自动控制原理课件 4.2 根轨迹绘制的基本法则

自动控制原理4.2根轨迹绘制的基本法则(1)主讲人：相角条件模值条件适用的范围：负反馈系统中开环参数K*变化时的常规根轨迹的绘制。根轨迹方程基于的条件：根轨迹的起点和终点1根轨迹的起点：的根轨迹上点的s值。根轨迹的终点：的根轨迹上点的s值。起点=开环极点终点=开环零点规律：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。证明：闭环特征根方程根轨迹方程法则1应用：通过开环极点和开环零点确定根轨迹的起点和终点；开环极点数n大于零点数m时，有(n-m)条根轨迹的终点在无穷远处。

实际系统中，考虑电路的实现性，一般开环极点数大于开环零点数，即n>m时，则有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处，的确，当

时，代入模值条件得如果把有限值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点。则n>m时，会有n-m条根轨迹趋向于无穷远处的无限零点。结论：根轨迹的起始于开环极点，终止于开环零点规律：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨迹的分支数、对称性和连续性2由根轨迹的定义：开环系统的参数K*从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。可知根轨迹的分支数与闭环特征根的数目一致。闭环特征根的数目是闭环特征方程的最高阶数，即开环零点数m和极点数n中的大者。1)根轨迹分支数＝闭环特征根个数=max(n,m)。

证明：闭环特征根方程：63）连续性：闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益K*的函数，当K*从零到无穷大连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程的根变化也必然是连续的，故跟轨迹有连续性。法则2应用：确定根轨迹的条数，绘制根轨迹时只需绘出上半s平面的根轨迹部分，然后利用对称性对称画出下半s平面的根轨迹部分。2）对称性：线性定常系统的闭环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是根的集合，因此根轨迹对称于实轴。根轨迹的渐近线3渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的夹角：规律：当开环有限极点数n大于开环有限零点数m时，则有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为、夹角为的一组渐近线趋向无穷远处。(1)渐近线与实轴的交点设无穷远处有闭环极点s*，认为开环零点zj

和极点pi

指向s*

的向量长度都相等。代入模值条件根轨迹的渐近线3证明：(2)渐近线与实轴的夹角设无穷远处有闭环极点s*，认为开环零点zj

和极点pi

指向s*

的向量角都相等。代入相角条件根轨迹的渐近线3法则3的应用：

通常当n-m>0时，用法则3寻找趋向无穷远处根轨迹的渐近线。如果结合法则2，考虑根轨迹的对称性，渐近线也是关于实轴对称的，所以当n-m>1时，即渐近线多于1条时（等于1条时，在实轴上），再求渐近线。若实轴上的s点为根轨迹上的点，则应满足相角条件结论：当s是实轴上的点时，只有其右边的开环实极点和实零点与s所成角度为180°，其余均为0°。根轨迹在实轴上的分布4s与左侧实零点、极点所成相角：s与右侧实零点、极点所成相角：ss与复数开环零点、极点所成相角：法则4的应用：实轴被实数开环零点、开环极点划分为多个区间，从右至左无根轨迹的区间和有根轨迹的区间交替出现。结论：若s为根轨迹的点，则：m-n为奇数代入相角条件，得设实轴上有m个开环实零点、n个开环实极点在s的右边m+n为奇数规律：实轴上的某一个区域，若其右边的开环实零点数与开环实极点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：已知负反馈控制系统的开环传递函数为试根据已知的四个基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：首先将开环极点0、-4、-1+j、-1-j和开环零点-1标注在s平面上。(1)法则1：起始于4个有限开环极点，终止于1个有限开环零点和3个无限零点；(2)法则2：有4条连续的根轨迹分支，且关于实轴对称；(3)法则3：3条根轨迹的渐近线与实轴交点坐标、与实轴正方向的夹角;(4)法则4：实轴上区域[0,-1]和[-4,-∞)为根轨迹。×0-1-2-3-4123j-1-2-3×××根轨迹绘制法则的应用1例法则1：根轨迹的起点和终点小结法则3：根轨迹的渐近线法则2：根轨迹的分支数、对称性

和连续性法则4：根轨迹在实轴上的分布自动控制原理4.2根轨迹的绘制法则(2)主讲人：王毅分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为分离点。分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角，称为分离角。分离点坐标d：根轨迹的分离点与分离角5分离角θd：根轨迹分离点的规律：

若实轴上相邻的两个开环极点之间是根轨迹，则此两极点之间必有分离点;

若实轴上相邻的两个开环零点（其中一个可以是无穷远处零点）之间是根轨迹，则此两零点之间必有分离点;

由于根轨迹的对称性，因此分离点多位于实轴上。虽然可能存在共轭复数形式的分离点，但此种情况较少出现。若无开环零点:已知负反馈控制系统的开环传递函数

，试绘制根轨迹。解：(1)法则1：开环极点n=3.p1=0、p2=-2、p3=-3;

开环零点m=1.z1=-1;

将开环极点、零点标注在s平面，确定起点和终点。(2)法则2：max（n,m）,将有3条连续根轨迹，它们关于实轴对称；(3)法则3：有n-m=2条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实轴交点、夹角为

××0-1-2-31×j-1(5)法则5：求分离点与分离角。根轨迹的分离点和分离角的确定(4)法则4：实轴上区域[-1,0]和[-3,-2]为根轨迹。例起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴的夹角，称为起始角。从开环极点pi

出发的根轨迹，其起始角根轨迹的起始角与终止角6终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴的夹角，称为终止角。终止于开环零点zj

的根轨迹，其终止角解：(1)法则1：系统的开环极点：n=4.p1=-0.5-j1.5,p2=-0.5+j1.5,

p3=0,p4=-2.5.

系统的开环零点：m=3.z1=-1.5,z2=-2-j,z3=-2+j.

单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。(2)法则2：有4条根轨迹，对称，连续。(4)法则4：实轴上的根轨迹[-1.5,0]和[-∞,-2.5](5)法则5：实轴上无分离点。(6)法则6：确定起始角和终止角。(3)法则3：渐近线n-m=1.根轨迹的起始角与终止角的确定例规律：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。（2）利用特征方程

将与正虚轴的交点s=jω代入D(s)=0，令其实部和虚部为0。根轨迹与虚轴的交点（1）利用劳斯判据令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点的K*值。ω值可以用劳斯表中s的偶次方行系数构造的辅助方程解得。7解：(1)法则1：开环极点n=3，p1=0、p2=-4+j4、p3=-4-j4；m=0，无开环零点;标注在s平面。(2)法则2：3条连续变化的根轨迹对称于实轴。(3)法则3：3条根轨迹渐近线与实轴交点坐标、与实轴正方向的夹角:(5)法则6：从开环极点p1=-4+j4出发的根轨迹的起始角已知负反馈控制系统的开环传递函数为试绘制根轨迹，求系统稳定时K*的取值范围。×××j-45

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根轨迹与虚轴的交点的确定例(4)法则4：实轴上区域[0,-∞)为根轨迹。K*=256，必对应于一对纯虚根，0<K*<256，闭环系统稳定。(6)法则7：求根轨迹与虚轴交点×××j-45

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j5.66-j5.66根轨迹与虚轴的交点的确定例当系统开环传递函数的分母和分子阶次之差n-m≥2时，开环极点之和等于闭环极点之和，即=常数根之和8规律：1）n-m≥2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。j5.66-j5.66×××j2）对于给定的K*

，当已知一些根