（，）上，点A，B分别在C的两条渐近线上，且，，若与的面积之积为，则C的离心率为()A. B.2 C.或 D.2或9．答案：C解析：设点到渐近线，的距离分别为，，则，又，，所以与的面积之积为，所以或，所以C的离心率为或，故选C.10．已知函数，把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则取最大值时，()A. B. C. D.10．答案：D解析：，则，，当时，取最大值，此时.11．已知函数与的图象依次交于A,B,C三点,且恒有,则()A.2 B.1 C. D.11．答案：B解析：由函数的图象可由函数的图象平移得到,则的图象关于点对称,因为,所以的图象关于点对称,要使恒成立,则点B为图象的对称中心,也为图象的对称中心,所以,即.验证可知符合题意,故选：B.12．[2023届·全国·二模]在三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为()A.2 B. C.1 D.12．答案：B解析：如图.因为平面，平面BCD，所以，又，，平面ACD，所以平面ACD.因为平面ACD，所以.在中，，，则.因为平面，平面BCD，所以.在中，设，（，），则由，得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以该三棱锥体积的最大值为.13．[2024春·高三·南京市金陵中学·开学考试]某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班.现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有()A.192种 B.252种 C.268种 D.360种13．答案：B解析：若甲、乙不值班，则值班安排有（种）；若甲、乙只有一人不值班，则值班安排有（种）；若甲、乙都值班，则值班安排有（种）.所以值班安排共有252种.14．[2024春·高二·河北张家口·期末]已知不等式的解集中恰有三个正整数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.14．答案：D解析：设，.易得，，令，则或，当时，，当或时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.作出和的大致图象，如图所示.当，时，的解集中至多有一个整数根，不符合题意；当，时，若的解集中恰有三个正整数，则即所以.15．若，则的值为()A. B. C. D.15．答案：A解析：由，可得，则.16．[2024届·河南信阳·一模]已知点P是直线上的动点，由点P向圆引切线，切点分别为M，N，且，若满足条件的点P有且只有一个，则()A. B. C.2 D.16．答案：D解析：如图，连接OM，ON，OP.易得，.又，，所以四边形MPNO为正方形，所以，故点P在以点O为圆心，为半径的圆上.又满足条件的点P有且只有一个，所以该圆与直线相切，所以点O到直线的距离，所以，解得.17．记为数列的前n项和，若，为等比数列，则()A.4 B.8 C.16 D.3217．答案：D解析：因为为等比数列，所以的首项为，第二项为，第三项为，故的公比为2，所以，所以当时，，显然当时也符合，故，所以，故选D.18．已知集合，，则()A. B. C. D.18．答案：C解析：因为或，所以或，故选C.19．已知随机变量，若，且，则的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.519．答案：C解析：因为随机变量，且，所以，所以，当且仅当，即时，取得最小值4，故选C.20．已知向量a，b满足，，，则()A. B. C. D.20．答案：D解析：，.由题意得，，，，.又，.21．已知复数的共轭复数为，则()A.3 B.4 C.5 D.621．答案：C解析：方法一：，则，故.方法二：，则.22．已知函数的定义域为R，若，都是奇函数，且，则()A.6 B. C.3 D.22．答案：A解析：由为奇函数可得，两边分别求导可得，即，故，所以，又为奇函数，所以，可得，故，从而，故4是的一个周期，且.由为奇函数可得，故，所以.23．已知的展开式中的常数项为15，则()A.2 B.3 C.6 D.923．答案：C解析：的展开式的通项为，其中，令，得，故，得，所以，故选C.24．若，，，，，则()A. B. C. D.24．答案：B解析：方法一：因为，所以函数在上单调递增.因为，所以，即.同理，由函数在上单调递增，得，即.因为，所以.因为，所以在R上单调递减，所以，所以，即，所以.故选B.方法二：由，令，，则，，，.因为，所以.故选B.25．[2024秋·高三·甘肃兰州·开学考试校考]已知双曲线（，）的右焦点为F，过点F作直线l与渐近线垂直，垂足为点P，延长PF交E于点Q.若，则E的离心率为()A. B. C. D.25．答案：B解析：设，O为坐标原点，则，所以.设E的左焦点为，，连接，由双曲线的定义得.在中，由余弦定理得，解得.由，得，即，解得，所以E的离心率为.26．[2024秋·高三·河南漯河·月考校考]函数（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，且点在函数的图象上，则函数在上的单调递增区间为()A. B. C. D.26．答案：A解析：设的最小正周期为T.因为（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，所以，所以，解得，所以.因为点在函数的图象上，所以，所以，，解得，，又因为，所以，所以.令，，则，，又因为，所以，所以函数在上的单调递增区间为.27．