2024年上海格致中学高二上学期数学9月练习及答案

格致中学高二数学1.已知数列{an}的前n项和Sn2.已知数列{an}满足an=,n为正整数，则该数列的最大项是第______项.3.设数列{an}是等差数列.若a4和a2019是方程4x2-8x+3=0的两根，则数列{an}的前2022项的和S2022=.______4.Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=-36,S13=-104，则a5与a7的等比中项为.5.在等差数列{an}中，a1=-10，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是.的前n项和分别为，若则=.数列{bn}的公比为.12.已知数列{an}满足：对任意的n∈N*均有an+1=kan+3k-3，其中k为不等于0与1的常数，若第2页/共18页13.已知{an}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{an＋an＋1}是等比数列；③{an·an+1}是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确命题的个数是()C3.=1，则能使不等式成立的最大正整数n是()A.5B.6C.7D.8数列的某一项，现给出下列4个命题：①a5=0；②4a4=a1；③数列{an}是等差数列；④集合i}中共有9个元素.则其中真命题的序号是()A.①②③④B.①④C.②③D.①③④设bn=证明数列{bn}为等差数列，并求数列{αn}的通项公式；（2）求数列{αn}的前n项和.18.已知函数f(x)=x2+(2-n)x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A(an,0)，n=1,2,3,….（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=3an+(-1)n-1.λ.2an（n为正整数问是否存在非零整数λ,使得对任意正整数n，都有n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.19.已知函数f(x)=logkx（k为常数，k>0且k≠1且数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列.第3页/共18页（1）求证：数列{an}是等比数列；若bn=an+f，当k=求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；（3）若cn=anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.20.设数列{an}{an∈R}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn.（2）若S3，S9，S6成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得am，an，ap成等差数列；（3）若存在正整数k(1≤k≤n)，使得数列S1，S2，ⅆ,Sn(n≥4)在删去Sk以的数列是等差数列，求所有数对(n,q)所构成的集合。第4页/共18页格致中学高二数学1.已知数列{an}的前n项和Sn【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，利用an,Sn的关系列式计算即得.故答案为：52.已知数列满足an=n为正整数，则该数列的最大项是第项.【答案】2和3【解析】【分析】结合对勾函数的单调性求解即可.且a23=故该数列的最大项是第二项和第三项.故答案为：2和33.设数列{an}是等差数列.若a4和a2019是方程4x2-8x+3=0的两根，则数列{an}的前2022项的和【答案】2022【解析】【分析】根据给定条件，利用乘数性质及前n项和公式计算即得.2019所以数列{an}的前2022项的和S2022==1011=2022.故答案为：2022.第5页/共18页4.Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=-36,S13=-104，则a5与a7的等比中项为. 【解析】【分析】通过已知条件可求得a5=-4,a7=-8，再根据等比中项的定义即可求得答案.【详解】解：因为{an}为等差数列，且S9=-36,S13=-104，所以9a5=-36,13a7=-104， 所以a5与a7的等比中项为±42. 5.在等差数列{an}中，a1=-10，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是.【解析】【分析】由题意得{la9【详解】由题意知，设等差数列的公差为d，则故答案为.1成等差数列，则=______. 【答案】【解析】第6页/共18页【分析】由条件可得a3=a1+a2，即q2-q-1=0，从而解得公比q的值，而=q2，得出答案.【详解】设数列{an}的公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a1+a2，q2故答案为：【答案】【解析】【分析】利用等差数列Sn和an的关系求解即可.故答案为：3n【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.第7页/共18页故答案为：--9.若数列{an}的通项公式2的前n项和为sn，则Sn=_______8【答案】.9【解析】【详解】分析：利用无穷等比数列的求和公式，即可求得结果.前n项和为Sn，所以8故答案是.9点睛：该题考查的是有关无穷递缩等比数列的各项和的问题，注意公式的应用，以及注意对前两项应该独立运算，注意对应的首项应该是多少，保证正确性.【答案】##0.8【解析】【分析】通过递推公式，得出{an}为周期数列，且周期为3，可得a2022=a3，即得答案.1-第8页/共18页所以a2所以{an}为周期数列，且周期为3，故答案为：数列{bn}的公比为. 【答案】3-2·2【解析】【分析】根据等比数列性质结合等差数列基本运算得到q的方程秋季即可.【详解】设a1，a2，a3依次为a-d，a，a+d，=(a-d)2(a+d)2=(a2-d2)2，则a22-a2或a2=a2-d2（舍则2 故答案为：3-2212.