椭圆及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

明确研究思路用坐标法研究曲线的基本思路：现实背景

曲线概念

曲线方程

曲线性质

曲线应用常用的数学思想：

数形结合观看视频，请说说你看到的椭圆竹子的斜截面

，

脐

橙

，西

瓜

，鸡

蛋

，晶状体篮球的光影，倾斜的水面，

行星公转的

轨道……自然界中的椭圆椭圆是自然界中常见的图形椭圆在生产、生活、科技中的应用如图7,胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面.为了使影片门(电影胶片通过的地方)处获得最强的光线，灯丝F₂

与影片门F₁应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例.数字电影机采

用数字光处理技术DLP

的数字电影放映新模式，替代了传统胶片电影放映机胶片图像重现模式，实现了无胶片放映.胶片电影放映机影片门F₂B椭圆的光学性质A统治者在西西里岛上开凿了一个岩洞作为监狱。由于监狱生活很糟糕，犯人们纷

纷想越狱逃跑。于是他们偷偷聚集在岩洞里面，小声地

议论越狱的计划。可是每次商量好的计划

都被看守提前知道。于是犯人们开始互相

猜疑，但是不管怎么查找，也查不到告密

者是谁。这究竟是怎么一回事呢?犯人们议论的地点和看守的地点刚好是椭圆的两个焦点.从其中一个焦点上发出的另

一

个焦点

.

刁尼秀斯之耳声音，经过椭圆反射后，刚好通过椭圆的椭圆的发展历程椭圆的发展历程动手操作请按照以下要求完成实验(1)将绳子的两端分别固定在图板上的两

点(要求：绳子的长度大于两点间的距离)(2)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画

出轨迹

。问题1:观察笔尖画出的轨迹是什么曲线?F₂|MF₁I+|MF₂I=

常数(绳长).(2)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?|MF₁

I+|MF₂

I

>

IF₁F₂

l平面内到定点的距离等于定长的点(M)的集合叫

o做圆，其中定点(O)

叫做圆心，定长(|MOI)叫做半径.问题2:回顾操作过程，思考

M(1)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了吗?说明了什么?动手操作平面内与两个定点F₁

、F₂的距离的和等于常数(大于

|F₁F₂I)的点的轨迹叫做椭

圆(ellipse).|MF₁

I+IMF₂

I=

常数(IMF₁

I+|MF₂

I>|F₁F₂

I)这两个定点叫做椭圆的焦

点(

focus),两焦点间的距离

|F₁F₂

I叫做椭圆的焦

距(focus

distance),

焦距的

一

半称为半焦距

.(i)当常

数

=IF₁F2|时，

点

M的

轨

迹

是

线

段F₁F₂;(ii)当常

数

<|F₁F₂l时，点M的轨迹不存在

.F椭圆的定义观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系使所得的椭圆方程形式简单?1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程以经过椭圆两焦点F₁,F₂的直线为x轴，线段F₁F₂

的垂直平分线为y

轴，建立平面直角坐标系Oxy,

如图所示.设M(x,y)

是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c,那么焦点F₁,F₂

的坐标分别是(-c,O),(c,O)

.

1.建系设点根据椭圆的定义，设点M与焦点F₁,F₂

的距离的和等于2a.则

|MF₁I+MF₂I=2a

2.动点满足的几何条件∴√(x+c)²+y²+√(x-c)²+y²=2a.①

3.列方程椭圆的标准方程12变形为

√(x+c)²+y2=2a-√(x-c)²+y²②对方程②两边平方，得

(x+c)²+y²=4a²-4a

√

(x-c)²+y²+(x-c)²+y²整理，得a²-cx=a√(x-c)²+y²③③式两边再平方，得a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y².整理，得

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²).

④将方程④两边同除以a²(a²-c²),得⑤

4.化简方程

∵2a>2c>0,

即a>c>0,∴a²-c²>0.13观察下图，你能从中找出表示a,c,√a²-c²

的线段吗?由图可知，

|PF₁

I=|PF₂I=a,IOF₁I=|0F₂

I=c,

|PO|=

√a²-c2.令

b=|PO|=√a²-c²,

那么

方

程

⑤

就

是

(a>b>0)⑥x²

对应大分母a²

.它两个焦点分别是F₁(-c,O),F₂(c,O)且a²=b²+c²称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.由求解过程可知椭圆上任意

一

点的坐标(x,y)都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y)

与椭圆的两个焦点间的距离之和为2a,

即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上

.