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数图象上的一对“偶对称点”.若函数，则图象上“偶对称点”的对数是()A.2 B.3 C.4 D.627．答案：B解析：作出函数的大致图象如图所示，再作出曲线关于y轴对称的曲线C，数形结合可知曲线与曲线C有3个交点，所以图象上“偶对称点”有3对，故选B.28．已知正三棱台的体积为，，，则该正三棱台的高为()A. B. C. D.28．答案：B解析：由题意得，.设正三棱台的高为h.由题意得该正三棱台的体积，解得.29．[2023届·广东广州·模拟考试]已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点的直线交C于P，Q两点，且，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为()A. B. C. D.129．答案：A解析：设抛物线，.显然直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，，.将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得，，，，.，，，此时，，，又，直线MF的斜率.当时，，当时，，当且仅当时等号成立.直线MF的斜率的最大值为.30．圆与圆的公共弦长为()A. B. C. D.130．答案：B解析：易得两圆的圆心分别为，，半径均为1，两圆的圆心距为，且，故两圆相交.易知圆与圆的公共弦所在的直线方程为，即，圆的圆心到公共弦所在直线的距离，公共弦长为.31．已知，则()A. B. C. D.31．答案：B解析：因为，所以，所以，则，故选B.32．在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，()A.8 B.9 C.10 D.1132．答案：B解析：由，得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，则.易知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，所以当时，取得最大值，故选B.33．已知向量a，b满足，，则()A. B. C. D.33．答案：B解析：解法一：因为，，所以，故.所以，故选B.解法二：依题意，构造如图所示的图形，观察可知，故选B.34．若集合，，则()A. B. C. D.34．答案：B解析：解法一：由题意得，所以，故选B.解法二：当时，，所以，排除A，D；易知，所以，排除C.故选B.二、多项选择题35．若，则下列结论正确的是()A.B.C.D.35．答案：ABC解析：易得展开式的通项，则，，故A，B正确；，故C正确；等式两边对x求导得，令，则，所以，故D错误.36．[2024秋·高三·山东临沂·期末联考]体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯,又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试,其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布,且,,则()A. B.C. D.36．答案：ACD解析：选项A：由,得,故A正确;选项B：由,得,故B不正确;选项C：由于随机变量X服从正态分布,该正态曲线的对称轴为直线：,所以,故C正确;选项D：解法一：由于随机变量X,Y均服从正态分布,且对称轴均为直线：,,所以在正态曲线中,Y的峰值较高,正态曲线较“瘦高”,随机变量分布比较集中,所以,故D正确.解法二：因为,,所以,故D正确.故选：ACD.37．如图，抛物线沿着抛物线进行不带滑动的滚动，已知滚动过程中，两条抛物线在公共点处的切线相同，且当两条抛物线顶点不重合时，该切线垂直于两条抛物线顶点的连线.若抛物线的顶点的运动轨迹记为E，点在曲线E上，则()A.曲线E关于x轴对称 B.曲线E关于原点O对称C.若，则 D.若，则37．答案：AC解析：设的顶点为，两抛物线的公共点为，当时，切线斜率显然存在且不为0，故可设切线方程为，由可得，由，可得，则切线方程为，即，则直线OP的方程为，由可得.由对称性可知切线垂直平分线段OP，故点P的坐标为，即，消去t可得，此时曲线E的方程为，当时，点P与点O重合，也满足，故曲线E的方程为.选项A：把中的y换成，方程不变，故曲线E关于x轴对称，故A正确.选项B：把中的x，y分别换成，，所得方程和原方程不同，故曲线E不关于原点O对称，故B错误.选项C：由得或，故或，满足，故C正确.选项D：由及可得，则，故，又，所以，故D错误.38．[2024秋·高三·湖南·开学考试]中国作为全球最大的产茶国和茶叶消费市场，茶叶行业长期保持平稳向好发展的趋势，下表为2014—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，下列结论正确的是()年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于B.2014—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014—2023年中国茶叶产量的分位数是277.7D.2019—2023年中国茶叶产量的平均数大于31038．答案：ABD解析：2015年中国茶叶产量年增长率为，A正确；2014—2023年中国茶叶产量的极差是，B正确；，所以2014—2023年中国茶叶产量的分位数是2019年与2020年中国茶叶产量的平均数，即，C错误；2019—2023年中国茶叶产量的平均数为，D正确.39．已知函数，则下列说法正确的是()A.若，则的解集为B.