2025年考研数学二线性代数测试试卷（含答案）

2025年考研数学二线性代数测试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若齐次线性方程组（x₁+x₂+x₃-x₄=0,x₁+2x₂+3x₃+x₄=0,x₂+x₃=0）的基础解系由一个向量组成，则该方程组的系数矩阵的秩为（）。A.1B.2C.3D.42.设A是n阶矩阵，且A²-A=O，则下列结论中一定正确的是（）。A.A=O或A=EB.A可逆C.A的秩为n-1D.A的特征值只能是0或13.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(k,1,5)。若α₁,α₂,α₃线性相关，则实数k的取值为（）。A.-2B.-1C.2D.34.设A是3阶矩阵，其特征值为-1,1,2，则|A|+A*的特征值为（）。（其中A*为A的伴随矩阵）A.0,2,3B.2,0,3C.4,0,6D.6,0,45.将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃通过正交变换x=Pz化为标准形z₁²+z₂²-z₃²，则矩阵A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,1]]的特征值中，负惯性指数为（）。A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。6.设A=[[1,0,0],[a,1,0],[b,c,2]]是可逆矩阵，则a,b,c满足的关系式是__________。7.设3阶矩阵A的秩为2，且向量α₁=(1,0,1)和α₂=(0,1,1)是A的特征向量，对应的特征值分别为3和2，则A的另一个特征向量α₃可以是__________（写出任意一个满足条件的向量）。8.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β₁=α₁+α₂,β₂=α₂+α₃,β₃=α₃+α₁，则向量组β₁,β₂,β₃的秩为__________。9.设A是n阶正定矩阵，B是n阶可逆矩阵，则矩阵BᵀAB的正定矩阵__________（填“是”或“不是”）。10.设A=[[a,1],[1,b]]是正定矩阵，则ab的取值范围是__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（本小题满分12分）已知线性方程组(x₁+x₂+x₃=1,x₂+2x₃=2,(x₁+ax₂+(a+1)x₃=b)(1)讨论方程组解的情况（有唯一解、无解、有无穷多解）与参数a,b的关系；(2)若方程组有无穷多解，求其通解，并写出对应的齐次线性方程组的基础解系。12.（本小题满分12分）设A=[[1,2,-1],[2,1,t],[-1,t,1]]。(1)若存在非零向量x使得xᵀAx=0，求t的值；(2)当t=0时，求矩阵A的特征值、特征向量，并判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得PᵀAP为对角矩阵。13.（本小题满分12分）设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,t),α₄=(1,4,4)。(1)讨论向量组α₁,α₂,α₃,α₄的线性相关性；(2)若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，求向量β=(1,5,6)在此向量组下的线性表示。14.（本小题满分12分）设矩阵A=[[a,1],[1,a]]。(1)求矩阵A的特征多项式f(λ)；(2)讨论矩阵A可否相似对角化，并说明理由。15.（本小题满分12分）设A是3阶实对称矩阵，满足A²+A=2E，且A的秩为2。(1)求A的特征值；(2)证明A可相似对角化，并给出一个可逆矩阵P，使得PᵀAP为对角矩阵。16.（本小题满分12分）设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃-4x₂x₃。(1)用配方法将f化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；(2)求该二次型的正惯性指数，并判断f是否正定。试卷答案一、选择题1.B2.D3.A4.C5.B二、填空题6.bc≠07.(1,1,-1)或任何与之线性无关的向量如(1,-1,0)8.39.是10.ab>1三、解答题11.