已知数列{an}满足：对任意的n∈N*均有an+1=kan+3k-3，其中k为不等于0与1的常数，若∈{-678,-78,-3,22,222,2222},i=2【答案】【解析】第9页/共18页n与k<1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案.【详解】:an+1=kan+3k-3，2≠-3，k为不等于0与1的常数，则数列{an+3}是以k为公比的等比数列，an:-75=25×(-3)，225=-75×(-3)，-675=225×(-3)，:综上，a1所有可能值的为：-3，-，2022，:a1所有可能值的和为：-3+(-)+2022=.故答案为：.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查分类讨论思想和逻辑思维能力，属于常考题.13.已知{an}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{an＋an＋1}是等比数列；③{an·an+1}是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确命题的个数是()C.3D.4【答案】C【解析】【详解】由{an}为等比数列可得=q（q是定值）第10页/共18页=q3是定值，故①正确=q是定值，故②正确是定值，故③正确lglganlgan-1故选C不一定为常数，故④错误点睛：要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否为常数即需要验证=q为常数．由{an}为等比数列可得=q（q是定值根据等比数列的判断方法，分别检验-，是否为常数进行判断即可得到答案.【答案】C【解析】【分析】由累加法可得an=n2-n+15，根据f的单调性，即可确定的最小值.n2所以，又因为对勾函数在递减，在(s15,+∞)递增，且所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用函数的单调性求数列的最值，考查学生的分析问题和解决问题能力.=1，则能使不等式成立的最大正整数n是()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】nn2a63a5nna72a63a5(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(a1,(a2,(a3,(a4,(a5,(a6,(a7,∴|a1-3-(a1,(a2,(a3,(a4,(a5,(a6,(a7,n第12页/共18页∴使不等式0成立的n的最大值为7.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及数列与不等式，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.数列的某一项，现给出下列4个命题：①a5=0；②4a4=a1；③数列{an}是等差数列；④集合iiA.①②③④B.①④C.②③D.①③④【答案】A【解析】a3=2a4，则有a2-a3=a3或a2-a3=a4，若a2-a3=a2-a3=a4n4，同理可得4a4=a1，故可判断②;由②可推出③;将ai+aj罗列可判断④。有ai-aj仍是该数列的某一项，则可令i=j时，可知ai-aj=0，2345若a2-a3=a4n4，同理可得4a4=a1，故②正确；由②的推导过程可知a1=4a4,a2=3确；A与iiaj，将所有ai+aj罗列出可得A={0,a4,2a4,3a4,4a4,5a4,6a4,7a4,8aA与第13页/共18页设bn=证明数列{bn}为等差数列，并求数列{αn}的通项公式；（2）求数列{αn}的前n项和.【解析】【分析】（1）利用数列递推式，结合等差数列的定义，可得数列{bn}为等差数列，确定其通项，即可求数列{αn}的通项公式；（2）利用分组求和法和错位相减法，可求数列{αn}的前n项和.【小问1详解】【小问2详解】+1.33+…+(n1).3n+1，+3nnn418.已知函数f(x)=x2+(2n)x2n的图象与x轴正半轴的交点为A(an,0)，n=1,2,3,….第14页/共18页（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=3an+(1)n1.λ.2an（n为正整数问是否存在非零整数λ,使得对任意正整数n，都有n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【解析】（2）根据（1）的{an}计算出bn、bn+1，再解不等式即可nn1.λ.2n，若存在λ≠0，满足bn+1>bn恒成立n.λ.2n，.λ恒成立>λ→λ<1当n为偶数时n—1>λ→λ>故：λ=1.【点睛】本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题.19.已知函数f(x)=logkx（k为常数，k>0且k≠1且数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn=an+f(an)，当k=时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；第15页/共18页（3）若cn=anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.【解析】【分析】（1）由题意得出f(an)=2n+2，利用对数运算得出an=k2n+2，然后计算出为非零常数，n利用等比数列的定义可证明出数列{an}是等比数列；（2）求出an和f(an)，利用分组求和法得出Sn，然后分析数列{Sn}为单调递增数列，可得出该数列的最小值为S1，由此可得出结果；和0<k<1两种情况分类讨论，利用不等式的性质和参变量分离法可得出实数k的取值范围.:常数k>0且k≠1，:k2为非零常数，:数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列；第16页/共18页(n+2)k2对一切n*恒成立；:k2<，且0<k<1，:0<k<综上所述，存在实数满足条件.【点睛】本题考查利用定义证明等比数列、分组求和法以及利用数列的单调性求参数，解题时应充分利用定义来理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2