5.检验14焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

(a>b>0)

焦

点

是F₁(-c,O),F₂(c,O).2.

焦点在y

轴上的椭圆的标准方程个x如

果

焦

点F₁,F₂

在y轴上，且F₁(0,-c),F₂(0,c),

y↑a,b

的意义同上，那么椭圆的方程是什么?MB

q

F₂F₁X15焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

(a>b>0)焦

点

是F₁(-c,O),F₂(c,O).2.

焦点在y

轴上的椭圆的标准方程如

果

焦

点F₁,F₂

在y轴上，且F₁(0,-c),F₂(0,c),

a,b

的意义同上，那么椭圆的方程是什么?yqF₁个x₂M16焦点在x轴上的椭圆的标准方程

.

(a>b>0)焦点是F₁(-c,O),F₂(c,O).2.

焦点在y

轴上的椭圆的标准方程将x轴

与y

轴互换.

(a>b>0)

焦点是F₁(0,-c),F₂(0,c).如果焦点F₁,F₂

在y

轴上，且F₁(0,-c),F₂(0,c),

a,b

的意义同上，那么椭圆的方程是什么?这是焦点在y

轴上的椭圆的标准方程.

y²对应大分母a².17定义|MF₁

I+|MF₂

I=2a(2a>2c>0)标准方程图形焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标F₁(-c,O),F₂(c,O)F₁(0,-c),F₂(0,c)焦距IF₁F₂|=2ca,b,c的关系a²=b²+c2哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上!18例题精讲例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是F₁(

-2,0),F₂(2,0),并

且

经

过

点求它的标准方程

.解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为即a=

√

10

又c=2,从

而

b²=a²-c²=10-4=6.因此，所求椭圆的标准方程为由椭圆的定义得19另解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为

(a>b>0)你还能用其他方法求它的标准方程吗?待定

系数法联立①②解方程组，得a²=10,b²=6.由已知c=2,得

a²-b²=4.

①所以，所求椭圆的标准方程为又因为椭圆经过点20足.

当点P

在圆上运动时，线段PD解：设点M的坐标为(x,y),则

点P

的坐标为

因为点P

在圆x²+y²=4

上，例2如图，在圆x²+y²=4

上任取

一

点P,过点P

作x

轴的垂线段PD,D

为垂1.建系设点2.表示出相关点的坐标y个OPM

(y,y)D

X相关点代入法所以点M的轨迹是椭圆.

5.检验下结论

的中点M的轨迹是什么?为什么?所以x²+4y²=4,4.化简3.代入即21由例2我们发现，圆通过“压缩”可得到椭圆，你能描述一下图像变换的过程吗?横坐标保持不变纵坐标变为原来的2倍椭

圆你能由圆通过

“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”?横坐标保持不变纵坐标变为原来的纵向

压缩纵向

拉伸圆

x²+y²=4圆x²+y²=422化简，得点M

的轨迹方程为

4.化简

你还有别所以点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.5.检验方法得

到椭

圆吗?得到椭圆的方法有到两定点斜率乘积为定值解：设点M的坐标为(x,y),1.建系设点

则直线AM的斜率直线BM的斜率

2.动点满足的几何条件例3如图，设A,B两点的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,

且它们的斜率之积是

求

点M的轨迹方程

.定义，圆的伸缩，由已知有3.列方程231.如果椭圆

焦点F的距离等于6.那么

点P与另一焦点F₂的距离是

14

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4,b=1,

焦点在x轴上；(2)a=4,c=√

15,焦点在y轴上；(3)a+b=10,c=2√5.解：(1)由已知得椭圆的标准方程为(2)由已知得b²=a²-c²=16-15=1,椭圆标准方程为(3)∵a+b=10,c=2√5,c²=a²-b²=(a+b)(a-b),∴a-b=2,

解得a=6,b=4.所以当椭圆的焦点在x

轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为课堂练

习24一个概念两个方程MF₁I+|MF₂I=2a(2a>2c)二

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