若，则函数有2个零点C.若的值域为R，则a的取值范围为D.39．答案：ACD解析：选项A：若，由得，由，得，故的解集为，A正确.选项B：当时，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，且当时，，当时，，故可作出函数在上的大致图象如图所示，在同一平面直角坐标系中作出直线，数形结合可知当时，只有1个零点，若，则当时，没有零点，所以若，则函数只有1个零点，B错误.选项C：根据选项B可知函数在上的值域为，故若的值域为R，则在上的值域应包含，则，得，又，故a的取值范围为，C正确.选项D：由题意知，由于，在上单调递增，所以，则，D正确.三、填空题40．[2023届·广东广州·模拟考试]已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.40．答案：解析：显然是奇数，故两个数列的公共项必为奇数.对于数列，当n为奇数时，设，则为偶数；当n为偶数时，设，则为奇数.故，，，.41．[2023届·湖北·模拟考试]已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，中点的纵坐标为，则__________.41．答案：或解析：由题知，抛物线的焦点，设直线AB的方程为，，.依题意得，则.由得，，，，则.又，整理得，，解得或.42．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a，b，在已知的条件下，的概率为___________.42．答案：解析：设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为a，b，则样本空间，其包含的样本点有36个.记事件“”，则事件A包含的样本点为，，，，，，，，，，共10个.记事件“”，则事件“且”，其包含的样本点有9个，即除了事件A中的样本点外，其他均符合.所以由条件概率公式知.43．已知椭圆E过点，焦点，，O为坐标原点，圆O的直径为.若斜率为的直线l与圆O相切于第一象限内的点P，交E于A，B两点，则的面积为___________.43．答案：解析：设椭圆E的方程为，，由条件可知，又，解得，，所以E的方程为，因为斜率为的直线l与圆O相切于第一象限内的点P，所以直线l的方程为，当时，，联立方程组消去x整理得，设，，则，，所以，所以的面积为.44．将9个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁、戊5个班级，每班至少1个名额，则甲、乙两个班均分到2个名额的概率为___________.44．答案：解析：将9个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁、戊5个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有（种），其中甲、乙两个班均分到2个名额的分配方案有（种），所以所求的概率.四、解答题45．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范围.45．答案：（1）（2）解析：（1），，.又，，.又，.（2）在中，易得.，，即.，当且仅当时等号成立，，解得.又在中，，的取值范围为.46．已知甲口袋有m（，）个红球和2个白球，乙口袋有n（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.（1）当，时.（ⅰ）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；（ⅱ）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望.（2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？46．答案：（1）（ⅰ）（ⅱ）（2）解析：（1）依题意知小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为.（ⅰ）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，所以.（ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（ⅰ）得，，，，，所以.（2）当时，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验.设小明每次摸出一个红球的概率为，则.因为，所以当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，最大，此时，解得，所以当时，P最大.47．已知椭圆的右焦点为，过F的直线交椭圆于A，B两点，当AB与x轴垂直时，.（1）求椭圆E的标准方程.（2）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记直线AD与BC的交点为P.（ⅰ）证明：点P在定直线l上，并求出定直线l的方程；（ⅱ）若的面积为，求直线AB的斜率.47．答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析，直线l的方程为（ⅱ）解析：（1）依题意，，点在椭圆上，得，又，可得，，所以椭圆E的标准方程为.（2）（ⅰ）依题意知直线AB与坐标轴不垂直，不妨设直线AB的方程为，设，，，由得，则，，故.依题意，C，D的坐标分别为，，易知直线AD，BC的斜率均存在，则直线AD的方程为，直线BC的方程为，则，故点P在定直线l上，且直线l的方程为.（ⅱ）依题意，不妨令，A在x轴上方，则.令，得，得