解：(1)对增广矩阵进行初等行变换：[[1,1,1,|,1],[0,2,2,|,2],[1,a,a+1,|,b]]↓行变换[[1,1,1,|,1],[0,1,1,|,1],[0,a-1,a,|,b-1]]↓行变换[[1,1,1,|,1],[0,1,1,|,1],[0,0,a,|,b]]方程组解的情况：当a=0时，若b≠0，无解；当a=0时，若b=0，有无穷多解；当a≠0时，有唯一解(x₁,x₂,x₃)=(1-b/a,1,0)。(2)当a=0时，若b=0，方程组为(x₁+x₂+x₃=0,x₂+2x₃=0)。基础解系：取x₃=1，得x₂=-2,x₁=1，即(1,-2,1)。通解：k(1,-2,1)(k为任意常数)。12.解：(1)xᵀAx=0等价于x₁,x₂,x₃不同时为0，且满足x₁²+2x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃=0。令x₁=1,x₂=x₃=0，得1+2(0)²+(0)²+2(1)(0)+2(1)(0)+2(0)(0)=1≠0。令x₁=x₂=1,x₃=0，得(1)²+2(1)²+(0)²+2(1)(1)+2(1)(0)+2(1)(0)=1+2+0+2+0+0=5≠0。令x₁=x₃=1,x₂=0，得(1)²+2(0)²+(1)²+2(1)(0)+2(1)(1)+2(0)(1)=1+0+1+0+2+0=4≠0。若xᵀAx=0有非零解，则必须存在t使得上述三种情况之一结果为0。尝试x₁=1,x₂=-1,x₃=0，得1+2(1)²+(0)²+2(1)(-1)+2(1)(0)+2(-1)(0)=1+2+0-2+0+0=1≠0。尝试x₁=1,x₂=1,x₃=-2，得1+2(1)²+(-2)²+2(1)(1)+2(1)(-2)+2(1)(-2)=1+2+4+2-4-4=-1≠0。尝试x₁=1,x₂=-2,x₃=1，得1+2(-2)²+(1)²+2(1)(-2)+2(1)(1)+2(-2)(1)=1+8+1-4+2-4=4≠0。尝试x₁=1,x₂=1,x₃=-1，得1+2(1)²+(-1)²+2(1)(1)+2(1)(-1)+2(1)(-1)=1+2+1+2-2-2=2≠0。尝试x₁=1,x₂=0,x₃=-1，得1+2(0)²+(-1)²+2(1)(0)+2(1)(-1)+2(0)(-1)=1+0+1+0-2+0=0。此解存在。因此，x₁=1,x₂=0,x₃=-1是方程xᵀAx=0的一个非零解。代入xᵀAx=0得1+0+1+0-2+0=0，即2-2=0。此条件满足。代入特征方程det(A-λI)=0：det([[1-t,2,-1],[2,1-t,t],[-1,t,1-t]])=(1-t)[(1-t)²-t²]-2[2(1-t)-(-1)t]-(-1)[2t-(1-t)²]=(1-t)[1-2t+t²-t²]-2[2-2t+t]-(2t-[1-2t+t²])=(1-t)(1-2t)-2(2-t)-(2t-1+2t-t²)=(1-3t+2t²)-(4-2t)-(4t-t²)=1-3t+2t²-4+2t-4t+t²=3t²-5t-3=0。解得t₁=3,t₂=-1/3。(2)当t=0时，A=[[1,2,-1],[2,1,0],[-1,0,1]]。计算特征多项式f(λ)=det([[1-λ,2,-1],[2,1-λ,0],[-1,0,1-λ]])=(1-λ)[(1-λ)²-0]-2[2(1-λ)-0]-(-1)[2*0-(-1)(1-λ)]=(1-λ)[1-2λ+λ²]-4(1-λ)+(1-λ)=(1-λ)(λ²-2λ+1)-4(1-λ)+(1-λ)=(1-λ)(λ-1)²-4(1-λ)+(1-λ)=(1-λ)³-4(1-λ)+(1-λ)=(1-λ)³-3(1-λ)=(1-λ)[(1-λ)²-3]=(1-λ)(1-2λ+λ²-3)=(1-λ)(λ²-2λ-2)。特征值为λ₁=1,λ₂,λ₃=1±√3。对应特征向量分别为(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)。由于特征向量是线性相关的（例如(1,1,1)与(1,1,1)线性相关），矩阵A不可对角化。13.解：(1)将向量组写成矩阵形式A=[[1,1,1,1],[1,2,3,4],[1,3,t,4]]。对A进行初等行变换化为行阶梯形：[[1,1,1,1],[0,1,2,3],[0,2,t-1,3]]↓R₃-2R₂[[1,1,1,1],[0,1,2,3],[0,0,t-5,-3]]行阶梯形矩阵的非零行数为3，所以向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性相关。线性相关的一个等价条件是向量组的秩小于向量的个数，即r(A)<4。行阶梯形矩阵有3个非零行，r(A)=3。因此向量组线性相关。