2025年考研概率论与数理统计试卷（含答案）

2025年考研概率论与数理统计试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设事件A，B满足P(A|B)=P(A)，且P(B)>0，则一定有（）。（A）A，B相互独立（B）A⊂B（C）P(A|B^c)=P(A^c|B)（D）P(A^c|B^c)=1-P(A|B)2.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0;(1+x)/2,0≤x<1;1,x≥1}，则E(X)为（）。（A）1/4（B）1/3（C）1/2（D）2/33.设随机变量X和Y的方差分别为DX=1，DY=4，且COV(X,Y)=1/2，则X和Y的相关系数ρXY为（）。（A）1/4（B）1/2（C）1/√2（D）√2/24.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，则E(XY)为（）。（A）λ^2（B）λ（C）2λ（D）1/λ5.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，X1,X2,…,Xn是来自X的样本，若要检验H0:μ=μ0，则当n固定时，减小犯第二类错误的概率，下列做法中正确的是（）。（A）增大检验统计量的临界值（B）减小检验统计量的临界值（C）增大样本容量n（D）减小样本容量n二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。6.设A，B是两个随机事件，且P(A)=1/3，P(B|A)=1/4，P(A|B)=1/2，则P(A∪B)=_______。7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(1+x),-1≤x≤0;c(1-x),0<x≤1;0,其他}，则常数c=_______。8.设随机变量X和Y的协方差COV(X,Y)=2，X的方差DX=1，Y的方差DY=5，则X和Y的线性组合Z=3X-2Y的方差DZ=_______。9.设总体X服从参数为n和p的二项分布B(n,p)，X1,X2,…,Xn是来自X的样本，则样本均值X̄的数学期望E(X̄)=_______，方差DX̄=_______。10.从总体X中抽取样本X1,X2,…,Xn，若用样本方差S^2来估计总体方差σ^2，则S^2是σ^2的_______估计量（填“无偏”或“有偏”）。三、计算题：本大题共4小题，共45分。11.（本小题满分12分）设随机变量X和Y相互独立，X的概率分布为P(X=k)=2k/(k+1)^2,k=1,2,3。Y服从参数为λ=1的指数分布。求：（1）随机变量Z=2X+Y的数学期望E(Z)；（2）随机变量Z的方差D(Z)。12.（本小题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={ce^{-x-y},0<x<y<+\infty;0,其他}。（1）求常数c的值；（2）求条件概率P(Y≤1|X=1)。13.（本小题满分9分）设总体X的均值E(X)=μ，方差DX=σ^2（σ^2>0）已知。X1,X2,…,Xn是来自X的样本。考虑统计量T=X̄+aS^2，其中X̄是样本均值，S^2是样本方差。（1）证明T是μ的无偏估计量；（2）求T的方差D(T)。14.（本小题满分12分）设总体X服从正态分布N(μ,16)，其中μ未知。从总体中抽取容量为n=9的样本，样本均值为x̄=20。现检验假设H0:μ=18vsH1:μ>18。（1）写出检验统计量及其分布；（2）若显著性水平α=0.05，求拒绝域；（3）若根据样本算得检验统计量的观测值为1.5，请做出统计决策。四、证明题：本大题共1小题，共15分。15.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。证明：随机变量Z=X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布。试卷答案一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.B二、填空题6.5/127.1/28.139.np,np(1-p)/n10.无偏三、计算题11.（1）E(X)=8/9，E(Y)=1。E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=8/9+1=17/9。（2）D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=40/81-(8/9)^2=232/729。X和Y独立，D(Y)=1，D(Z)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4*(232/729)+1=1016/729。12.（1）∫0+∞∫x+∞ce^{-(x+y)}dydx=c∫0+∞e^{-x}[e^{-y}]|x+∞dx=c∫0+∞e^{-2x}dx=c*(1/2)=1。c=2。（2）fX(x)=∫x+∞2e^{-(x+y)}dy=2e^{-2x}。fX(1)=2e^{-2}。fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)=e^{-(y-x)}/(1+e^{-y})，y>x。P(Y≤1|X=1)=∫1+∞e^{-(y-1)}/(1+e^{-y})dy。令u=y-1，则du=dy。当y=1时，u=0；当y→+∞时，u→+∞。原式=∫0+∞e^{-u}/(1+e^{-u})du=∫0+∞(1-1/(1+e^{-u}))du=[u-ln(1+e^{-u})]|0+∞=(limu→+∞[u-ln(1+e^{-u})])-(0-ln(2))=0-(-ln(2))=ln(2)。13.（1）E(T)=E(X̄+aS^2)=E(X̄)+aE(S^2)。E(X̄)=μ。E(S^2)=DX=σ^2。故E(T)=μ+ασ^2。因为E(X)=μ，DX=σ^2已知，所以E(X̄)=μ，E(S^2)=DX=σ^2。故E(T)=μ+ασ^2=μ。T是μ的无偏估计量。（2）D(T)=D(X̄+aS^2)=D(X̄)+a^2D(S^2)。D(X̄)=DX/n=σ^2/n。对于正态总体，S^2是σ^2的无偏估计量，且有D(S^2)=2σ^4/n。故D(T)=σ^2/n+a^2*(2σ^4/n)=σ^2/n(1+2a^2σ^2)。14.（1）检验统计量T=(x̄-μ0)/(σ/√n)=(x̄-18)/(4/√9)=(x̄-18)/(4/3)=(3/4)(x̄-18)。当H0为真时，μ=18，T~N(0,1)。（2）显著性水平α=0.05，单尾检验，拒绝域为T>zα。查标准正态分布表，z0.05=1.645。拒绝域为(3/4)(x̄-18)>1.645，即x̄>18+(4/3)*1.645=18+2.26=20.26。拒绝域为{x̄