高三数学数列的概念选择题专项训练单元达标自检题检测

高三数学数列的概念选择题专项训练单元达标自检题检测一、数列的概念选择题1．在数列中，已知，，且，则()A．-6 B．6C．-3 D．3答案：C解析：C【分析】根据题设条件，得到数列是以6项为周期的数列，其中，再由，即可求解.【详解】由题意，数列中，，，且，可得，可得数列是以6项为周期的数列，其中，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．数列满足：，其前项积为，则（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值.【详解】，，，，，，，且，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.3．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由题意可知，得数列是周期为3的周期数列，前3项和为，又，由此可得答案【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列为，所以数列是周期为3的周期数列，前3项和为，因为，所以数列的前2020项的和为故选：C4．数列，，，，…的一个通项公式是（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案.【详解】选项A.,当时，无意义.所以A不正确.选项B.,当时，，故B不正确.选项C.，，，所以满足.故C正确.选项D.,当时,,故D不正确.故选：C5．设数列的通项公式为，要使它的前项的乘积大于36，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：C解析：C【分析】先求出数列的前项的乘积为，令解不等式，结合，即可求解.【详解】记数列的前项的乘积为，则依题意有整理得解得：，因为，所以，故选：C6．已知数列满足则数列的最大项为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．【详解】解：由题意，可知：．令，则．，数列是以为首项，为公比的等比数列．．．，，．各项相乘，可得：．．令，则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．，，的最小值为．．数列的最大项为．故选：．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；7．设表示的个位数字，则数列的第38项至第69项之和（）A．180 B．160 C．150 D．140答案：B解析：B【分析】根据题意可得为的个位数为的个位数，而的个位是以为周期，的个位数是以为周期，即可求和.【详解】由为的个位数，可得为的个位数，而的个位是以为周期，的个位数是以为周期，所以的个位数是以为周期，即的个位数是以为周期，第38项至第69项共32项，共8个周期，所以.故选：B8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）A．184 B．174 C．188 D．160答案：B解析：B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得.【详解】所以，所以.所以.故选：B【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.9．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.【详解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）A．174 B．184 C．188 D．160答案：A解析：A【分析】根据已知条件求得，利用累加法求得.【详解】依题意：所以（），且，所以.所以.故选：A【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.11．已知数列的首项为1，第2项为3，前项和为，当整数时，恒成立，则等于（）A．210 B．211 C．224 D．225答案：D解析：D【分析】利用已知条件转化推出，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合可知，，得到，故数列为首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，所以，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．12．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选：A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.13．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式．故选C．【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．14．数列中，，，则（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，，，…，，以上各式相加得：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.15．已知数列按如下规律分布（其中表示行数，表示列数），若，则下列结果正确的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的数呈正方形.可先算是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置.【详解】每排完次后，数字呈现边长是的正方形，所以排次结束后共排了个数.，说明是个奇数.而，故一定是行，而从第个数算起，第个数是倒数第个，根据规律第个数排在第行第列，所以第个数是第行第列，即在第行第列.故.故选：C.【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.二、数列多选题16．(多选题)已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（）A．2 B．5 C．3 D．4答案：BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本解析：BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．答案：ABCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A，写出数列的前6项为，故A正确；对B，，故B正确；对C，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A，写出数列的前6项为，故A正确；对B，，故B正确；对C，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第2020项.对D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，故D正确；故选：ABCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.18．等差数列的前n项和记为，若，，则（）A． B．C． D．当且仅当时，答案：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.19．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数答案：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.20．数列满足，则下列说法正确的是（）A．数列是等差数列 B．数列的前n项和C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列答案：ABD【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.对选项B，由A知：解析：ABD【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.对选项B，由A知：数列的前n项和，故B正确.对选项C，因为，所以，故C错误.对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A． B．C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22答案：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可得，即，①由是与的等比中项，得，即，化为，②由①②解得，，则，，由，可得或11时，取得最大值110；由，解得，则n的最小值为22.故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.22．(多选题)等差数列的前n项和为，若，公差，则下列命题正确的是（）A．若，则必有=0B．若，则必有是中最大的项C．若，则必有D．若，则必有答案：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确；对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确；C.若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确；对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确；C.若，则，由于，公差，故，故，的符号不定，故必有，无法确定；故C正确，D错误．故选：ABC．【点睛】本题考查数列的前项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．23．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（）A．若，则；B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若，则答案：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15.故B正确；C选项，若，，则，，则中最大.故C正确；D选项，若，则，