(2)已知α₁,α₂,α₃线性无关，则α₁,α₂,α₃是向量组α₁,α₂,α₃,α₄的极大无关组。设β=c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃，即(1,5,6)=c₁(1,1,1)+c₂(1,2,3)+c₃(1,3,t)。得方程组：c₁+c₂+c₃=1c₁+2c₂+3c₃=5c₁+3c₂+tc₃=6解此方程组：↓R₂-R₁[[1,1,1,|,1],[0,1,2,|,4],[0,2,t-1,|,5]]↓R₃-2R₂[[1,1,1,|,1],[0,1,2,|,4],[0,0,t-5,|,-3]]由于α₁,α₂,α₃线性无关，所以系数矩阵[[1,1,1],[0,1,2],[0,2,t-1]]的秩为3。因此t-5≠0，即t≠5。方程组的解为：c₁=1-c₂-2c₃c₂=4-2c₃c₃=-3/(t-5)代入c₂：c₁=1-(4-2c₃)-2c₃=1-4+2c₃-2c₃=-3c₂=4-2(-3/(t-5))=4+6/(t-5)c₃=-3/(t-5)因此，β=-3α₁+[4+6/(t-5)]α₂-3/(t-5)α₃。14.解：(1)A的特征多项式f(λ)=det([[a-λ,1],[1,a-λ]])=(a-λ)(a-λ)-1*1=(a-λ)²-1=a²-2λa+λ²-1。(2)A是否可对角化取决于其是否有n个线性无关的特征向量。令f(λ)=0，得(λ-a+1)(λ-a-1)=0。特征值为λ₁=a-1,λ₂=a+1。由于A是实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量正交，且必线性无关。因此，只需判断是否有两个线性无关的特征向量。当a=1时，特征值为λ=2(重根)。此时f(λ)=(λ-2)²=0。A-2E=[[-1,1],[1,-1]]。r(A-2E)=r([[1,-1],[-1,1]])=1<2(特征值重数)。所以对应于特征值λ=2，线性无关的特征向量有两个，A可对角化。当a≠1时，特征值λ₁=a-1,λ₂=a+1不同。此时A有两个不同的特征值，根据实对称矩阵的性质，A必有两个线性无关的特征向量，A可对角化。综上，矩阵A总是可相似对角化。15.解：(1)设A的特征值为λ，属于λ的特征向量为x(x≠0)，则Ax=λx。代入A²+A=2E，得A²x+Ax=2x。λ²x+λx=2x。(λ²+λ-2)x=0。因为x≠0，所以λ²+λ-2=0。解得λ=1或λ=-2。由于A是实对称矩阵，其特征值必为实数。又因为A²+A=2E，所以A²-2E+A-4E=0，即(A-2E)(A+2E)=0。A的特征值是2E或-2E的特征值，即2或-2。这与λ=1或-2矛盾。重新审视(λ²+λ-2)x=0，特征值应为λ=1或λ=-2。但A²+A=2E意味着A(A+E)=2E，即A(A+E)/2=E。若A可逆，则A+E=2A⁻¹。如果λ=1是特征值，则1(1+E)/2=E，即1/2+E/2=E，1/2=E/2，矛盾。如果λ=-2是特征值，则(-2)(-2+E)/2=E，即2-E/2=E，2=3E/2，矛盾。重新考虑(λ²+λ-2)x=0。A是实对称矩阵，其特征值为实数。方程应为(λ²+λ-2)x=0。λ²+λ-2=0。解得λ=1或λ=-2。但A²+A=2E意味着A的特征值必须满足λ²+λ-2=0。所以A的特征值只能是1或-2。题目给出A的秩为2，所以A的特征值中只有2个非零。因此，A的特征值为1,1,-2。(2)因为A是实对称矩阵，所以A可相似对角化。对角矩阵D的特征值为1,1,-2。存在可逆矩阵P，使得PᵀAP=D=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-2]]。因此，矩阵A可相似对角化。16.解：(1)配方法：f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃-4x₂x₃=(x₁²+2x₁x₂+x₂²)+x₂²+(x₃²+2x₁x₃+x₁²)-x₁²-x₂²+2x₂x₃=(x₁+x₂)²+x₂²+(x₃+x₁)²-x₁²-x₂²+2x₂x₃=(x₁+x₂)²+x₂²+(x₃+x₁)²-x₁²-x₂²+2x₂x₃=(x₁+x₂)²+(x₃+x₁)²-x₁²-x₂²+2x₂x₃=(x₁+x₂)²+(x₃+x₁)²-(x₁²+x₂²-2x₂x₃)=(x₁+x₂)²+(x₃+x₁)²-(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-(x₁-x₂)²+(x₃+x₁)²=(x₁+x₂+x₁-x₂)(x₁+x₂-x₁+x₂)+(x₃+x₁)²